高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十　指数函数的图象和性质(二)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十指数函数的图象和性质(二)含答案三十指数函数的图象和性质(二)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)函数y=2x-1x-1的定义域是A.R B.{x|x≠1}C.{x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1}【解析】选C.要使y=2x-1x-1有意义,只需x2.(5分)当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是()A.(-89,8] B.[-8C.(19,9) D.[1【解析】选A.y=3-x-1=(13)x-1,x∈[-2,2)是减函数,所以3-2-1<y≤32-1,即-89<y3.(5分)已知函数f(x)=3x-(13)x,则f(x) (A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数【解析】选A.f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-3x=-f(x),则f(x)为奇函数.y=3x为增函数,y=(13)x为减函数,则f(x)=3x-(134.(5分)一种药物在病人血液中的量低于80mg时病人就有危险,现给某病人静脉注射这种药物10000mg,如果药物在血液中以每小时80%的比例衰减,那么应再向病人的血液中补充这种药物不能超过的最长时间为 ()A.1.5个小时 B.2个小时C.2.5个小时 D.3个小时【解析】选D.设不能超过的最长时间为x个小时,有10000(1-0.8)x≥80,即0.2x≥0.008,解得x≤3,即不能超过的最长时间为3个小时.5.(5分)(多选)下列函数中,最小值为2的是 ()A.f(x)=x2+2x+3 B.g(x)=ex+e-xC.h(x)=3x+2 D.m(x)=2|x|+1【解析】选ABD.f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当x=-1时,等号成立,故A正确;g(x)=ex+e-x=ex+1ex≥2,当且仅当h(x)=3x+2,由于3x>0,所以h(x)>2,故C错误;m(x)=2|x|+1≥20+1=2,当且仅当x=0时,等号成立,故D正确.6.(5分)(多选)已知函数f(x)=1-23x+1A.函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}B.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)在其定义域上是增函数D.函数f(x)在其定义域上是减函数【解析】选BC.因为3x>0,3x+1≠0,函数f(x)的定义域为R,f(x)=1-23x+1=3所以f(-x)=3-x-13-x所以f(x)是定义在R上的奇函数.任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1-23x1=23x2+1-23因为x1<x2,所以3x1-3f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在其定义域上是增函数.7.(5分)函数y=2x-1【解析】由题意得2x-1-8≥0,即2x-1≥8=23,所以x-1≥3,解得x≥4.答案:[4,+∞)8.(5分)若函数y=(12)x在[-2,-1]上的最大值为m,最小值为n,则m+n=【解析】由指数函数y=(12)x的图象可知在x=-1处取最小值为2,在x=-2处取最大值为4,所以m+n=6答案:69.(5分)已知函数f(x)=ex-e-xex且为函数(填“增”或“减”).

【解析】函数f(x)=ex那么f(-x)=e-x-exex所以f(x)是奇函数.又f(x)=ex-e-xex+e因为函数y=2e所以函数f(x)=ex-答案:奇增10.(10分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm(ppm为浓度单位,一个ppm表示百万分之一),再过4分钟又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分)存在函数关系y=c(12)mt(c,m为常数)(1)求c,m的值;【解析】(1)因为函数y=c(12)mt(c,m所以64=c·(12)

4(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?【解析】(2)由(1)得y=128(12)

14t,所以128(12)

1故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.【补偿训练】某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒,根据药学原理,从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y=10t,0≤t≤0.【解析】当0≤t≤0.1时,y=10t=0.25时,t=0.025,但是随着时间的增加,室内的含药量也在增加,所以此时学生不能回到教室.当t>0.1时,(116)t-0.1≤14,所以t-0.1≥12,解得t≥0.6,所以至少需要经过0【综合应用练】11.(5分)(多选)如图,某湖泊蓝藻的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系满足y=at,则下列说法正确的是 ()A.蓝藻面积每个月的增长率为200%B.蓝藻每个月增加的面积都相等C.第4个月时,蓝藻面积就会超过80m2D.若蓝藻面积蔓延到2m2,4m2,8m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则一定有2t2=t1+t3【解析】选ACD.由题图可知,函数y=at的图象经过(1,3),即a1=3,则a=3,所以y=3t,所以3t+1-3t=2·3t不是常数,则蓝藻每个月的面积是上个月的3倍,则每个月的增长率为200%,A正确、B错误;当t=4时,y=3若蓝藻面积蔓延到2m2,4m2,8m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则3t1=2,3t所以(3t2)2=3t1·3t3,则t1+t12.(5分)已知函数f(x)=(13)

