高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价四十　函数模型的应用含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价四十函数模型的应用含答案四十函数模型的应用(时间:45分钟分值:70分)【基础全面练】1.(5分)2022年6月5日上午10时44分,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭,将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足d(x)=10lgx10-12.若人交谈时的声强级约为50dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109A.130dB B.140dBC.150dB D.160dB【解析】选B.设人交谈时的声强为x1,则火箭发射时的声强为109x1,则50=10lgx110-12,解得:x1=10-7,则火箭发射时的声强为109×10-7=102,将其代入10lgx10-12中,得:d(102)=10lg2.(5分)(2024·渭南高一检测)对于一个声强为I(单位:W/m2)的声波,其声强级L(单位:dB)可由如下公式计算:L=10lgII0(其中I0是能引起听觉的最弱声强),设声强为I1时的声强级为70dB,声强为I2时的声强级为60dB,则I1是I2的(A.10倍 B.100倍C.1000倍 D.10000倍【解析】选A.令L=70,则10lgI1I0=70,解得:I1=107I0,令L解得:I2=106I0,故I1I2=3.(5分)(2024·定西高一检测)2023年2月27日,学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件,已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0(12)

t5730(N0表示碳14原有的质量).(参考数据:ln2≈0.69,ln5≈1.61)A.8370年 B.8330年C.3850年 D.3820年【解析】选D.依题意得:NN0=58=(1等式两边取以e为底的对数并整理得:ln5-3ln2=-t5730ln2,解得t代入ln2≈0.69,ln5≈1.61,即得t≈57304.(5分)(2024·太原高一检测)单利和复利是银行常用的两种计息方式:如果按单利计算,则本金不会发生任何变化;如果按复利计算,则前一期的利息和本金可以加在一起算作下一期的本金.已知银行甲与银行乙定期储蓄的年利率分别是1.75%和2.05%.某同学有压岁钱1000元,现计划按某种计息方式存入银行甲或银行乙,则存满5年后,利息的最大值与最小值的差约是()(参考数据:1.01754≈1.072,1.01755≈1.091,1.02054≈1.085,1.02055≈1.107)A.11.5元 B.15元C.16元 D.19.5元【解析】选D.不同的选择方案共4种:(1)选择单利,存入银行甲,则利息为1000×0.0175×5=87.5(元),(2)选择复利,存入银行甲,则利息为1000×1.01755-1000≈91(元),(3)选择单利,存入银行乙,则利息为1000×0.0205×5=102.5(元),(4)选择复利,存入银行乙,则利息为1000×1.02055-1000≈107(元),其中方案(4)的利息最大,方案(1)的利息最小,差值为107-87.5=19.5(元).5.(5分)某工厂生产一种溶液,按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,若使这种溶液的杂质含量达到市场要求,则过滤次数最少为(参考数据:lg2≈0.lg3≈0.477)()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选B.设经过n次过滤,这种溶液的杂质含量达到市场要求,则2100×(23)n≤即(23)n≤120,两边取对数,得nlg即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈76.(5分)(多选)当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”,设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14的含量为y(把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位),则下列叙述正确的是()A.函数解析式为y=(12)

15B.碳14的年衰减率为(12)C.经过九个“半衰期”后,碳14的含量不足死亡前的千分之一D.在2010年,某遗址检测出碳14的残留量为55.2%(log120.552≈【解析】选AD.依题意,对于A:因为机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,所以x年后体内的碳14含量应为原来的(12)

所以函数解析式为y=1×(12)

x5730=(12对于B:设每年的衰减率为k,原来的碳14含量为A,则有A-A(1-k)5730=A2,(1-k)5730=12,解得k=1-(12对于C:经过九个“半衰期”后,y=(12)

9×57305730对于D:因为碳14的残留量为55.2%(log120.552≈所以55.2%=(12)

x5730,即log12解得x≈4912,由4912-2010=2902,可知该遗址大概是公元前2903年建成的,所以D选项正确.7.(5分)有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2020年约为400万吨,2021年的年增长率为50%.有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771).

