吉林省吉林市第一中学2025届高三上学期适应性考试（一）数学试题（原卷版+解析版）

吉林一中2025届高三年级适应性考试（一）数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.复数在复平面内对应点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.在中，点D为的中点，点O为的重心，则（）A. B. C. D.4.已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若互斥，则 D.若互斥，则5.已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（）．A. B. C. D.6.已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（）A. B. C. D.37.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知是定义域为R的偶函数，且，则（）．A.2025 B.5050 C.6024 D.6075二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的最小值为，且过点，其部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则（）．A.的最小正周期为 B.C.为偶函数 D.为奇函数10.已知数列满足，，则（）A.B.是等差数列C.一定是等比数列D.数列的前99项和为11.已知是定义在上的函数，对于任意实数满足，当时，，则（）A. B.C.有3个零点 D.若，则或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.已知抛物线焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为______.14.已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.小明和小王进行乒乓球比赛，其中小明每局赢的概率为，小王每局赢的概率为，且每局比赛之间互不影响．（1）若采用3局2胜制，求小王最终赢得比赛的概率；（2）若采用5局3胜制，在小明赢得比赛的条件下，求比赛需要的局数的期望．16.已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调递减区间；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.17.如图，一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的几何体中，.（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求正四棱锥的高.18.已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点.（1）求双曲线方程；（2）证明：点在定直线上；（3）记的面积分别为，若，求直线的方程.19.若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”．（1）若等比数列为“A数列”，求公比q；（2）若数列为“A数列”，且，．①求证：；②若，且是正项数列，，求满足不等式的最小值．

吉林一中2025届高三年级适应性考试（一）数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.复数在复平面内对应点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解.【详解】由题意可得,，故复数在复平面内对应点为，因为是第四象限的点，故选：D2.已知集合，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由交集的结果求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】依题意，由，得，此时成立；反之当时，不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C3.在中，点D为的中点，点O为的重心，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合重心性质与向量运算化简可得.【详解】如图，连接，因为点O为的重心，则为的三等分点，且，所以，故选：A.4.已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若互斥，则 D.若互斥，则【答案】C【解析】【分析】根据根据事件的包含关系即概率的性质，可判断AB的真假；根据事件的互斥关系即互斥事件的概率特征可判断CD的真假.【详解】若，则，，故AB选项的内容都是正确的；若互斥，则，，所以C选项的内容是错误的，D选项的内容是正确的.故选：C5.已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量可得，代入运算求解即可.【详解】因为，则，即，可得，所以C的离心率.故选：A.6.已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】先由条件求出，再根据角的旋转及两角和的正切公式即可求解.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，解得：.故选：D7.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】数形结合，问题转化成，进而利用的关系求离心率的取值范围.【详解】如图：因为使为直角三角形的点有8个，所以在中，必有，即，所以，即，可得.又椭圆的离心率，所以.故选：A8.已知是定义域为R的偶函数，且，则（）．A.2025 B.5050 C.6024 D.6075【答案】D【解析】【分析】根据题意结合偶函数的定义分析可知的一个周期为4，利用赋值法可得，，进而可得结果.【详解】因为是定义域为R的偶函数，且，则，即，可得，可知的一个周期为4，对于，令，可得，即，对于，分别令，可得，即，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的最小值为，且过点，其部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则（）．A.的最小正周期为 B.C.为偶函数 D.为奇函数【答案】BD【解析】【分析】根据已知函数性质及图象求得判断A、B；再由图象平移得到的解析式判断C、D.【详解】由，又函数最小值为，则，故，所以，可得或，由图知，故，所以，由，则，且点递减区间，所以，可得，又，则，且，故，所以，则，，A错、B对；为奇函数，C错、D对.故选：BD10.