高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第六章　6.2　6.2.2　向量的减法运算含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第六章6.26.2.2向量的减法运算含答案6.2.2向量的减法运算【学习目标】1.理解相反向量的概念,能用相反向量定义向量的减法.2.掌握向量减法的运算法则与几何应用.3.能熟练运用向量的加、减运算进行化简与求值.【素养达成】数学抽象直观想象、逻辑推理数学运算一、相反向量1.定义:与向量a长度相等,方向相反的向量.零向量的相反向量仍是零向量.2.性质:(1)-(-a)=a;(2)对于相反向量有a+(-a)=0;(3)若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.二、向量的减法1.定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.2.作法:已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,如图所示.3.几何意义:a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.4.向量a,b的模与a-b的模之间满足不等式:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.当且仅当a与b同向时左边取等号,反向时右边取等号.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)向量与是相反向量.(√)提示:与长度相等,方向相反,是相反向量.(2)两个同向向量的差一定小于这两个向量的和.(×)提示:两个向量的差仍是向量,而向量不能比较大小,故错误.(3)在平行四边形ABCD中,-等于.(√)提示:由平面向量减法的三角形法则,可得-=.(4)-+-+=0.(×)提示:-+-+=++++=≠0,故错误.类型一作差向量(直观想象)【典例1】(教材提升·例3)如图,已知向量a,b,求作a-b.【解析】(1)作=a,=b,则a-b=-=,即为所求作的向量.(2)作=a,=b,则a-b=-=,即为所求作的向量.(3)作=a,=b,则a-b=-=,即为所求作的向量.(4)作=a,=b,则a-b=-=,即为所求作的向量.【总结升华】作差向量的方法(1)利用向量减法的三角形法则:简记为“共起点,连终点,指向被减”;(2)转化为向量的加法:a-b=a+(-b).【即学即练】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a-b-c.【解析】如图,作=a,=b,则即为a-b,再作=c,则向量即为a-b-c.类型二向量的表示(直观想象)【典例2】(教材改编·例4)如图,已知=a,=b,=c,=d,试用a,b,c,d表示以下向量:(1);(2);(3).【解析】(1)=-=c-a;(2)=-=d-a;(3)=-=d-b.【总结升华】向量的表示(1)观察图形的几何特征,确定已知向量与要表示的向量之间的关系;(2)共起点的向量,若能构成平行四边形,可以利用向量的加法表示对角线所在的向量,若能构成三角形,可以利用向量的减法表示第三边所在的向量;(3)首尾相连的向量,能构成三角形,可以利用向量的加法表示第三边所在的向量.【即学即练】如图所示,=a,=b,=c.(1)用a,b表示;(2)用b,c表示.【解析】(1)=-=--=-a-b;(2)=-=-(+)=-b-c.类型三向量减法的应用(逻辑推理、数学运算)角度1向量的化简【典例3】(2024·乌鲁木齐高一检测)化简:(1)-+;(2)(-)-(-);(3)(++)-(--).【解析】(1)-+=+-=-=.(2)(-)-(-)=-+-=++=+=-=0.(3)(++)-(--)=+-(-)=-=0.【总结升华】向量的化简(1)首尾相连相加的向量,用向量加法的三角形法则化简;(2)共起点相减的向量,用向量减法的三角形法则化简;(3)必要时可以利用相等向量或相反向量等价转化.角度2向量减法的几何应用【典例4】(易错·对对碰)(1)已知O是四边形ABCD内的一点,若-=-,则四边形ABCD的形状是__________.

(2)在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD的形状是______;

(3)在四边形ABCD中,=,若|+|=|-|,则四边形ABCD的形状是________.

【解析】(1)因为-=-,即=,故四边形ABCD一定为平行四边形.答案:平行四边形(2)因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,又因为|-|=|-|,所以||=||,所以四边形ABCD为菱形.答案:菱形(3)因为=,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为|+|=|-|,所以||=||,所以四边形ABCD为矩形.答案:矩形【总结升华】向量减法的几何应用(1)利用相等向量证明线段平行且相等,从而证明四边形为平行四边形.(2)以平行四边形ABCD的两邻边AB,AD分别表示向量=a,=b,则两条对角线表示的向量分别为=a+b,=b-a,则=a-b.(3)对于菱形、矩形、正方形可以根据平行四边形的邻边相等或对角线相等来判断.角度3差向量模的性质【典例5】若||=12,||=5,则||的取值范围是()A.[7,17] B.(7,17) C.[7,12] D.(7,12)【解析】选A.由向量模长的三角不等式可得||≥|||-|||=7,当且仅当,的方向相同时,等号成立;||≤||+||=17,当且仅当,的方向相反时,等号成立,因此,||的取值范围是[7,17].【补偿训练】已知|a|=7,|b|=2,且a∥b,则|a-b|的值为__________.