【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2020年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n=400×(32)n由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨,所以400×(32)n>4000,所以(32)两边取对数可得n(lg3-lg2)>1,所以n(0.4771-0.3010)>1,即0.1761n>1,解得n>5.68,又n∈N,故n的最小值为6,所以从2020+6=2026年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.答案:20268.(5分)(2024·北京高一检测)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如图所示:横轴为投资时间(单位:天),纵轴为回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法正确的是;

①投资3天以内(含3天),采用方案一;②投资4天,不采用方案三;③投资6天,采用方案二;④投资10天,采用方案二.【解析】观察图象,从每天回报看,在第一天到第三天,方案一最多,①正确;在第四天,方案一、方案二一样多,方案三最少,②正确;在第五到第八天,方案二最多,③正确;从第九天开始,方案三比其他两个方案所得回报都多,④不正确.答案:①②③9.(5分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2q10(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,则燕子静止时的耗氧量为.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时,其飞行速度是【解析】由题意,燕子静止时v=0,即5log2q10解得q=10;当q=80时,v=5log28010=15(m/s)答案:10个单位15m/s10.(10分)(2024·成都高一检测)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式;【解析】(1)根据题意可知,当销售利润0≤x≤20时,y=0.1x;当x>20时,y=0.1×20+2log2(x-20+5)=2+2log2(x-15);所以可得奖金y关于销售利润x的关系式为y=0.(2)如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【解析】(2)易知当0≤x≤20时,奖金不可能为10万元,所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31;即业务员老江的销售利润是31万元.【综合应用练】11.(5分)为了给地球减负,提高资源利用率,全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,假设某市2023年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg1.2≈0.079,lg2.56≈0.408)()A.2027年 B.2028年C.2029年 D.2030年【解析】选C.设2023年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,则5000(1+20%)x>12800,即1.2x>2.56,解得x>log1.22.56=lg2.56lg1则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2029.12.(10分)(2024·巴中高一检测)科学实验中,实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶,想测试染料的扩散效果,染料在水桶中扩散的速度是先快后慢,1秒后染料扩散的体积是1cm3,2秒后染料扩散的体积是3cm3,染料扩散的体积y与时间x(单位:秒)的关系有两种函数模型可供选择:①y=m3x,②y=mlog3x+b,其中m,b均为常数.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;【解析】(1)因为函数y=m3x中,y随x的增长而增长,且增长的速度越来越快;函数y=mlog3x+b中,y随x的增长而增长,且增长的速度越来越慢,根据染料扩散的速度是先快后慢,所以选第二个模型更合适,即y=mlog3x+b,由题意可得:mlog3所以该模型的解析式为y=2log23log3x+1=2log2x+1.(2)若染料扩散的体积达到5cm3,至少需要多少秒.【解析】(2)由(1)知:y=2log2x+1,由题意知:y≥5,即2log2x+1≥5,则有2log2x≥4,解得x≥4,所以至少需要4秒.四十八诱导公式(二)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)(2024·莆田高一检测)已知点P(-12,1)是角α终边上一点,则sin(5π2+A.55 B.-55 C.255 【解析】选B.设平面直角坐标系的原点为O,则|OP|=(-12所以sin(5π2+α)=cosα=-12【补偿训练】已知sin(π2+θ)<0,tan(π-θ)>0,则角θA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.由sin(π2+θ)<0得cosθ<0,tan(π-θ)>0得tanθ<0,所以θ为第二象限的角2.(5分)(2024·北京高一检测)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于直线y=x对称,若sinα=45,则cosβA.-45 B.45 C.-35 【解析】选B.因为平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于直线y=x对称,所以α+β2=π4+kπ,k∈Z,即α+β=π2+2kπ,k∈Z,所以β=π2-α+2kπ,k所以cosβ=cos(π2-α+2kπ)=sinα=45(k∈3.(5分)已知sin(3π8+α)=13,则cos(π8A.-13 B.13 C.-33 【解析】选B.cos(π8-α)=sin[π2-(π8-α)]=sin(3π8+4.(5分)(2024·菏泽高一检测)化简cos(A.1tan2α B.-1tan2α C.tanα【解析】选C.cos(α-3π)cos【补偿训练】已知函数f(x)=atan(π-x)+bcos(x+π2)+2023,若f(m)=2021,则f(-mA.-2024 B.-2025C.2024 D.2025【解析】选D.因为f(x)=atan(π-x)+bcos(x+π2)+2023=-atanx-bsinx设函数g(x)=f(x)-2023=-atanx-bsinx,则g(-x)=atanx+bsinx=-g(x),即g(x)是奇函数,又f(x)=g(x)+2023,所以f(m)+f(-m)=g(m)+2023+g(-m)+2023=4046,又f(m)=2021,所以f(-m)=2025.5.(5分)(2024·长春高一检测)已知角α,β,γ满足α+β+γ=π,则下列结论错误的是()A.sin(α+β)=sinγ B.cos(α+β)=cosγC.sinα+β2=cosγ2 D.【解析】选B.因为α+β+γ=π,所以sin(α+β)=sin(π-γ)=sinγ,选项A正确;cos(α+β)=cos(π-γ)=-cosγ,选项B错误;α+β+γ2=π2,sinα+cosα+β2=cos(π2-γ【补偿训练】(2024·扬州高一检测)已知A,B,C是△ABC的内角,下列等式中错误的是()A.sin2(A+B)+cos2C=1B.sinπ-AC.cos(A+B)=cosCD.tanA+B2【解析】选C.在△ABC中,A+B+C=π.对于A,sin2(A+B)+cos2C=sin2C+cos2C=1,A正确;对于B,因为π-A4+π+A4=π对于C,cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,C错误;对于D,tanA+B2·tanC2=tan(π2-C2=cosC2sin6.(5分)(多选)下列结论正确的是()A.sin(α-π2)=-cosB.cos(α-π)=-cosαC.tan(-α-π)=-tanαD.cos(5π2+α)=sin【解析】选ABC.对于A,sin(α-π2)=-sin(π2-α)=-cos对于B,cos(α-π)=cos(π-α)=-cosα,故B正确;对于C,tan(-α-π)=-tan(α+π)=-tanα,故C正确;对于D,cos(5π2+α)=cos(2π+π2+α)=cos(π2+α)=-sin7.(5分)化简:sin(α【解析】因为sin(α-π2)=-sin(π2-α)=-coscos(3π2+α)=sinα,tan(π+α)=tanαtan(-π+α)=tanα,sin(π-α)=sinα,所以sin(α-答案:-cosα8.(5分)(2024·榆林高一检测)已知tanθ=2,则sinθsin(3π2+θ)=【解析】因为tanθ=2,所以原式=-sinθcosθ=-sinθcosθsin2答案:-29.(5分)(2024·佳木斯高一检测)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°等于.

