高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价十八　函数的表示法(一)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价十八函数的表示法(一)含答案十八函数的表示法(一)(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)购买某种饮料x瓶,所需钱数为y元.若每瓶2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为 ()A.y=2xB.y=2x(x∈R)C.y=2x(x∈{1,2,3,…}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4})【解析】选D.题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4}.2.(5分)函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域是 ()A.RB.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(-1,0)【解析】选C.由题图知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞).3.(5分)已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))= ()x123f(x)230A.3 B.2 C.1 D.0【解析】选B.由题图知g(2)=1,所以f(g(2))=f(1)=2.【补偿训练】已知函数f(x)按如表给出,则满足f(f(x))<f(1)的x的值为 ()x123f(x)231A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.由题表可知,当x=1时,f(f(1))=f(2)=3,而f(1)=2,原不等式不成立,所以x=1不满足题意;当x=2时,f(f(2))=f(3)=1,而f(1)=2,原不等式成立,所以x=2满足题意;当x=3时,f(f(3))=f(1)=2,而f(1)=2,原不等式不成立,所以x=3不满足题意.综上,满足f(f(x))<f(1)的x的值为2.4.(5分)(2024·金华高一检测)某同学到长城旅游,他租自行车由宾馆骑行前往长城,前进了akm,觉得有点累,休息后沿原路返回bkm(b<a).想起“不到长城非好汉”,便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为 ()【解析】选C.第一段时间,该同学骑车为直线方程形式,距离增大.第二段休息,此时与起点的距离不变,然后原路返回,此时距离减小,最后调转车头继续前进,此时距离逐步增加,所以图象C合适.【补偿训练】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是 ()【解析】选A.由这一过程中汽车的速度变化可知,速度由小变大→保持匀速→由大变小.速度由小变大时,路程曲线上升得越来越快,曲线显得陡峭;匀速行驶中路程曲线上升速度不变;速度由大变小时,路程曲线上升得越来越慢,曲线显得平缓.5.(5分)(多选)下列关于函数图象的结论正确的是 ()A.函数f(x)=-2x与f(x)=-2x(B.函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线C.函数y=2x+1(x≥0)的图象是一条射线D.函数y=x2(x≥0)的图象是一条曲线【解析】选CD.A选项,两函数的定义域不同,图象不同,A错;B选项,函数y=2x(x∈N)的图象是由离散的点组成的,B错;C选项,函数y=2x+1(x≥0)的图象是一条射线,C对;D选项,函数y=x2,x≥0的图象是抛物线的一部分,D对.6.(5分)(多选)已知函数f(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是 ()A.f(-3)=-2 B.f(-2)=-3C.f(0)=1 D.f(2)=2【解析】选AD.由题图可知f(-3)=-2,f(0)=0,f(2)=2,f(-2)≠-3.7.(5分)已知反比例函数f(x)的图象经过点(1,2),则f(3)=23【解析】设f(x)=kx(k≠0),依题意,得k=2,所以f(x)=2x.所以f(3)=【补偿训练】已知二次函数f(x)的图象经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则函数f(x)的解析式为f(x)=-(x+2)2+3.

【解析】由题意可设f(x)=a(x+2)2+3,又f(-3)=2,所以a(-3+2)2+3=2,所以a=-1.所以f(x)=-(x+2)2+3.8.(5分)已知函数f(x)的部分对应值如表所示,则f(f(4))=5.

x12345f(x)54312【解析】由题表得ff4=f1=59.(5分)已知正方形的周长为x,它的外接圆的半径为y,则y关于x的解析式为y=28x(x>0)【解析】因为正方形的周长为x(x>0),所以正方形的边长为x4又因为正方形外接圆的直径是该正方形的对角线,所以外接圆的直径2y=2x4,即y=2810.(10分)某商场新进了10台电脑,每台售价3000元,试求售出台数x与收款钱数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.【解析】(1)列表法:x/台12345y/元3000600090001200015000x/台678910y/元1800021000240002700030000(2)图象法:(3)解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.【综合应用练】11.(5分)函数f(x)=|x+1|+1的图象为 ()【解析】选A.根据题意函数f(x)=|x+1|+1,有f(0)=1+1=2,排除CD.有f(1)=3,排除B.12.(5分)(多选)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,y关于x的函数图象如图1所示.由于目前该片盈利额未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,如图2,图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象,则下列四种说法中正确的是 ()A.题图2对应的方案是:提高票价,并提高固定成本B.题图2对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本C.题图3对应的方案是:提高票价,并保持固定成本不变D.题图3对应的方案是:提高票价,并降低固定成本【解析】选BC.由题图1可知,点A纵坐标的相反数表示的是固定成本,直线的倾斜程度表示的是票价的高低,故题图2降低了固定成本,但票价保持不变,即B正确;题图3固定成本保持不变,但提高了票价,即C正确.13.(5分)如表表示函数y=f(x),则f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}.

