高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十七　不同函数增长的差异含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十七不同函数增长的差异含答案三十七不同函数增长的差异(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)下列函数增长速度最快的是()A.y=1.1x B.y=2023x2C.y=log2023x D.y=2023x【解析】选A.由函数y=1.1x为单调递增的指数函数,函数y=2023x2为二次函数,y=log2023x为递增的对数函数,y=2023x为递增的一次函数,根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质,可得指数函数增长速度最快.2.(5分)在2h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()【分析】根据在2h内,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减即可得出.【解析】选B.在2h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且为增函数,排除A,D,停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C.所以能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.3.(5分)若x∈(0,1),则下列结论正确的是()A.2x>x12>lgx B.2x>lgxC.x12>2x>lgx D.lgx>x【解析】选A .根据指数函数的单调性,可知当x∈(0,1)时,y=2x∈(1,2);根据幂函数的单调性,可知当x∈(0,1)时,y=x12∈(0,1);根据对数函数的单调性,可知当x∈(0,1)时,y=lgx所以2x>x124.(5分)函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)可能是()A.y=1-x-1,x∈(0,+∞)B.y=32-12x,C.y=lnxD.y=x-1,x∈(0,+∞)【解析】选C.由题中图象过(1,0)知B不正确;由f(3)>1知A不正确;由题中图象为曲线知D不正确.【补偿训练】幂函数、指数函数、对数函数是生活中三类常见基本的初等函数,可以刻画客观世界不同的变化规律.已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则()A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】选A.由题图可得曲线①为对数函数y=logcx,在定义域内为增函数,则c>1,曲线②为指数函数y=bx,为减函数,则0<b<1,曲线③为幂函数y=xa,在(0,+∞)上为减函数,则a<0,所以a<0<b<1<c.5.(5分)在某次试验中,测得变量x和变量y之间的对应数据如表.x0.500.992.013.98y-1.01-0.010.982.00则下列函数中,最能反映变量x和y之间的变化关系的是()A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2 D.y=log2x【解析】选D.将x=0.50,y=-1.01代入计算,可以排除A;将x=2.01,y=0.98代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.6.(5分)(多选)函数f(x)=12x,g(x)=log12x,h(x)=A.f(x)递减速度越来越慢B.g(x)递减速度越来越慢C.h(x)递减速度越来越慢D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度【解析】选ABC.根据指数函数,对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间(0,+∞)上,f(x)=12g(x)=log12h(x)=x-h(x)的递减速度慢于g(x)的递减速度,故D错误.7.(5分)当x∈(1,e)时,试探究三个函数y=3x,y=lnx,y=3ex的增长差异,用“>”把它们连接起来为【解析】令y1=3x,y2=3ex,y3=lnx所以,当x∈(1,e)时,3<3x<3e,1<3e<3ex<3,0<lnx<1,故3x>3>3e答案:3x>3ex>ln8.(5分)下列分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型,从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是.

①y=10×1.05x;②y=20+x2;③y=30+lg(x+1);④y=50x.【解析】结合四类函数的增长差异可知,指数函数增长速度最快,所以①的预期收益最大.答案:①9.(5分)(2024·北京高一检测)A,B,C三个人同时从同一点出发同向而行,位移y关于时间x(x>0)的函数关系式分别为yA=2x-1,yB=log2x,yC=x12,则下列结论中,所有正确结论的序号是①当x>1时,A总走在最前面;②当0<x<1时,C总走在最前面;③当x>4时,B一定走在C前面.【解析】在同一坐标系内画出yA=2x-1,yB=log2x,yC=x1当x=1时,yA=2-1=1,yC=112=1,故当x>1时,A总走在最前面,当0<x<1时,由图象可知,C总走在最前面,②正确;当x=4时,yB=log24=2,yC=41当x=16时,yB=log216=4,yC=161由于幂函数yC=x12的增长速度>对数函数yB=log2故4<x<16时,B走在C前面;当x>16时,B走在C后面,③错误.答案:①②10.(10分)设y1=log2x,y2=x2,y3=2x.令x1=2n,x2=2n+1.(1)请分别化简下列各式:①log2x2-log2x1;②x22-x12;③【解析】(1)①将x1=2n,x2=2n+1代入可得log2x2-log2x1=log22n+1-log22n=n+1-n=1;②将x1=2n,x2=2n+1代入可得x22-x12=(2n+1)2-(2n)2=22(n+1)-22③将x1=2n,x2=2n+1代入可得2x2-2x1=22n+1(2)结合(1)中的化简结果,谈谈你对对数函数y1,幂函数y2,指数函数y3变化的感受.【解析】(2)结合(1)中的化简结果可知,对数函数y1,幂函数y2,指数函数y3都会随着x的增大而增大,但是它们的增长速度不同,当自变量x的增量相同时,对数函数y1的增长速度越来越慢,幂函数y2、指数函数y3的增长速度越来越快,且y3的增长速度大于y2(答案不唯一).【综合应用练】11.(5分)(2024·太原高一检测)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:x1357911y15135625171536356655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40则与x呈对数函数模型、指数函数模型、幂函数模型变化的变量依次是()A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2【解析】选C.