高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章　8.3　8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章8.38.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积含答案8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【学习目标】1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法.2.会求由圆柱、圆锥、圆台、球构成的简单组合体的表面积与体积.3.能解决圆柱、圆锥、圆台、球的“切”“接”问题.【素养达成】直观想象、数学运算直观想象、数学运算直观想象、数学运算一、圆柱、圆锥、圆台的表面积项目圆柱圆锥圆台侧面展开侧面积2πrlπrlπr'表面积2πrr+lπrr+lπ(r'2+r2+r'l+rl)【版本交融】(人BP78尝试与发现)为了求圆柱、圆锥、圆台的表面积,分别需要知道哪些条件?提示:底面半径与母线长.【教材挖掘】(P117思考)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?提示:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面缩为一个点时,得到圆锥.由此可得:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r'+r)lS圆锥侧=πrl.二、圆柱、圆锥、圆台的体积1.圆柱:V=πr2h(r是底面半径,h是高);2.圆锥:V=13πr2h(r是底面半径,h3.圆台:V=13πhr'2+r'r+【教材挖掘】(P117思考)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系?提示:(1)圆柱、圆锥、圆台体积的关系(2)柱体、锥体、台体的体积柱体:柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh.锥体:锥体的底面面积为S,高为h,则V=13台体:台体的上、下底面面积分别为S',S,高为h,则V=13(S'+SS'+S(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V柱体=ShV台体=13(S'+S'S+S)hV锥体=1三、球的表面积和体积球的表面积:S球=4πR2;球的体积:V球=43πR3.(其中R【版本交融】(苏教版P205)我们把球面被经过球心的平面截得的圆称为大圆,球的表面积与球的大圆面积有何大小关系?提示:球的表面积恰好是球的大圆面积的4倍.【版本交融】(北师大版P242思考交流)过球外一点,可以作球的无数条切线,所有切点组成什么图形?这个平面与所有切线围成了一个什么图形?提示:所有切点组成一个圆,圆面与所有切线围成一个圆锥.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的三倍.(√)提示:由圆柱、圆锥的体积公式可知正确.(2)圆锥的侧面展开图为扇形,其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.(√)提示:由圆锥侧面展开图可知正确.(3)球的表面积和体积是关于半径的函数.(√)提示:球的表面积和体积的大小,只与球的半径相关,给定R都有唯一确定的S和V与之对应,是关于R的函数.(4)球面被平面截得的圆的半径等于球的半径.(×)提示:球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.类型一圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积(直观想象、数学运算)角度1圆柱、圆锥、圆台的表面积【典例1】(易错·对对碰)如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为__________;

(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为__________.

【解析】(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是4,下底面半径是16,母线DC=52+(16-4)2(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.答案:(1)532π(2)130π【总结升华】求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤(1)得到空间几何体的平面展开图.(2)依次求出各个平面图形的面积.(3)将各平面图形的面积相加.【即学即练】1.(2024·江西高一期末)如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体积是16πcm3,那么它的侧面积等于________cm2.

【解析】设圆柱的底面圆的半径为r,则高为2r,故πr2·2r=16π,解得r=2,所以圆柱的侧面积为2πr·2r=4π×4=16π(cm2).答案:16π2.表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为__________.

【解析】设圆锥的母线为l,圆锥底面半径为r,由题意可知,πrl+πr2=3π,且πl=2πr.解得r=1,即底面直径为2.答案:2角度2圆柱、圆锥、圆台的体积【典例2】(1)如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为()A.5π B.6π C.20π D.10π【解析】选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.(2)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 C.22π D.42π【解析】选B.绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合、等体积的圆锥组合而成,每一个圆锥的底面半径和高都是2,故所求几何体的体积V=2×13×π×(2)2×2=4【总结升华】圆柱、圆锥、圆台的体积求法(1)直接法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出;(2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积;(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.【补偿训练】(2024·盐城高一检测)如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体,圆锥部分的高为0.5米,圆柱部分的高为2米,底面圆的半径为1米,则该组合体体积为()A.π3立方米 B.C.5π2立方米 D.13π【解析】选D.圆柱体积为π×12×2=2π(立方米),圆锥体积为13×π×12×0.5=π所以该组合体的体积为2π+π6=13π6类型二球的表面积与体积(直观想象、数学运算)【典例3】(类题·节节高)(1)已知球的直径为6cm,求它的表面积和体积;(2)已知球的表面积为64π,求它的体积;(3)已知球的体积为500π3,求它的表面积【解析】(1)因为球的直径为6cm,所以球的半径R=3cm.所以S球=4πR2=36π(cm2),V球=43πR3=36π(cm3)(2)因为S球=4πR2=64π,所以R2=16,即R=4.所以V球=43πR3=43π×43=(3)因为V球=43πR3=500π3,所以R3=125,即R=5.所以S球=4πR2【总结升华】求球的表面积与体积的关注点(1)一个关键:球的半径;(2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.【即学即练】两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为__________.

【解析】设大、小两球半径分别为R,r,则由题意可得R-r所以它们的体积和为43πR3+43πr3=答案:364π类型三旋转体的“切”“接”问题(直观想象、数学运算)【典例4】(易错·对对碰)如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱.(1)圆柱的体积与圆锥的体积分别为__________;

(2)图中圆台的表面积与体积分别为__________.

