高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册3.3　幂函数含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册3.3幂函数含答案3.3幂函数【学习目标】1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x13.能利用幂函数的单调性比较大小.【素养达成】数学抽象、数学运算直观想象、逻辑推理逻辑推理一、幂函数的概念一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.教材挖掘幂函数有何特点,函数y=2x,y=2x2是幂函数吗?提示:幂函数的特征:(1)xα的系数是1;(2)xα的底数x是自变量;(3)xα的指数α为常数.函数y=2x不满足(2),不是幂函数,函数y=2x2不满足(1),不是幂函数.二、常见幂函数的图象与性质(1)函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12和y=x-1的图象都过点(2)函数y=x,y=x3,y=x-1是奇函数,函数y=x2是偶函数;(3)在区间(0,+∞)上,函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12单调递增,函数y=x-1单调(4)在第一象限内,函数y=x-1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.教材挖掘(P90)幂函数的图象能出现在第四象限吗?为什么?提示:不能,当x>0时,不论α如何取值,函数值均不小于0.【教材深化】幂函数的单调性(1)如果α>0,幂函数的图象在区间(0,+∞)上单调递增;如果α<0,幂函数的图象在区间(0,+∞)上单调递减.(2)在(1,+∞)上,随着指数的逐渐增大,函数图象越来越靠近y轴.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=x0是幂函数. (√)提示:满足幂函数的特征.(2)幂函数的图象都过原点. (×)提示:幂函数y=x-1的图象不过原点.(3)幂函数一定具有奇偶性. (×)提示:y=x12(4)当α>0时,幂函数y=xα在第一象限内都是递增的. (√)类型一幂函数的概念(数学抽象)【典例1】(1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于()A.2 B.1 C.12 D.【解析】选A.因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.(2)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=4f(2),则f(12)的值等于【解析】设f(x)=xα,因为f(4)=4f(2),所以4α=4×2α,解得α=2,所以f(x)=x2,所以f(12)=1答案:1【总结升华】幂函数概念的关注点一个必须:必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.三条满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.【即学即练】1.下列函数中,是幂函数的为()A.y=1x2 B.y=4x3 C.y=x2+x D【解析】选A.因为y=1x2=x-2,所以是幂函数;y=4x3由于出现系数4,因此不是幂函数;y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=1与y=x0(x≠0),可以看出,常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y2.若函数f(x)是幂函数,且满足f(3)=27,则f(-2)的值等于.

【解析】设f(x)=xα,因为f(3)=27,所以3α=27,解得α=3,所以f(-2)=(-2)3=-8.答案:-8类型二幂函数的图象及其应用(直观想象)【典例2】(1)如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则()A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1【解析】选B.在(0,1)内取同一值x0,作直线x=x0,与各图象有交点,如图所示.根据点低指数大,有0<m<1,n<-1.(2)(2024·上海高一检测)如图为三个幂函数y=xa1,y=xa2,y=xa3在其定义域上的局部图象,则实数a1,a2,【解析】对于y=xa1,由其图象可知a1<-1,例如a对于y=xa2,由其图象可知0<a2<1,例如a2=对于y=xa3,由其图象可知a3>1,例如a3=3,所以a1<a2<a答案:a1<a2<a3【总结升华】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴;在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴.(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=x12或y=x3【即学即练】下列关于函数y=xα与y=αx(α∈{-1,12【解析】选C.函数y=xα是幂函数,而y=αx是一次函数,选项A,直线对应函数y=x,曲线对应函数为y=x-1;选项B,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x12;选项C,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2;选项D,直线对应函数y=-x,曲线对应函数为y=x【补偿训练】函数y=x5【解析】选B.函数y=x53=3x5是定义域为R的奇函数,且此函数在定义域上是增函数,其图象关于原点对称,排除A,C.另外,因为y=(12)

53=12×(12)

23<12,y=153=1,y=253=2×223>2,所以当x∈(0,1)时,函数y=类型三幂函数的性质及其应用(逻辑推理)角度1比较幂值的大小【典例3】(类题·节节高)比较下列各组数的大小:(1)(23)0.5与(35)0.【解析】(1)因为y=x0.5在[0,+∞)上是增函数且23>35,所以(23)0.5>(35)(2)-3.143与-π3;【解析】(2)因为y=x3是R上的增函数,且3.14<π,所以3.143<π3,所以-3.143>-π3.(3)(32)

34与(3【解析】(3)因为函数y1=x3又32>1,所以(32)

34又因为函数y2=x32在(0,+∞)上单调递增,且所以(34)

32所以(32)