【解析】设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°,因为sin21°=cos289°,sin22°=cos288°,sin23°=cos287°,…,sin289°=cos21°,所以S=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°,两式相加得:2S=1×89,所以S=44.5.答案:44.510.(10分)(2024·天津高一检测)已知sin(53°-α)=15,且-270°<α<-90°(1)求sin(127°+α)的值;【解析】(1)因为sin(53°-α)=15所以sin(127°+α)=sin[180°-(53°-α)]=sin(53°-α)=15(2)求sin(37°+α)的值.【解析】(2)因为sin(53°-α)=15,且-270°<α所以143°<53°-α<323°,又sin(53°-α)=15所以143°<53°-α<180°,所以cos(53°-α)=-1-sin2(53所以sin(37°+α)=cos(53°-α)=-26【补偿训练】已知α∈(-π,π),且sinα=-cosπ7,则αA.19π14或23π14 B.πC.-5π14或5π14 D.-5π【解析】选D.已知α∈(-π,π),且sinα=-cosπ7sinα=-cosπ7=-sin(π2-π7)=-sin5π因为α∈(-π,π),所以α=-5π14sin(-9π14)=sin(-π+5π14)=sin(-所以α=-514π或α=-914【综合应用练】11.(5分)(2024·三明高一检测)已知cos(α+π3)=-513,则sin(7π6-α)-2cos(2πA.-513 B.513 C.-1513 【解析】选A.sin(7π6-α)=sin[π+(π6-=-sin(π6-α)=-cos(π3+α)=cos(2π3-α)=-cos[π-(2π3-α)]=-cos(π3+α所以sin(7π6-α)-2cos(2π3-α)=513-2×512.(5分)(多选)(2024·佛山高一检测)在△ABC中,下列等式恒成立的是()A.sin(A+B)-sinC=0B.cos(B+C)-cosA=0C.sinD.cos【解析】选AC.对于A,sin(A+B)-sinC=sinC-sinC=0,A正确;对于B,cos(B+C)-cosA=-cosA-cosA=-2cosA,B错误;对于C,sinA+B2对于D,cosB+C2cosA13.(5分)若α是第四象限角,且tan(π3+α)=-512,cos(π6-α【解析】因为α是第四象限角,所以-π2+2kπ<α<2kπ,k∈所以2kπ-π6<π3+α<π3+2kπ,又tan(π3+α)=-512,故π3tan(π3+α)=sin(sin2(π3+α)+cos2(π3+所以sin(π3+α)=-5所以cos(π6-α)=cos[π2-(π3+α)]=sin(π3+答案:-514.(10分)已知α是第四象限角,f(α)=sin((1)化简f(α);【解析】(1)f(α)=sin=-=-cosα.(2)若cos(α-3π2)=35,求f(α【解析】(2)因为cos(α-3π2)=-sinα=35,即sinα=-35,又α是第四象限角,所以cosα=1-sin2α=45,所以【补偿训练】已知函数f(α)=sin(1)化简f(α);【解析】(1)由题意得f(α)=cosα(-(2)若f(α)·f(α-3π2)=-38,且-3π4<α<-π2,求f(α)+f(α【解析】(2)由(1)知f(α-3π2)=-cos(α-3π2)=-cos(α+π因为f(α)·f(α-3π