由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较,指数函数增长速度最快,对数函数增长速度最慢,由题中表格可知,y1是幂函数,y2是指数函数,y3是对数函数.12.(5分)(2023·泸州高一检测)已知p:-1<x<2,q:2x+1-log2(x+2)<1,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.对于q:2x+1-log2(x+2)<1,2x+1<log2(x+2)+1,令y1=log2(x+2)+1,y2=2x+1,根据图象的平移得出两函数图象,如图所示:根据图象可知,要使y1>y2,则-1<x<0,又因为p:-1<x<2,所以pq,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.13.(5分)(2024·北京高一期末)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa(a>0且a≠1),给出下列三个结论:①当a>1时,对∀x∈(0,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象上方;②当a=2时,函数f(x)与h(x)的图象有2个交点;③∃x0∈(0,+∞),当x>x0时,恒有h(x)>g(x).其中正确结论的序号是.

【解析】对于①,取a=e1e>e0,则f(x)=e1exg(x)=loge1ex满足g(e)=log所以此时f(e)=g(e),不满足函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象上方,故①不正确.对于②,当a=2时,函数f(x)=2x,h(x)=x2,f(2)=g(2)=4,f(4)=g(4)=16,作出函数f(x)=2x,h(x)=x2的图象:根据图象可得,在x<0时,函数f(x)=2x,h(x)=x2有1个交点.所以当a=2时,函数f(x)与h(x)的图象有3个交点,故②不正确.对于③,当0<a<1时,在x>1时,g(x)=logax的图象在x轴下方;h(x)=xa的图象在x轴上方.此时显然满足条件.当a>1时,对于对数函数g(x)=logax和幂函数h(x)=xa,在区间(0,+∞)上,随着x的增大,g(x)=logax增长得越来越慢,图象就像与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xa,但由于xa的增长速度快于logax的增长速度,因此总存在一个x0,当x>x0时,恒有h(x)>g(x)成立,故③正确.答案:③14.(10分)某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y随利润x的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求?【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象如图所示:观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.【创新拓展练】15.(5分)当0<x≤12时,4x<logax,则a的取值范围是(A.(0,22) B.(2C.(1,2) D.(2,2)【分析】分a>1和0<a<1两种情况讨论,即可得出结果.【解析】选B.当a>1时,显然不成立.当0<a<1时,当x=12时,412=2,此时loga12=2,解得a=22,根据对数函数的图象和性质可知,要使4x<logax在0<x≤12【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数的应用,熟记对数函数与指数函数的性质即可,属于常考题型.16.(5分)若已知16<x<20,利用图象可判断出x12和log2x的大小关系为【解析】作出f(x)=x12和g(x)=log2由图象可知,在(0,4)内,x12>log2x;x=4或x=16时,x12在(4,16)内,x12<log2x;在(16,20)内,x1答案:x12>log。三十三对数的运算(二)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)下列运算中正确的是 ()A.log38log35=log85B.C.lg(2+5)=lg2·lg5 D.12【解析】选D.对于选项A,由换底公式可得log38log对于选项B,log46=12log26=log26对于选项C,lg(2+5)=lg2·lg5错误,正确的应该是lg(2×5)=lg2+lg5,故C不正确;对于选项D,12-log22.(5分)已知lg3=a,lg7=b,则lg349的值为(A.a-b2 B.a-2b C.b2a D【解析】选B.因为lg3=a,lg7=b,所以lg349=lg3-lg49=lg3-2lg7=a-23.(5分)(log43+log83)(log32+log92)= ()A.54 B.45 C.15 D【解析】选A.(log43+log83)(log32+log92)=(12log23+13log23)(log32+12=(56log23)(32log32)=54×lg3lg2×4.(5分)(2024·德州高一检测)某企业由于引进新的技术,产值逐年增长,如果从2023年起,每年的产值比上一年平均增加20%,那么产值翻两番(即原来的4倍)至少经过(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771) ()A.5年 B.8年 C.11年 D.14年【解析】选B.设至少经过n年产值翻两番,则(1+20%)n=4,解得n=log1.24=lg4lg1.=2lg2lg12-lg10=≈2×0.301所以至少经过8年产值翻两番.5.(5分)(多选)已知a=lg2,b=lg3,则 ()A.a+b=lg6 B.a2b=logC.2+ab=log212 D.b-a=lg【解析】选ACD.对A:lg6=lg2+lg3=a+b,A正确;对B:log34=lg4lg3=2lg2lg3=2a对C:log212=log24+log23=2+lg3lg2=2+a对D:lg32=lg3-lg2=b-a,D正确6.(5分)(多选)若log2m=log4n,则 ()A.n=2m B.log9n=log3mC.lnn=2lnm D.log2m=log8(mn)【解析】选BCD.依题意log2m=log4n,所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12,所以m=n12log9n=log32m2=22log3m=log3lnn=lnm2=2lnm,C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log27.(5分)如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α,β,则αβ的值为.