ax2-4x+3,如果函数A.0.5 B.1 C.1.5 D.2【解析】选B.令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=(13)h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1因此必有a>0,12即当f(x)有最大值3时,实数a的值为1.13.(5分)若函数f(x)=2x,x<0,-2【解析】由x<0,得0<2x<1;由x>0,所以-x<0,0<2-x<1,所以-1<-2-x<0.所以函数f(x)的值域为(-1,0)∪(0,1).答案:(-1,0)∪(0,1)14.(10分)求下列函数的定义域、值域:(1)y=3x【解析】(1)由题意得,函数的定义域为R.y=3x1+3x=因为3x>0,所以1+3x>1,所以0<11+3x所以0<1-11+3(2)y=4x-2x+1.【解析】(2)由题意得,函数的定义域为R.y=(2x)2-2x+1=(2x-12)2+34,因为2x>0,所以当2x=即x=-1时,y取得最小值34,所以函数的值域为[3415.(10分)已知定义域为R的函数f(x)=-2x(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性;【解析】(1)由题意,得f(0)=-1+所以a=1,经检验符合题意,所以f(x)=1-该函数在定义域R上是减函数,证明如下:∀x1,x2∈R,x1<x2,f(x2)-f(x1)=1-2x21+因为x1<x2,所以0<2x1<所以2x1-2x2<0,(1+所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).所以该函数在定义域R上是减函数.(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(2)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,得f(t2-2t)<-f(2t2-k).易知f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2),由(1)知,f(x)是减函数,所以t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立,所以Δ=4+12k<0,得k<-13所以实数k的取值范围是(-∞,-13)【创新拓展练】16.(5分)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函数f(x)=2ex1+ex+12,g(x)=[f(A.g(x)是偶函数B.f(x)在R上是增函数C.f(x)的值域是(-12D.g(x)的值域是{-1,0,1}【解析】选B.对于A,根据题意知,f(x)=2ex1+ex+1因为g(2)=[f(2)]=[52-2g(-2)=[f(-2)]=[2e-21+e-2所以g(2)≠g(-2),所以函数g(x)不是偶函数,故A错误;对于B,因为y=1+ex在R上是增函数,所以y=21+ex在R上是减函数,则f(x)=5对于C,因为ex>0,所以1+ex>1,0<21+ex<2,-2<-21+ex<0,所以12<f(x)<52,即对于D,因为f(x)的值域是(12,5所以g(x)的值域是{0,1,2},故D错误.17.(5分)设函数y=1+2x+a·【解析】设t=2x,因为x∈(-∞,1],所以0<t≤2.则原函数有意义等价于1+t+at2≥0在t∈(0,2]上恒成立,所以a≥-t+1t2,设f(t则f(t)=-1+tt2=-(1t+12因为0<t≤2,所以1t∈[1所以f(t)≤f(2)=-34,所以a≥-3答案:[-34三十八函数的零点与方程的解(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)函数f(x)=1-lg(3x+2)的零点为()A.log38 B.2 C.log37 D.log25【解析】选A.令f(x)=1-lg(3x+2)=0,得3x+2=10,则x=log38.2.(5分)(2024·河池高一检测)不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-bx+c的零点为()A.1,-2 B.-1,2C.(1,0),(-2,0) D.(-1,0),(2,0)【解析】选A.因为ax2-bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},所以方程ax2-bx+c=0的两根分别为-2和1,且a<0,则-2+1=b故函数y=ax2-bx+c=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),所以x轴的交点坐标为(1,0)和(-2,0),所以零点为1,-2.3.(5分)(2024·南京高一检测)设x1,x2是函数y=6x2-x-2的两个零点,则1x1+1xA.2 B.-2 C.12 D.-【解析】选D.因为x1,x2是函数6x2-x-2=0的根,由题意x1+x2=16x1x2=-13,1x1+1x24.(5分)若函数f(x)=2x-2x-a在(1,2)上存在1个零点,则a的取值范围是(A.(0,3) B.(-3,3)C.[-3,3] D.(-3,0)【解析】选A.函数f(x)=2x-2x-a在(1,2)上存在1个零点,又f(x)=2x-2x-a单调递增,根据零点存在定理,得f(1)=21-21-a<0,f(2)=22-22-a5.(5分)(多选)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的可能取值为()A.13 B.14 C.12 【解析】选AB.①当a>1时,画出两个函数在同一坐标系下的图象,若有两个交点,则0<2a<1,所以0<a<12因为a>1,所以此种情况不存在;②当0<a<1时,画出两个函数在同一坐标系下的图象,若有两个交点,则0<2a<1,所以0<a<12因为0<a<1,所以0<a<12综上,a的取值范围是a0<a<6.(5分)(多选)已知函数f(x)=-(x+1)2+1,x<02x-2,xA.-1 B.-12 C.12 【解析】选ABD.如图所示,根据二次函数及指数函数的图象和性质可作出分段函数f(x)的图象,可知y=-(x+1)2+1≤1(x<0),y=2x-2≥-1(x≥0),而g(x)=f(x)-a有两个不同的零点等价于函数y=f(x)与函数y=a有两个不同的交点,结合图象可知a∈[-1,0]∪{1},所以A,B,D正确【补偿训练】(2024·淮北高一检测)已知函数f(x)=3x-1+1,(x≤1)|ln(x-1)|,(A.(0,1] B.(0,1]∪[2,+∞)C.(0,1) D.(2,+∞)【解析】选B.由题知,函数f(x)=3x作出f(x)的图象,利用数形结合思想可知:当a∈(0,1]∪(2,+∞)时,f(x)与y=a有两个交点.7.(5分)(2024·株洲高一检测)已知函数f(x)=loga(2x-1)-1的零点是2,则a=.

