2024北京东城区高二（下）期末数学试题和答案

试题PAGE1试题2024北京东城高二（下）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合M＝{0，a，a2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，若1∈M，则M∩N＝（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．某校学生科研兴趣小组为了解1～12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（）A．肺活量 B．视力 C．肢体柔韧度 D．BMI指数3．已知x，y∈R，且x＞y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x2＞y2 B． C．lnx＞lny D．2x＞2y4．袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球．每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（）A． B． C． D．5．已知2a＝3，log45＝b，则2a﹣2b的值为（）A．15 B． C． D．﹣26．A，B，C三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学．某中学现有四位学生报名．若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（）A．30种 B．36种 C．72种 D．81种7．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输．星载天线展开后形成一把直径（口径）为4.2m的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F处．若“金色大伞”的深度为0.49m，则“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为（）A．2.25m B．2.74m C．4.5m D．4.99m8．已知直线l：mx﹣y﹣2m+5＝0被圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4截得的弦长为整数，则满足条件的直线l共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．已知函数f（x）＝a（x﹣a）（x﹣b）2（a，b∈R），则“b＞a＞0”是“b为f（x）的极小值点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）．若，则b的值可以是（）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f（x）＝+lnx的定义域是．12．（5分）已知双曲线C的焦点为（﹣2，0）和（2，0），一条渐近线方程为，则C的方程为．13．（5分）已知二项式的所有项的系数和为243，则n＝；a2＝．14．（5分）某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时．某周可选择的志愿服务项目如表所示：岗位环保宣讲器材收纳校史讲解食堂清扫图书整理时长20分钟20分钟25分钟30分钟40分钟每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组合方式共有种．15．（5分）设a∈R，函数给出下列四个结论：①当a＝0时，函数f（x）的最大值为0；②当a＝1时，函数f（x）是增函数；③若函数f（x）存在两个零点，则0＜a＜1；④若直线y＝ax与曲线y＝f（x）恰有2个交点，则a＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分．每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛．（1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，求甲4：0领先的概率；（2）若每局比赛乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，求乙以3：1赢得比赛的概率．17．（13分）设函数f（x）＝aex+x，其中a∈R．曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+b．（1）求a，b的值；（2）求f（x）的单调区间．18．（14分）近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排．遥遥计划在A1，A2，A3，A4，A5，A6这6个国产新能源品牌或在B1，B2，B3，B4这4个国产燃油汽车品牌中选择购车．预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元．据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时．如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表：充电时间段充电价格（元/千瓦时）充电服务费（元/千瓦时）峰时10：00﹣15：00和18：00﹣21：001.00.8平时7：00﹣10：00，15：00﹣18：00和21：00﹣23：000.7谷时当日23：00﹣次日7：000.4（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌A1被选中的概率；（2）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）．设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望；（3）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少．19．（15分）已知椭圆过点，A，B分别是E的左顶点和下顶点，F是E右焦点，．