x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x<20y46810【解析】当0<x<5时,f(x)>x的整数解为{1,2,3}.当5≤x<10时,f(x)>x的整数解为{5}.当10≤x<15时,f(x)>x的整数解为⌀.当15≤x<20时,f(x)>x的整数解为⌀.综上所述,f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}.14.(10分)画出下列函数的图象,并指出其值域:(1)y=1-x(x∈Z且|x|≤2);【解析】(1)因为x∈Z且|x|≤2,所以x∈{-2,-1,0,1,2}.所以函数图象为一条直线上的孤立点,如图所示.由图可知函数的值域为{3,2,1,0,-1}.(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).【解析】(2)由题意得,y=2(x-1)2-5,当x=0时,y=-3;当x=3时,y=3;当x=1时,y=-5.函数图象如图所示.由图可知函数的值域为[-5,3).15.(10分)如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2m,渠深为1.8m,斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;【解析】(1)由已知,横断面为等腰梯形,下底为2m,上底为(2+2h)m,高为hm,所以水的面积A=[2+(2+2h)]h2=h(2)确定函数的定义域和值域.【解析】(2)定义域为{h|0<h<1.8}.值域由二次函数A=h2+2h(0<h<1.8)求得.由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知,0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}.【创新拓展练】16.(5分)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则b的取值范围是 ()A.(-∞,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,+∞)【解析】选A.由f(x)的图象知点(0,0),(1,0),(2,0)在图象上,得d⇒b所以f(x)=ax3-3ax2+2ax.又由图象知f(-1)<0,所以-a-3a-2a<0⇒a>0,则b=-3a<0.十二基本不等式(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是 ()A.4 B.43 C.9 D.18【解析】选D.因为m>0,n>0,mn=81,所以m+n≥2mn=18,当且仅当m=n=9时,等号成立,故m+n的最小值是18.2.(5分)设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是 ()A.s≥t B.s>tC.s≤t D.s<t【解析】选A.因为b2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立),所以a+2b≤a+b2+1,所以t≤s.【补偿训练】已知m=a-2+1a-2(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是 A.m>n B.m<nC.m=n D.不确定【解析】选A.因为a>2,所以a-2>0,所以m=(a-2)+1a-2≥2(a-由b≠0,得b2≠0,所以n=2-b2<2.综上可知m>n.3.(5分)已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 ()A.16 B.9 C.4 D.36【解析】选B.(1+x)(1+2y)≤[(1+x)+(1+2y)2]2=(2+x+2y4.(5分)不等式9x-2+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是 A.x=5 B.x=-3C.x=3 D.x=-5【解析】选A.当x>2时,9x-2+(x-2)≥29x-2·(x-2)=6,等号成立的条件是9x5.(5分)(多选)(2023·烟台高一检测)下列函数中最小值为2的是 ()A.y=x+1B.y=x+1+1x+1C.y=x2+3D.y=x+4x+2(【解析】选BD.对于A选项,x=-1时,y=-2,所以A选项错误.对于B选项,y=x+1+1x+1≥2x+1·1x+1对于C选项,y=x2+3+1x2+3≥2x2+3·1x2+3对于D选项,y=x+4x+2=x+2+4x+2-2≥2(x+2)·46.(5分)(多选)下列条件可使ba+ab≥2成立的有 (A.ab>0 B.ab<0C.a>0,b>0 D.a<0,b<0【解析】选ACD.根据基本不等式的条件,a,b同号,则ba>0,ab7.(5分)当x>0时,求12x+4x的最小值为83【解析】因为x>0,所以12x>0,4x>0所以12x+4x≥212x·当且仅当12x=4x,即x=3所以当x>0时,12x+4x的最小值为838.(5分)(2024·广州高一检测)已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为14,此时x=12【解析】因为0<x<1,所以1-x>0,所以x(1-x)≤[x+(1-x)2]2=(12)2=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,“=”成立,即当9.(5分)函数y=x1-x2(0<x<1)的最大值为【解析】由0<x<1,可得y=x1-x2=x2(1-x2)≤x2+1-x22=110.(10分)已知a>0,b>0,且a+b=1a+1b,求证:a+b【证明】由a>0,b>0,则a+b=1a+1b=由于a+b>0,则ab=1,即a+b≥2ab=2,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以a+b≥2.【补偿训练】已知x>0,y>0,xy=4,求2x+1y【解析】因为xy=4,且x>0,y>0,所以2x+1y≥22xy=21当且仅当x=22,y=2时取等号,即2x+1y的最小值为【综合应用练】11.(5分)设M=(n+1n)3,N=n3+1n3+6,对于任意的n>0,M,N的大小关系为 A.M≥N B.M>NC.M≤N D.不能确定【解析】选A.M-N=(n+1n)3-n3-1n3-6=n3+1n3+3n+3n-n3-1n3-6=3(n+1n)-6,因为n>0,所以n+1n≥2n·12.(5分)(多选)若a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 ()A.a2+1>aB.(a+1a)(b+1C.(a+b)(1a+1D.a2+9>6a【解析】选ABC.对A.根据基本不等式可知a>0时,a2+1≥2a>a,即a2+1>a,所以A正确;B.当a>0,b>0时,a+1a≥2a·1a=2,当a=1时等号成立,b+1b≥2b·1b=2,当b=1时等号成立,所以(a+1a)(b+1b)≥4,当a=1,b=1时等号成立,故B正确;C.(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,当a=b时等号成立,故C正确;D.a213.(5分)已知x>0,y>0,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为3,取得最大值时y的值为2【解析】因为x>0,y>0,且1=x3+y4≥2所以xy≤3.当且仅当x3=y4=12,即x=3214.(10分)已知a>0