【解析】由题意得f(2)=loga3-1=0,解得a=3.答案:38.(5分)函数f(x)=x2-2【解析】令x2-2=0得,x=±2,因为x≤0,所以只有x=-2符合题意;令2x-6+lnx=0得,6-2x=lnx,在同一坐标系内,画出y=6-2x,y=lnx的图象,观察知交点有1个,所以f(x)的零点个数是2.答案:29.(5分)已知函数f(x)=lnx+3x-7的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=.

【解析】由题意可知函数f(x)=lnx+3x-7在定义域(0,+∞)内单调递增,易知f(2)=ln2+3×2-7=ln2-1<0,而f(3)=ln3+3×3-7=ln3+2>0,所以f(2)·f(3)<0,根据零点存在定理可知,函数f(x)在区间(2,3)内存在零点,所以可得n=2.答案:210.(10分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;【解析】(1)令-8x2+7x+1=0,解得x=-18或x=1所以函数的零点为-18,1(2)f(x)=1+log3x;【解析】(2)令1+log3x=0,即log3x=-1,解得x=13所以函数的零点为13(3)f(x)=4x-16;【解析】(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.(4)f(x)=x2【解析】(4)当x≤0时,x2+3x-4=0,即(x-1)(x+4)=0,解得x=1或x=-4.因为x≤0,所以x=-4;当x>0时,-1+lnx=0,解得x=e,满足x>0.所以函数的零点为-4和e.【综合应用练】11.(5分)(2024·上海高一检测)方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是()A.a∈(-∞,-1) B.a∈(-43C.a∈(-43,0) D.a∈【分析】令f(x)=x2+2ax-a,利用零点存在定理,建立参数a所满足的不等式,解不等式即得参数的取值范围.【解析】选B.因为一元二次方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根,令f(x)=x2+2ax-a,则由题意可得f(0)解得-43<m则方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)各有一个根的充要条件是a∈(-43,-1)12.(5分)(多选)若函数f(x)图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,则下列命题不正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点【解析】选ABC.因为f(1)·f(2)·f(4)<0,则f(1),f(2),f(4)中有一个小于0,另两个大于0,或三个都小于0.若f(1)<0,f(2)>0,f(4)>0,又因为f(0)>0,则f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点;若f(1)>0,f(2)<0,f(4)>0,又因为f(0)>0,则f(1)·f(2)<0,f(2)·f(4)<0,所以函数f(x)在区间(1,2),(2,4)内有零点;若f(1)>0,f(2)>0,f(4)<0,又因为f(0)>0,则f(2)·f(4)<0,所以函数f(x)在区间(2,4)内有零点;若f(1)<0,f(2)<0,f(4)<0,又因为f(0)>0,则f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点,综上,函数f(x)在区间(0,4)内必有零点,因此ABC错误,D正确.13.(5分)(2024·嘉兴高一检测)已知函数f(x)=1x,x>3,-x2+4x-3,x≤3.若实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(【解析】分析函数图象,如图所示,a,b关于x=2对称,又因为a<b<c,所以a+b=4,c∈(3,+∞),所以a+b+c∈(7,+∞).答案:(7,+∞)14.(10分)(2024·南昌高一检测)已知函数f(x)=|2x-2|.(1)在图中的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;【解析】(1)将y=2x的图象向下平移2个单位长度,得到y=2x-2,再将y=2x-2位于x轴下方的部分对称至x轴上方,得到f(x)=|2x-2|.所以函数f(x)的图象如图所示:(2)设g(x)=|2x-2|-b,讨论g(x)的零点个数.【解析】(2)令g(x)=f(x)-b=0,可得f(x)=b,可得g(x)的零点个数即为y=f(x)与y=b两图象的交点个数.由(1)中图可知:当b<0时,两图象无交点;当b=0或b≥2时,有一个交点;当0<b<2时,有两个交点.综上所述:当b<0时,g(x)无零点;当b=0或b≥2时,g(x)的零点个数为1;当0<b<2时,g(x)的零点个数为2.15.(10分)(2024·泸州高一检测)已知函数f(x)=log2(2-x)-log2(2+x).(1)用定义证明f(x)在定义域上是减函数;【解析】(1)根据题意,函数f(x)=log2(2-x)-log2(2+x),则有2-x>0即函数的定义域为(-2,2),设-2<x1<x2<2,则f(x1)-f(x2)=log2(2-x1)-log2(2+x1)-log2(2-x2)+log2(2+x2)=log2(2因为-2<x1<x2<2,所以(2故f(x1)-f(x2)=log2(2即f(x1)>f(x2),则函数f(x)在定义域上是减函数;(2)若函数g(x)=f(x)-x+a在x∈0,23上有