（1）求E的方程；（2）过点F的直线与椭圆E交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线x＝4交于不同的两点M，N．设直线FM，FN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．20．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣1（a∈R）．（1）当a＝2时，求f（x）的极值；（2）若对∀x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（3）证明：若f（x）在区间（1，+∞）上存在唯一零点x0，则（其中e＝2.71828⋯）．21．（15分）已知n项数列An：a1，a2，⋯，an（n≥3），满足∀i≠j有ai≠aj．对于变换T满足∀i∈{1，2，⋯，n}，有T（ai）∈{a1，a2，⋯，an}，且∀i≠j有T（ai）≠T（aj），称数列T（An）：T（a1），T（a2），⋯，T（an）是数列An的一个排列．∀i∈{1，2，⋯，n}，记，Tk+1（ai）＝T（Tk（ai））（k∈N+），如果k是满足Tk（ai）＝an+1﹣i的最小正整数，称数列An存在k阶逆序排列，称T是An的k阶逆序变换．（1）已知数列A4：1，2，3，4，数列T（A4）：3，1，4，2，求T2（A4），T4（A4）；（2）证明：对于4项数列A4，不存在3阶逆序变换；（3）若n项数列An存在3阶逆序变换，求n的最小值．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】结合元素与集合的关系先求出a，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为集合M＝{0，a，a2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，若1∈M，则a＝1或a2＝1，故a＝1或a＝﹣1，当a＝1时，M＝{0，1，1}，与集合元素的互异性矛盾，故a＝﹣1，M＝{0，1，﹣1}，则M∩N＝{0，1，﹣1}．故选：B．【点评】本题主要考查了元素与集合关系，集合交集运算，属于基础题．2．【分析】根据散点图直接判断即可．【解答】解：由散点图可知，肺活量和身高之间是正相关关系，视力和身高之间是非线性相关关系，肢体柔韧度和身高之间是负相关关系，BMI指数和身高之间不相关，故选：A．【点评】本题主要考查了散点图的应用，考查了变量间的相关系数，属于基础题．3．【分析】举出反例，可得A、B、C错误，由指数函数的性质可得D正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当x＝0，y＝﹣1时，x2＞y2不成立，A错误；对于B，当x＝2，y＝1时，＞不成立，B错误；对于C，当x＝﹣1，y＝﹣2时，lnx和lny没有意义，C错误；对于D，y＝2x，其定义域为R，且在R上为增函数，若x＞y，必有2x＞2y，D正确．故选：D．【点评】本题考查不等式的性质，涉及函数的单调性，属于基础题．4．【分析】根据题意条件概率计算公式可解．【解答】解：根据题意记事件A为第一次摸到黄球，事件B为第二次又摸到黄球，则P（A）＝，P（AB）＝＝，则第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率P＝＝．故选：A．【点评】本题考查条件概率计算公式相关知识，属于基础题．5．【分析】根据对数的运算性质和指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：因为2a＝3，log45＝b，所以4b＝5，可得22b＝5，所以2a﹣2b＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查对数的运算性质和指数幂的运算性质，属于基础题．6．【分析】有一所学校有两个人报名，根据分步计数原理即可求出，【解答】解：由题意可得，有一所学校有两个人报名，则共有＝36种．故选：B．【点评】本题考查排列组合的简单应用，计数原理的应用，是基础题．7．【分析】建立适当的平面直角坐标系，由题意可得A的坐标，设抛物线的方程，将点A的坐标代入，可得抛物线的方程，进而可得结果．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，依题意得A（0.49，2.1），设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），由点A在抛物线上，得2.12＝2p×0.49，解得p＝4.5，所以抛物线的方程为y2＝9x，焦点F（2.25，0），故“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为|AF|＝＝＝2.74（m）．故选：B．【点评】本题考查求抛物线的方程及性质，属于基础题．8．【分析】先确定直线过定点（2，5），再计算直线被圆截得的最短弦长、最长的弦长，即可求得结论．【解答】解：直线l：mx﹣y﹣2m+5＝0可化为m（x﹣2）+（﹣y+5）＝0，即直线过定点（2，5）∵圆心（3，4）到定点（2，5）的距离为＝，∴直线l：mx﹣y﹣2m+5＝0被圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4所截得的最短弦长为＝2，又过定点（2，5）的最长的弦长为4，所以弦长为整数3时，有两条直线，弦长为4时，有一条直线；∴弦长为整数时，直线l共有3条．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系检验充分及必要性即可判断．【解答】解：f'（x）＝a（x﹣b）2+2a（x﹣a）（x﹣b）＝a（x﹣b）（3x﹣2a﹣b），令f'（x）＝0，得x＝b或x＝，当b＞a＞0时，﹣b＝＜0，即＜b，故x＜和x＞b时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜b时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故x＝b时，f（x）有极小值，充分性成立；当x＝b为函数的极小值时，则a＞0且＜b或a＜0，＞b，解得，0＜a＜b或b＜a＜0，即必要性不成立．