【解析】当a与b方向相同时,|a-b|=||a|-|b||=7-2=5;当a与b方向相反时,|a-b|=|a|+|b|=7+2=9.答案:5或9【总结升华】差向量模的性质(1)当非零向量a,b不共线时,a-b的方向与向量a,b的方向都不相同,模的关系是||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|,其几何意义是三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(2)当向量a,b同向或至少一个是零向量时,a+b的方向与向量a,b(或其中的非零向量)的方向相同,模的关系是|a+b|=|a|+|b|.(3)当向量a,b反向或至少一个是零向量时,a+b的方向与向量a,b中模较大的方向相同,模的关系是|a+b|=||a|-|b||.【即学即练】已知||=6,||=3,则||的取值范围是()A.[3,6] B.(3,6) C.[3,9] D.(3,9)【解析】选C.由题意得=-,所以||=|-|,所以|||-|||≤|-|≤|||+|||,则3≤||≤9,故C正确.6.2.3向量的数乘运算【学习目标】1.理解向量数乘运算的概念与几何意义.2.掌握向量数乘运算的运算律,会进行向量的数乘运算.3.理解向量共线定理的含义,能解决相关的证明与计算问题.【素养达成】数学抽象、直观想象数学运算逻辑推理、数学运算一、向量的数乘运算1.定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.2.运算律:设λ,μ为实数,则有:(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;

(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.【教材挖掘】(P15)引入向量数乘运算后,你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗?提示:实数与原向量的积与原向量共线.【版本交融】(人BP150)数乘向量的几何意义是什么?提示:把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.二、线性运算1.定义:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.2.运算律:对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.三、向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.【版本交融】(北师P92)在非零向量a方向上的单位向量如何表示?提示:a|【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的乘积还是向量.(√)提示:由向量的数乘的定义知,实数λ与向量a的乘积还是向量.(2)对于任意实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b.(×)提示:当m=0时,ma=mb成立,a,b不一定相等.(3)对于非零向量a,-8a的模是4a的模的2倍.(√)提示:一个数m乘一个向量a,结果是一个向量ma,其模是|m||a|,所以对于非零向量a,-8a的模是4a的模的2倍.(4)若a∥b,则一定存在λ∈R,使得b=λa.(×)提示:当a=0,b≠0时,λa=0,此时不存在λ∈R,使得b=λa.类型一向量的线性运算(数学运算)【典例1】(教材提升·例5)计算:(1)5(3a-2b)+4(2b-3a);(2)13(a-2b)-14(3a-2b)-12(a(3)(x+y)a-(x-y)a.【解析】(1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=(15a-12a)+(-10b+8b)=3a-2b.(2)13(a-2b)-14(3a-2b)-12(a=(13a-34a-12a)+(-23b+12=-1112a+13(3)(x+y)a-(x-y)a=(xa-xa)+(ya+ya)=2ya.【总结升华】向量的线性运算(1)向量的线性运算类似于实数运算,遵循括号内的运算优先的原则,将共线的向量看作“同类项”进行合并;(2)要注意向量数乘的结果仍是向量,同时要在理解几何意义的基础上,熟练运用运算律.【即学即练】计算:(1)2(a-b)+3(a+b);(2)12(a+b)+12(a-(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b).【解析】(1)2(a-b)+3(a+b)=2a-2b+3a+3b=5a+b;(2)12(a+b)+12(a-=12a+12b+12a=a;(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b)=3a+6b-2a-6b-2a-2b=-a-2b.类型二向量的线性表示(直观想象)【典例2】(教材提升·例6)如图,四边形ABCD中,已知=2.(1)用,表示;(2)若=2,=34,用,表示.【解析】(1)因为=++,所以=++12=-12;(2)因为=+=-14=-14(-),所以=34+14=34·23+14=12+14.【总结升华】向量的线性表示(1)观察几何图形的特征,确定已知向量与要表示向量之间的关系;(2)结合向量运算的三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理,用已知向量表示所求向量.【即学即练】如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=23,=a,=b.用a,b表示,,,,.【解析】在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,则=+=+12=+12(-)=12+12=12a+12b,故=23=13a+13b=12=12b,=-=13a+13b-a=13b-23a=-=12b-a.类型三向量共线定理的应用(逻辑推理、数学运算)角度1证明三点共线【典例3】设a,b是两个不共线的非零向量,已知=3a-2b,=-2a+4b,=-2a-4b,试判断A,C,D三点是否共线.【解析】共线.理由如下:因为=-2a-4b,且=+=(3a-2b)+(-2a+4b)=a+2b,故=-2,所以与共线,因为与有公共点C,所以A,C,D三点共线.【总结升华】证明三点共线(1)利用向量共线定理证明三点构成的两个向量共线;(2)说明两个向量有公共点.【即学即练】已知e1,e2是两个不共线的向量,若=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求证:A,B,D三点共线.【证明】因为=e1+3e2,=2e1-e2,所以=-=e1-4e2,又=2e1-8e2=2(e1-4e2),所以=2,因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.角度2求参数的值【典例4】(2024·朔州高一检测)已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.【解析】因为ka+3b与2a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+3b=λ(2a+kb),即(k-2λ)a=(λk-3)b.由于a,b不共线,所以k-2λ=0λk即实数k的值为6或-6.【总结升华】求参数的值(1)利用向量共线定理引入参数,得到两个向量的关系式;(2)根据已知向量不共线得到对应系数相等,解方程组求出参数的值.【即学即练】设两个不共线的向量e1,e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+ub与向量c共线?【解析】存在,λ=-2μ.理由如下:因为d=λ(2e1-3e2)+u(2e1+3e2)=(2λ+2u)e1+(3u-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实