高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册1.4　第2课时　充要条件含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册1.4第2课时充要条件含答案第2课时充要条件【学习目标】1.结合具体实例,理解充要条件的概念.2.会求(判断)某些问题成立的充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.【素养达成】数学抽象逻辑推理逻辑推理一、充要条件命题真假“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题推出关系既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q条件关系p既是q的充分条件,也是q的必要条件名称p是q的充分必要条件,简称为充要条件教材挖掘(P21)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”有区别吗?若有,区别在哪里?提示:有区别.(1)p是q的充要条件说明p是条件,q是结论.(2)p的充要条件是q说明q是条件,p是结论.版本交融(人BP36想一想)为什么有些数学对象有多种定义?提示:一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件,由于有些数学对象的充要条件不唯一,所以会有多种定义.二、四类条件命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分必要条件(充要条件),即p⇒q且q⇒p.(2)充分不必要条件,即p⇒q且qp.(3)必要不充分条件,即pq且q⇒p.(4)既不充分也不必要条件,即pq且qp.【教材深化】用集合的观点理解充分条件与必要条件p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⫋B,则p是q的充分不必要条件若B⊆A,则p是q的必要条件;若B⫋A,则p是q的必要不充分条件若A=B,则p,q互为充要条件【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(√)(2)如果命题“若p,则q”是真命题,其逆命题是假命题,那么p是q的充要条件.(×)提示:p⇒q,而qp,所以p是q的充分不必要条件.(3)若“A是B的充分不必要条件”,则“B是A的必要不充分条件”.(√)提示:二者都是“A⇒B且BA”.(4)由“p:x∈A”是“q:x∈B”的充要条件,可以得出A=B.(√)提示:若x∈A⇒x∈B,则A⊆B,反之B⊆A,故A=B.类型一充要条件的判断(逻辑推理)【典例1】判断下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p:x2>0,q:x>0;【解析】(1)p:x2>0,则x>0或x<0,q:x>0,故p是q的必要不充分条件.(2)p:x=1,q:x-1=x-【解析】(2)当x=1时,x-1=x-当x-1=x-1时,x=1或x所以p是q的充分不必要条件.(3)p:a是自然数,q:a是正数;【解析】(3)0是自然数,但0不是正数,故pq;又12是正数,但12不是自然数,故qp.故p是q的既不充分也不必要条件.(4)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA.【解析】(4)因为A∩B=A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA,所以p是q的充要条件.【总结升华】判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.(2)集合法:利用集合的包含关系判断.(3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性.【即学即练】判断下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等;【解析】(1)充要条件.(2)p:两个角不都是直角,q:两个角不相等.【解析】(2)p:两个角不都是直角,这两个角可以相等,q:两个角不相等,则这两个角一定不都是直角,故p是q的必要不充分条件.类型二充要条件的探求(逻辑推理)【典例2】(1)(多选)下列选项中,是“四边形是平行四边形”的充要条件的是()A.四边形四条边相等B.四边形两组对边分别相等C.四边形两组对边分别平行D.四边形的对角线互相垂直【解析】选BC.因为“四边形两组对边分别相等”与“四边形两组对边分别平行”既是“四边形是平行四边形”的充分条件,又是必要条件,所以它们是“四边形是平行四边形”的充要条件.(2)“a,b中至少有一个不为零”的充要条件是()A.ab=0 B.ab>0C.a2+b2=0 D.a2+b2>0【解析】选D.a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.【总结升华】探求充要条件的两种方法(1)等价法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中探求的过程也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的.(2)非等价法:先寻找必要条件,再找充分条件,从必要性和充分性两方面说明.【即学即练】1.方程x2-2x+a=0无实根的充要条件是()A.a≤1 B.a<1 C.a≥1 D.a>1【解析】选D.方程x2-2x+a=0无实根⇔Δ=4-4a<0⇔a>1.2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是.