【解析】由题意知,lgα,lgβ是一元二次方程z2+(lg7+lg5)z+lg7·lg5=0的两根,依据根与系数的关系得lgα+lgβ=-(lg7+lg5),lg(α·β)=lg(7×5)-1,所以α·β=135答案:18.(5分)设a>0且a≠1,b>0,若logab·log5a=3,则b=.

【解析】因为logab·log5a=3,所以lgblga·lgalg5=lgb答案:1259.(5分)计算:log49·log38+lne2+lg0.01+51+log5【解析】由题意可得:log49·log38+lne2+lg0.01+5=log2232·log323=3log23·log32+5×3=3+15=18.答案:1810.(10分)(1)计算:12log25+ln1e+log【解析】(1)12log25+ln1e=2-log25+lne-1+=2log25-1-1+=5-1-1+1log53×2(2)已知lg2=a,lg3=b,求log236的值.【解析】(2)log236=log2(22×32)=log222+log232=2+2×lg3lg2=2+2【补偿训练】已知lg2=a,lg3=b.(1)求lg72,lg4.5;【解析】(1)lg72=lg(23×32)=3lg2+2lg3=3a+2b;lg4.5=lg92=2lg3-lg2=2b-(2)若lgx=a+b-2,求x的值.【解析】(2)lgx=a+b-2=lg2+lg3-2=lg2+lg3+lg1100=lg6所以x=6100=0.06【综合应用练】11.(5分)(2024·忻州高一检测)已知3a=5b=2,则lg6= ()A.a+1a(bC.b(a+1)【解析】选C.因为3a=5b=2,所以a=log32=lg2lg3,b=log52=lg2lg5=所以lg2=bb+1,lg3=lg2a所以lg6=lg2+lg3=bb+1+ba(b12.(5分)(多选)(2024·太原高一检测)下列运算中正确的是 ()A.2log510+log50.25=2B.log427×log258×log95=8C.lg2+lg50=10D.eln2+ln3=6【解析】选AD.对于选项A,2log510+log50.25=log5(102×0.25)=log552=2,所以选项A正确;对于选项B,log427×log258×log95=lg33lg22×lg对于选项C,lg2+lg50=lg100=2,所以选项C错误;对于选项D,eln2+ln3=eln2·eln3=2×3=6,所以选项D正确.13.(5分)(2024·南京高一检测)已知a=log26,3b=36,则1a+2b=,2a【解析】由题意知a=log26,3b=36,可得b=log336=2log36,所以1a=1log26=log62,2b所以1a+2b=log62+log63=log又由ab=log262log36=12log23=log2答案:1314.(10分)求满足下列条件的各式的值.(1)若xlog34=1,求4x+4-x的值;【解析】(1)因为xlog34=1,所以log34x=1,所以4x=3,所以4x+4-x=3+3-1=103(2)设3x=4y=6z,求证:1x+12y【解析】(2)设3x=4y=6z=m(m>0),则x=log3m,y=log4m,z=log6m.所以1x=logm3,1y=logm4,1z=log所以1x+12y=logm3+logm所以1x+12y15.(10分)(2024·荆州高一检测)某地为践行绿水青山就是金山银山的理念,大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩,计划每年种植一些树苗,且森林面积的年增长率相同,当面积是原来的2倍时,所用时间是10年.(1)当森林面积为原来的2倍,则该地已经植树造林多少年?【解析】(1)设森林面积的年增长率为x,根据题意可得:a(1+x)10=2a,即(1+x)10=2,则1+x=2110,故x=2110-1设该地已经植树造林n年,则a(1+x)n=2a,所以2n10=2=21故该地已经植树造林5年.(2)为使森林面积至少达到6a亩,至少需要植树造林多少年(精确到整数)?(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.