【解析】设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,则R=OC=2,圆锥的母线长AC=4,所以圆锥的高AO=42-2如图所示,易知△AEB∽△AOC,所以AEAO=EBOC,即323=(1)圆柱的体积V1=πr2h=π×12×3=3π.圆锥的体积V2=13π×22×23=83(2)圆台的上底面半径r=1,下底面半径R=2,高h=3,母线l=2,所以圆台的表面积S=π(r2+R2+rl+Rl)=π(12+22+1×2+2×2)=11π.圆台的体积V=13π(r2+rR+R2)h=13π(12+2+22)×3=7答案:(1)3π,83(2)11π,73【总结升华】旋转体的“切”“接”问题的解题策略在处理旋转体的“切”“接”问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,这类截面往往指的是旋转体的轴截面.【即学即练】圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相等)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.

【解析】设球的半径为r,放入3个球后,圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r=8πr2+3·43πr3,即2r=8,所以r=4cm答案:4教材深一度球的截面性质用一个平面去截一个球,截面是圆面,如图,球的截面有以下性质:①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面;②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系d=R2【典例5】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度,则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3C.1372π3cm3 D.【解析】选A.如图,作出球的一个截面,由题意得,MC=8-6=2(cm),BM=12AB=12设球的半径为Rcm,则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,所以R=5,所以V球=43π×53=5003π(cm3

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面【学习目标】1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.3.理解三个基本事实及其推论,能利用三个基本事实及其推论解决相关问题.【素养达成】直观想象直观想象直观想象、逻辑推理一、平面1.平面的概念几何中所说的“平面”,是从生活中的课桌面、黑板面、平静的水面等抽象出来的.平面是向四周无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.3.平面的表示如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.二、点、直线与平面之间的关系及符号表示点P在直线l上P∈l点P在平面α外P∉α点P在直线l外P∉l直线l在平面α内l⊂α点P在平面α内P∈α直线l在平面α外l⊄α【版本交融】(人BP61尝试与发现)几何体中点、线、面之间的关系,能否用数学符号来表示?提示:能.点与直线、点与平面用元素与集合的关系表示,直线与平面用集合间的关系表示.三、平面的基本事实及其推论1.基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l【版本交融】(苏教P163)用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定,将一把直尺置于桌面上,通过是否漏光就能检查桌面是否平整,为什么?提示:用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定是基于基本事实1;将一把直尺置于桌面上,通过是否漏光就能检查桌面是否平整是基于基本事实2.【版本交融】(人BP93情境与问题)两个平面相交时,公共点具有什么特点?提示:公共点都在同一条直线上.2.推论推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图①).推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).教材深化1.对基本事实1中的“有且只有一个”的理解:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,“且”强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词.2.三个基本事实的作用:基本事实1:确定平面;基本事实2:确定直线在平面内;基本事实3:确定点共线.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若A∈a,a⊂α,则A∈α.(√)(2)过三点A,B,C有且只有一个平面.(×)提示:过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.(3)一条直线与一个点能确定一个平面.(×)提示:当点在直线上时不能确定一个平面.(4)两个不重合的平面可能存在有限个公共点.(×)提示:要么没有公共点,要么有无数个公共点.类型一平面及点、线、面关系的符号表示(直观想象)【典例1】(1)下图中的两个相交平面,其中画法正确的是__________.(填序号)

【解析】对于①,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画,故①的画法不正确.同理可知②③图形的画法不正确,④中图形的画法正确.答案:④(2)(教材P128T4改编)用符号表示下列语句,并画出图形:①平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B;②点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.【解析】①用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.②用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图.【总结升华】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形中有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着先用文字语言表示,然后用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.【即学即练】(多选)下列选项中图形的画法正确的是()A.点A在平面α内B.直线l在平面α内C.直线l交平面α于点PD.三个平面两两相交【解析】选AC.线在面内,表示直线的线段必须画在表示平面的平行四边形内部,故B错误;三个平面两两相交,有一条交线或者有三条交线,三条交线可能交于同一点也可能互相平行,D选项中没有三条交线平行的情形,故D错误.易知AC正确.【补偿训练】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形.①l⊂α,m∩α=A,A∉l;②P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.【解析】①直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图①.②直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图②.类型二点、线共面问题(直观想象、逻辑推理)【典例2】(易错·对对碰)用“共面”“不共面”或“不一定共面”填空:(1)两两相交且不过同一点的三条直线__________;

(2)两两相交且过同一点的三条直线__________.

【解析】(1)两两相交且不过同一点的三条直线共面,证明如下:已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:证法一(纳入法):因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又l2⊂α,所以B∈α.同理可证C∈α.因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内.证法二(重合法):因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.(2)两两相交且过同一点的三条直线不一定共面,有以下两种情况:①这三条直线在同一个平面内相交,如图.②这三条直线不共面,如图.答案:(1)共面(2)不一定共面【总结升华】证明点、线共面的方法证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论,常用的方法有:(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内.(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.【即学即练】(教材P132T6改编)如图,已知:a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α.【证明】因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β,点P∈β.因为P∈b,b⊂α,所以P∈α.又因为a⊂α,所以α与β重合.所以PQ⊂α.【补偿训练】如图所示,已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c和l共面.【证明】因为a∥b,所以a,b确定一个平面α.因为A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.所以a,b,l都在平面α内,即b在a,l确定的平面内.同理可证c在a,l确定的平面内.因为过a与l只能确定一个平面,所以a,b,c,l共面于a,l确定的平面.类型三点共线、线共点问题(逻辑推理)角度1点共线问题【典例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C∩平面ABC1D1=E.求证:B,E,D1三点共线.【证明】如图,连接A1B,CD1,BD1,因为A1C∩平面ABC1D1=E,所以E∈A1C,E∈平面ABC1D1.因为A1C⊂平面A1BCD1,所以E∈平面A1BCD1.由于平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,根据基本事实3可知B,E,D1三点共线.【总结升华】点共线问题的关注点(1)主要依据:基本事实