34>(3【总结升华】比较幂值大小的两种基本方法【即学即练】比较下列各组数的大小:(1)252与【解析】(1)因为幂函数y=x2在(0,+∞)上单调递增,又25>1所以252>(2)(-23)-1与(-35)【解析】(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,又-23<-3所以(-23)-1>(-35)角度2幂函数性质的综合问题【典例4】已知幂函数f(x)=xm2-m-3(m∈(1)求f(x);【解析】(1)由题知幂函数f(x)=xm2-m-3(m所以m2-m-3<0,解得1-132<m又m∈N*且m≥2,所以m=2.当m=2时,f(x)=x-1,为奇函数.故f(x)=x-1.(2)比较f(-2024)与f(-2023)的大小.【解析】(2)由题知f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,所以f(-2024)=-f(2024),f(-2023)=-f(2023),且f(2024)<f(2023),所以f(-2024)>f(-2023).【总结升华】幂函数性质综合问题的注意点(1)充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等;(2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合、转化与化归思想等.【即学即练】已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(3,13)(1)求函数f(x)的解析式,并判断奇偶性.【解析】(1)依题意得13=(3)α,α=-2故f(x)=x-2,定义域为x≠0.f(-x)=(-x)-2=1x2=x-2=f(x),所以f(x(2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性,并用单调性定义证明.【解析】(2)假设任意x1<x2<0,f(x1)-f(x2)=x1-2-=(x1+x2)(x2-x1)x12x(3)作出函数f(x)在定义域内的大致图象(不必写出作图过程).【解析】(3)如图.3.4函数的应用(一)【学习目标】1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.【素养达成】数学抽象数学建模类型一一次函数模型(数学建模)【典例1】某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计了两个污水处理方案,并准备实施.方案1:工厂污水净化后再排出,每处理1立方米污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案2:工厂污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元排污费.(1)若工厂每月生产3000件产品,在不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪个污水处理方案?请通过计算加以说明;【解析】设工厂生产x件产品时,依方案1得到的利润为y1元,依方案2得到的利润为y2元,则y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000.因为y1<y2,所以应选择方案2处理污水.(2)当工厂每月生产6000件产品时,又该如何决策呢?【解析】设工厂生产x件产品时,依方案1得到的利润为y1元,依方案2得到的利润为y2元,则y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000.因为y1>y2,所以应选择方案1处理污水.【总结升华】一次函数模型应用问题的关注点(1)特点:图象是一条直线;(2)方法:求一次函数解析式的常用方法是待定系数法;(3)单调性:当一次项系数为正时,一次函数为增函数;当一次项系数为负时,一次函数为减函数.提醒:建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围.【即学即练】某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示.(1)根据图象数据,求y与x之间的函数关系式;【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).由题中图象可知,当x=60时,y=6;当x=80时,y=10.所以60k+b=6,80k+所以y与x之间的函数关系式为y=1(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少?【解析】(2)根据题意,当y=0时,0≤x≤30.所以旅客最多可免费携带行李的质量为30kg.类型二二次函数模型(数学建模)【典例2】如图,某渠道的截面是一个等腰梯形,上底AD长为一腰和下底长之和,且两腰AB,CD与上底AD之和为8米.设腰长为x米.(1)将渠道的截面面积S表示为腰长x的函数关系式;【解析】(1)腰AB=CD=x米,则上底AD为(8-2x)米,下底BC为(8-3x)米,所以由勾股定理得梯形的高为32x米由x>0,8-2x>0,8-3x>0,可得0<x<83所以S=12[(8-2x)+(8-3x)]×3=34(-5x2+16x即S=34(-5x2+16x)(0<x<83(2)试问:等腰梯形的腰与上、下底长各为多少米时,截面面积最大?并求出截面面积S的最大值.【解析】(2)因为S=34(-5x2+16x)=-534(x-85)2+1635,所以x=85∈(0,此时,腰长AB=85米,上底AD=245米,下底BC=165米,最大截面面积为【总结升华】二次函数模型应用的关注点(1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【即学即练】据市场分析,某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式;【解析】(1)设y=a(x-15)2+17.5(a≠0),将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5,解得a=110所以y=110(x-15)2+17.5(10≤x≤25)(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?【解析】(2)设最大利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[110(x-15)2+17.5]=-110(x-23)2+12.9(10≤x所以月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.【补偿训练】A,B两城相距100km,在两城之间距A城xkm处的D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市的距离不得少于10km.已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.A城供电量为20亿千瓦时/月,B城为10亿千瓦时/月.(1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数,并求定义域.【解析】(1)由题意,设A城的月供电费用为y1,则y1=λ×20x2.设B城的月供电费用为y2,则y2=λ×10×(100-x)2,所以A,B两城月供电总费用y=λ×20x2+λ×10(100-x)2.又λ=0.25,所以y=152x2-500x+25000(10≤x≤90)(2)核电站建在距A城多远,才能使月供电总费用最小?【解析】(2)y=152x2-500x=152(x-1003)2+50则当x=1003时,y最小故当核电站建在距A城1003km处时,才能使月供电总费用最小类型三分段函数模型(数学建模)【典例3】经研究发现,学生的注意力与老师的授课时间有关,开始授课时,学生的注意力逐渐集中,到达理想的状态后保持一段时间,随后开始逐渐分散,用f(x)表示学生的注意力,x表示授课时间(单位:分),实验结果表明f(x)与x有如下关系:f(x)=5(1)开始授课后多少分钟,学生的注意力最集中?能维持多长时间?【解析】(1)由题意得,当0<x<10时,f(x)=5x+9,此时函数单调递增;当10≤x≤16时,函数f(x)取得最大值,此时f(x)=59;当16<x≤30时,f(x)=-3x+107,此时函数单调递减.所以开始授课后10分钟,学生的注意力最集中,能维持6分钟.(2)若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题?【解析】(2)当0<x<10时,令f(x)≥55,即5x+9≥55,解得9.2≤x<10,集中注意力时间共10-9.