已知数列满足，，则（）A.B.是等差数列C.一定是等比数列D.数列的前99项和为【答案】BC【解析】【分析】令，可求的值，判断A的真假；递推公式两边同除以，可得，可得的特征，判断B的真假；进一步可求的通项公式，判断C的真假；利用裂项求和法可求数列的前99项和，判断D的真假.【详解】对A选项：令可得：，故A错误；对B选项：递推公式两边同除以，可得，即，又，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确；对C选项：由B可知：，所以，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；对D选项：因为，所以数列的前99项和为：，故D错误.故选：BC11.已知是定义在上的函数，对于任意实数满足，当时，，则（）A. B.C.有3个零点 D.若，则或【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法求值判断A，利用赋值法得到判断B，利用赋值法求解零点个数判断C，对参数范围分类讨论结合奇函数的性质判断D即可.【详解】对于A，已知，令，则，故；令，则，解得，故A正确；对于B，令，则，解得；令，则，得到是奇函数，不满足，故B错误；对于C，令，则，而，得到是奇函数，且在上有定义，则，，得到有3个零点，故C正确，对于D，结合，解得，显然，而，若，则即可，当时，此时，则，符合题意，而在时，，则，，不符合题意，排除，当时，，，故，由奇函数性质得，符合题意，当时，，此时，由奇函数性质得，不符合题意，排除，综上，若，则或，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：解题关键是对参数范围分类讨论，然后结合奇函数的性质得到符合条件的解集即可．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.【答案】【解析】【分析】由分段函数解析式先求，再求可得结论.【详解】因为函数，所以，所以.故答案为：.13.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为______.【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，利用抛物线定义，结合几何图形求出最小值.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，过作垂直于准线，垂足为，交抛物线于点，过点作垂直于准线，垂足为，因此，当且仅当共线时取等号，所以的最小值为5.故答案为：514.已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理、三角形面积公式求出，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数性质求出范围.【详解】在中，由及三角形面积公式，得，由余弦定理得，则，而，解得，，由正弦定理得，锐角由确定，而为锐角三角形，则，即，，显然，而，，因此，，所以的取值范围是.故答案：【点睛】思路点睛：涉及求三角形边长比的范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.小明和小王进行乒乓球比赛，其中小明每局赢的概率为，小王每局赢的概率为，且每局比赛之间互不影响．（1）若采用3局2胜制，求小王最终赢得比赛的概率；（2）若采用5局3胜制，在小明赢得比赛的条件下，求比赛需要的局数的期望．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题设，分析出小王最终赢得比赛的可能情况，应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率；（2）由题意有并结合条件概率公式求出对应概率，进而求期望.【小问1详解】小王最终赢得比赛的情况有：小王连续赢2局，小王前2局赢1局输1局且第3局赢，所以小王最终赢得比赛的概率.【小问2详解】由题意，设小明赢得比赛为事件，比赛i场结束为事件且，，，则，在小明赢得比赛的条件下，设比赛场数为，则,，，所以.16.已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调递减区间；（2）若不等式在上恒成立，求实数取值范围.【答案】（1）、（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递减区间；（2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】函数的定义域与，且，令，得或，所以，函数的单调递减区间为、.【小问2详解】对任意的，.由于，则，令，其中，则，令，则当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，，则，因此，实数的取值范围是.17.如图，一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的几何体中，.（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求正四棱锥的高.【答案】（1）证明见解析（2）2或【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，结合并利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法建立方程，求解所求高即可.【小问1详解】在直三棱柱中，平面，又平面.又平面，平面.又平面，平面平面.【小问2详解】以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设正四棱锥的高为h，则，故，设平面的一个法向量为.则，即，取，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，故，设平面与平面夹角为，则，解得或.所以正四棱锥的高为2或.18.已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点.（1）求双曲线的方程；（2）证明：点在定直线上；（3）记面积分别为，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合点到直线距离公式求出即可.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及联立直线与方程计算即得.（3）利用三角形面积公式，结合给定比值化简计算即得直线方程.【小问1详解】双曲线的渐近线为，设，则，而，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由（1）知，，直线不垂直于轴，设方程为，由消去得，设，，，则，，直线：，直线：，联立得，解得，所以直线与交于点在定直线上.【小问3详解