中职高考数学一轮复习讲练测5.6 正弦定理与余弦定理（讲）（解析版）

5.6正弦定理与余弦定理【考点梳理】1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.若令C＝90°，则c2＝c2＋a2，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2>c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2<c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用正弦定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用正弦定理，可能有一解、两解或无解．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数①一解②两解③一解④一解(3)已知三边,用余弦定理．有解时,只有一解.(4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB．(2)A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，eq\f(A,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(B＋C,2)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C).考点一正弦定理【例题】（1）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（

）A．30° B．60° C．90° D．150°【答案】C【解析】根据正弦定理可知，得，因为，所以，故选：C.（2）在△中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，因为为三角形内角，故，由正弦定理，解得，故选：C.（3）已知中，内角所对的边分别为.若，，，则（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】由正弦定理得：；，，则，或，故选：C.（4）在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（

）A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定【答案】A【解析】由正弦定理可知：，显然不存在这样的角，故选：A.（5）在中，已知，则.【答案】1【解析】因为，不妨令，，，所以，故答案为：.【变式】（1）△ABC中角A、B、C所对的边分别a，b，c，若，，，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，解得，故选：B.（2）的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由正弦定理，即，解得，故选：A.（3）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2，b=3，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据正弦定理有，∵是锐角三角形，，∴，故选：B.（4）在中，若，，，则此三角形解的情况是（

）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定【答案】B【解析】，，有两解，故选：B.（5）若a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，，且，则.【答案】或【解析】由正弦定理及，可得，因为，所以，又，所以，所以或，所以或，故答案为：或.考点二余弦定理【例题】（1）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由余弦定理的推论，可得，又，，故选：B.（2）在中，，，，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】C【解析】在中,由余弦定理以及，，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形，故选：C.（3）在中，若，，，则（

）A．6 B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理可得，故，故选：D.（4）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，或（舍），，故选：A．（5）在中，若，则.【答案】4【解析】由余弦定理可得，即，，因为故故答案为：4.【变式】（1）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，由余弦定理可得，所以角为直角，故是直角三角形，故选：B．（2）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，，由于，所以，故选：B.（3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（

）A．120° B．150° C．45° D．60°【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，故选：B.（4）在中，，，则.【答案】6【解析】因为，，所以由余弦定理可得，即，解得或（舍），故答案为：6.（5）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则．【答案】【解析】由题意可得，则可得，∴，故答案为：．考点三三角形的面积公式【例题】（1）在中，若，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，故选：D.（2）在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，则，故选：A.（3）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（

）A． B．5 C．8 D．【答案】A【解析】由题意可知，，得，，，由余弦定理可得：，整理得：，，故选：A.（4）在中，已知，，，则的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据正弦定理得：，所以，因为，所以，故选：C.（5）在中，，，的外接圆半径为，则边c的长.【答案】【解析】，从而，由正弦定理得：，解得：故答案为：.【变式】（1）在中，若，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D.（2）中．已知且的面积为，则角B等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】由面积公式，解得：，所以或，故选：D.（3）在中，内角所对的边分别是，，，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可知，，故选：C.（4）在中，，，，则的面积等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】由余弦定理得：，解得：或2，经检验，均符合要求.当时，；当时，，故选：D.（5）已知，点在的延长线上，且，，，则的面积为___________.【答案】【解析】在中，，，，由余弦定理可知，，又，所以，所以，又，所以为等边三角形，所以的面积为，故答案为：.【方法总结】1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A＋B＋C＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sineq\f