【解析】函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则-m2=1,即m=-2;反之,若m=-2,则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称答案:m=-2类型三充要条件的证明(逻辑推理)【典例3】求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.【证明】必要性:由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根,所以Δ=b2-4ac>0,且x1x2=ca<0,所以ac<0充分性:由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=ca所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实根.综上,一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.【总结升华】充要条件的证明策略要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.提醒:证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.【即学即练】求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.【证明】①充分性:如果b=0,那么y=kx,当x=0时,y=0,函数图象过原点.②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,所以b=0.综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.【补偿训练】已知a,b是正实数,求证:a+1b+b+1a+2=2ab的充要条件是【证明】必要性:若a+1b+b+1则a(a+1即a2+a+b2+b+2ab=2,即(a+b)2+(a+b)-2=0,即(a+b-1)(a+b+2)=0,因为a,b是正实数,所以a+b+2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.充分性:若a+b=1,则a+1b+b=a2+=1+1ab=2综上,a+1b+b+1a+2=2ab的充要条件是教材深一度锐角、钝角三角形的充要条件(链接教材习题1.4T6)【结论】若a,b,c分别为△ABC的三条边,且a≤b≤c,则:(1)△ABC是锐角三角形的充要条件是a2+b2>c2;(2)△ABC是钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2.【典例4】在△ABC中,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,假设三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍(如a2=b2+c2-2bccosA),若cosB<0,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形且∠B为直角C.钝角三角形且∠B为钝角D.锐角三角形或钝角三角形【解析】选C.由假设得b2=a2+c2-2accosB,变形得cosB=a2+c2-b22ac,因为cosB<0,所以a2+c2-b2<0,即a2+c2<b1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词【学习目标】1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.理解全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.【素养达成】数学抽象数学抽象逻辑推理一、全称量词与全称量词命题全称量词定义短语“所有的”“任意一个”在逻辑中称为全称量词符号表示∀全称量词命题定义含有全称量词的命题一般形式对M中任意一个x,p(x)成立符号表示∀x∈M,p(x)教材挖掘(P26)短语“都不是”是全称量词吗?“不都是”呢?提示:“都不是”是全称量词,“不都是”不是全称量词.版本交融(北师大版P19思想交流)你能举出初中数学的一些全称量词命题吗?提示:“对顶角相等”“所有等腰三角形的两底角相等”“任何实数的平方都是非负数”等等.二、存在量词与存在量词命题存在量词定义短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中称为存在量词符号表示∃存在量词命题定义含有存在量词的命题一般形式存在M中的元素x,p(x)成立符号表示∃x∈M,p(x)教材挖掘(P27)短语“至多有一个”是存在量词吗?为什么?提示:不是.因为“至多有一个”的含义是“存在一个或一个也没有”,它包含了不存在的情形.版本交融(北师大版P20思想交流)你能举出初中数学的一些存在量词命题吗?提示:“有些菱形是正方形”“有的数既是质数又是偶数”等等.【教材深化】全称量词命题与存在量词命题的区别(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.(2)存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)全称量词表示的数量都是无限的.(×)提示:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.(2)全称量词命题必须含有全称量词.(×)提示:有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.(3)短语“至少有一个”是存在量词.(√)提示:“至少有一个”表示存在,是存在量词.(4)“2x+3>1”是存在量词命题.(×)提示:“2x+3>1”不是命题.类型一全称量词命题及其真假的判断(数学抽象、逻辑推理)【典例1】(1)(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的是()A.一切实数均有相反数B.∀a∈N,方程ax+1=0都有实数根C.等腰梯形的对角线相等D.π是无理数【解析】选AC.A,C选项都是全称量词命题且为真命题;B选项是全称量词命题,但不是真命题,当a=0时,方程没有实数根;D选项是真命题,但不是全称量词命题.(2)用符号“∀”表示下列命题,并判断真假:①实数的平方大于或等于0;②正数的绝对值是它本身.【解析】①是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.∀x∈R,x2≥0,是真命题.②是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.∀x>0,|x|=x,是真命题.【总结升华】全称量词命题及其真假的判断方法(1)判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有全称量词,但有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别.(2)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题.【即学即练】(多选)下列命题是全称量词命题且为假命题的是()A.每个四边形的内角和都是360°B.任何实数都有算术平方根C.对任意直角三角形的两锐角A,B,都有sinA=cosBD.∀x∈{y|y是无理数},x2是无理数【解析】选BD.四个命题全为全称量词命题.四边形内角和为360°,A选项为真命题;由直角三角形中锐角的正、余弦定义知,C选项为真命题;因为负数没有算术平方根,B选项为假命题;x=2是无理数,但x2=2是有理数,D选项为假命题.类型二存在量词命题及其真假的判断(数学抽象、逻辑推理)【典例2】(1)(多选)下列命题中,既是存在量词命题又是真命题的有()A.至少有一个实数x,使x3+1=0B.所有正方形都是矩形C.∃x∈R,使x2-x+14D.∃x∈R,使x2+2x+2=0【解析】选AC.A.“至少”是存在量词,对于方程x3+1=0,存在x=-1,故正确;B.“所有”是全称量词,故错误;C.“∃”是存在量词,又当x=12时,x2-x+1D.“∃”是存在量词,x2+2x+2=(x+1)2+1≠0,故错误.(2)判断下列命题的真假:①有一些二次函数的图象过原点;②有些整数既能被2整除,又能被3整除;③存在一个x∈R,使1x-【解析】①该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如y=x2,其图象过原点,故该命题是真命题.②存在量词命题,表示为∃x∈Z,如x=6,x既能被2整除,又能被3整除,故该命题是真命题.③是存在量词命题.因为不存在x∈R,使1x-【总结升华】存在量词命题及其真假的判断技巧(1)判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有存在量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别.(2)要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合内找到一个元素x,使p(x)成立即可,否则命题为假.【即学即练】判断下列命题是否为存在量词命题,并判断真假.(1)∃α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2;【解析】(1)存在量词命题,真命题,例如α=0,β=1,符合题意.(2)某个四边形不是平行四边形;【解析】(2)存在量词命题,表示为∃x∈{y|y是四边形},x不是平行四边形.真命题.(3)方程3x-2y=10有整数解;【解析】(3)可改写为存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立.故为存在量词命题.真命题.(4)有一个实数x,使x2+2x+4=0.【解析】(4)存在量词命题,