高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章　8.5　8.5.2　第1课时　直线与平面平行的判定定理含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章8.58.5.2第1课时直线与平面平行的判定定理含答案8.5.2直线与平面平行第1课时直线与平面平行的判定定理【学习目标】1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理.2.能利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行问题.【素养达成】数学抽象、直观想象直观想象、逻辑推理直线与平面平行的判定定理1.定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.2.符号表示:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α.【教材挖掘】(P137)应用线面平行的判定定理证明线面平行时,我们应该怎样做?提示:只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可.【版本交融】(苏教P176)打开笔记本电脑时,显示屏上侧所在的直线与键盘所在的平面具有怎样的位置关系?提示:平行.【版本交融】(北师大版P230思考交流)若直线l与平面α内的一条直线平行,则直线l与平面α平行吗?提示:不一定,直线l可能在平面α内.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l与平面α平行.(×)提示:l可能在α内.(2)若直线l上有无数个点不在平面α内,则直线l与平面α平行.(×)提示:l与α可能相交.(3)若直线l与平面α相交,则平面α内不存在直线与直线l平行.(√)(4)若直线l∥直线a,直线a∥平面α,则直线l∥平面α.(×)提示:直线l∥平面α或l⊂α.类型一直线与平面平行的判定定理的理解(数学抽象)【典例1】(多选)下列说法中正确的是()A.若直线l与平面α内所有直线都无公共点,则l∥αB.若直线a在平面α外,则a∥αC.若直线a∥b,b⊂α,则a∥αD.若直线a∥b,b⊂α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线【解析】选AD.选项A正确;直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,所以选项B不正确;选项C中直线a可能在平面α内;选项D正确.【总结升华】直线与平面平行的判定的关注点(1)若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行.(2)线面平行的判定定理必须具备三个条件①直线a在平面α外,即a⊄α;②直线b在平面α内,即b⊂α;③两直线a,b平行,即a∥b,这三个条件缺一不可.【即学即练】能保证直线a与平面α平行的条件是()A.b⊂α,a∥bB.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cC.b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BDD.a⊄α,b⊂α,a∥b【解析】选D.A错误,若b⊂α,a∥b,则a∥α或a⊂α;B错误,若b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c,则a∥α或a⊂α;C错误,若满足此条件,则a∥α或a⊂α或a与α相交;D正确,恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件.类型二直线与平面平行的证明(逻辑推理)角度1三角形的中位线法【典例2】(教材P139T2改编)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点.求证:B1C∥平面A1BD.【证明】连接AB1交A1B于点O,连接DO,如图.则OA=OB1且DA=DC,所以DO是△AB1C的中位线,所以DO∥B1C且DO⊂平面A1DB,又因为B1C⊄平面A1DB,所以B1C∥平面A1BD.【总结升华】三角形的中位线法证明线面平行的关注点(1)题目特征:与中点有关的线面平行问题.(2)证明关键:作辅助线,结合图形特点,构造三角形,让已知直线充当三角形的中位线或一条底边.【即学即练】如图,设P,Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,证明:PQ∥平面ABB1A1.【证明】如图,连接AB1,因为P,Q分别为AD1,B1D1的中点,所以PQ∥AB1,因为AB1⊂平面ABB1A1,PQ⊄平面ABB1A1.所以PQ∥平面ABB1A1.角度2平行四边形法【典例3】如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN∥平面PAD.【证明】如图,取PD的中点G,连接GA,GN.因为G,N分别是△PDC的边PD,PC的中点,所以GN∥DC,GN=12因为M为平行四边形ABCD的边AB的中点,所以AM=12DC,AM∥DC所以AM∥GN,AM=GN,所以四边形AMNG为平行四边形,所以MN∥AG.又因为MN⊄平面PAD,AG⊂平面PAD,所以MN∥平面PAD.【总结升华】应用判定定理证明线面平行的步骤第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:①空间直线平行关系的传递性法;②三角形的中位线法;③平行四边形法;④线段成比例法.【即学即练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求证:EF∥平面BDD1B1.【证明】如图所示,取D1B1的中点O,连接OF,OB.因为O,F分别为B1D1,C1D1的中点,所以OF12B1C1,因为E为BC的中点,所以BE12B1C1,所以OFBE,所以四边形OFEB是平行四边形,所以EF∥BO.因为EF⊄平面BDD1B1,BO⊂平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.【补偿训练】如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且AMSM=DNNB.求证:MN∥【证明】如图,连接AN并延长交BC于P,连接SP.因为AD∥BC,所以DNNB=ANNP,又因为AMSM所以AMSM=ANNP,所以MN∥SP,又因为MN⊄平面SBC,SP⊂平面SBC,所以MN∥第2课时直线与平面平行的性质定理【学习目标】1.理解直线和平面平行的性质定理.2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系.3.能够综合应用直线和平面平行的判定和性质定理进行线线、线面平行的转化.【素养达成】数学抽象、直观想象逻辑推理直观想象、逻辑推理直线与平面平行的性质定理1.定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.2.符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.【教材挖掘】(P138)1.若直线a∥平面α,如何在平面α内找一条直线与a平行?提示:根据直线与平面平行的性质定理,只需过a作一平面与平面α相交,则交线与a平行.2.若a∥α,过a与α相交的平面有多少个?提示:过a与平面α相交的平面有无数个.【版本交融】(苏教P178)三个平面两两相交,如果三条交线中两条直线平行,那么第三条直线与它们具有怎样的位置关系?如果三条交线中有两条相交呢?提示:三个平面两两相交,如果三条交线中两条直线平行,那么第三条直线也与它们平行;如果三条交线中有两条相交,那么第三条直线也与它们相交.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与该平面内的任意一条直线都平行.(×)提示:这条直线与该平面内的直线可能是异面直线.(2)若直线a∥平面α,则平面α内有唯一一条直线与直线a平行.(×)提示:平面α内有无数条直线与直线a平行,这些直线都是相互平行的.(3)如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线平行.(×)提示:这两条直线也可能相交或异面.(4)若直线a∥平面α,则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点.(√)类型一直线与平面平行性质定理的应用(逻辑推理、数学运算)角度1证明问题【典例1】如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.【证明】因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC,所以由线面平行的性质定理可知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形.【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤【即学即练】如图所示,E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且EH∥FG.求证:EH∥BD.【证明】因为EH∥FG,EH⊄平面BCD,FG⊂平面BCD,所以EH∥平面BCD.又因为EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.角度2求值问题【典例2】如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且SFSC=λ,SA∥平面BEF.求实数λ的值【解析】如图,连接AC,设AC∩BE=G,连接FG,则平面SAC∩平面EFB=FG.因为SA∥平面BEF,SA⊂平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,所以SA∥FG,所以SFFC=AG因为AE∥BC,所以△GEA∽△GBC,所以AGCG=AECB=所以SFFC=AGGC=即SF=13SC,所以λ=1【总结升华】求值问题的三个关键点(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系;(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系;(3)利用所得关系计算求值.【即学即练】如图,在三棱锥P-ABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点,若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,则AFFC的值为(A.1 B.2 C.12 D.【解析】选C.由于AD∥平面PEF,AD⊂平面ACD,平面ACD∩平面PEF=FG,根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.由于点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点,所以G是△PBC的重心,所以AFFC=DGGC=类型二线面平行关系的综合应用(逻辑推理)【典例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分别为PB,PD,PC的中点.(1)求证:QN∥平面PAD;(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l,试判断直线l与平面PBD的位置关系,并证明.【解析】(1)因为N,Q分别为PB,PC的中点,所以QN∥BC.因为底面ABCD是菱形,所以BC∥AD,所以QN∥AD,因为QN⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以QN∥平面PAD.(2)直线l与平面PBD平行,证明如下:因为N,M分别为PB,PD的中点,所以MN∥BD,因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因为平面CMN与底面ABCD的交线为l,MN⊂平面CMN,由线面平行的性质定理可得MN∥l.又因为MN⊂平面PBD,l⊄平面PBD,所以直线l∥平面PBD.【总结升华】线面平行关系的综合应用(1)逻辑关系:(2)应用:由线线平行判定线面平行,由线面平行可以推出线线平行,解题过程实质是这两种平行关系的相互转化.【补偿训练】如图,在四棱锥