故选：A．【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．10．【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得．【解答】解：＝＝5（52023﹣×52022+×52021﹣…﹣）+1，则能被5整除，5（52023﹣×52022+×52021﹣…﹣）+1除以5余数为1，所以除以5余数为1，由a≡b（mod5），所以2023÷5＝404……3，2024÷5＝404……4，2025÷5＝405，2026÷5＝405……1．故选：D．【点评】本题考查了二次项定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．【分析】根据对数函数的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞0且x≠1，故函数的定义域是（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．12．【分析】根据题意设出双曲线方程，进一步求出a，b的值得答案．【解答】解：由题意可设双曲线方程为，由焦点为（﹣2，0）和（2，0）可得a2+b2＝4，又一条渐近线的方程为，可得，解得．所以双曲线方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．13．【分析】令x＝1，结合题意可求得n＝5，进而可求得a2．【解答】解：令x＝1，得a0+a1+...+an＝3n＝243，解得n＝5，∴a2＝22＝40．故答案为：5；40．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14．【分析】分别对选择1、2、3、4、5个项目的组合方式种类进行计算，相加即可得到不同选择的组合方式共有20种．【解答】解：若该周只选一个项目，则不能完成不少于1小时校园志愿服务时长；若该周选择两个项目，则（除图书整理）任意一个项目和图书整理组合即可完成，故该组合方式有：＝4种；若该周选择三个项目，则任意三个项目组合即可完成，故该组合方式有：＝10种；若该周选择四个项目，则任意四个项目组合即可完成，故该组合方式有：＝5种；若该周选择五个项目，这五个项目组合即可完成，故该组合方式有：1种；综上：不同选择的组合方式共有4+10+5+1＝20种．故答案为：20．【点评】本题考查了分类计数原理，是基础题．15．【分析】把a＝0和a＝1代入解析式，分析单调性即可判断①②，令f（x）＝0，解出零点，判断零点是否在区间内，对含a的零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，即可判断③，把④转化为g（x）恰有两个零点，解出零点，易得取a＝﹣2时有3个零点，可判断④错误．答案为：①③．【点评】本题考查分段函数的应用，导数的应用，属于较难题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】（1）单局比赛中，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲4：0领先的概率．（2）若乙以3：1赢得比赛，则前3局比赛中乙胜2局，第4局比赛乙胜，由此能求出乙以3：1赢得比赛的概率．【解答】解：（1）单局比赛中，甲4：0领先的概率为．（2）若乙以3：1赢得比赛，则前3局比赛中乙胜2局，第4局比赛乙胜．所以，乙以3：1赢得比赛的概率为＝．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．【分析】（1）求出导数，利用切线的方程，求解a和b；（2）求出其导函数，根据导函数的正负即可求解结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝aex+x，∴f′（x）＝aex+1，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+b，∴，解得a＝﹣2，b＝﹣2；（2）由（1）可得f′（x）＝﹣2ex+1＝﹣2（ex），∴当x＞ln时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜ln时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故函数的单调递增区间为（﹣∞，ln），单调递减区间为（ln，+∞）．【点评】本题考查函数导数的应用，切线方程的应用，是中档题．18．【分析】（1）由古典概型概率计算公式直接计算即可求解；（2）X的所有可能取值为36，45，54，分别求出对应的概率即可得分布列以及数学期望；（3）分别求出各自的购车成本以及能源消耗支出的表达式，从而即可进行比较．【解答】解：（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌，共有中，若品牌A1被选中，则有种选择，从而所求概率为；（2）在峰时充电，每次充电30千瓦时需要花费（1+0.8）×30＝54，在平时充电，每次充电30千瓦时需要花费（0.7+0.8）×30＝45，在谷时充电，每次充电30千瓦时需要花费（0.4+0.8）×30＝36，所以X的所有可能取值为36，45，54，在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点中：峰时充电有：18：00，18：30，19：00，19：30，20：00，20：30，共六个时间点，平时充电有：21：00，21：30，22：00，22：30，共四个时间点，谷时充电有：23：00，23：30，共两个时间点，所以＝，，，所以X的分布列为：X544536P则E（X）＝×36+；（3）设燃油车购车成本为x万元，则新能源汽车购车成本为（x+4）万元，燃油车能源消耗支出为，设Y为在某个时间段充电1千瓦时的费用，在峰时充电，每次充电1千瓦时需要花费1+0.8＝1.8，在平时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.7+0.8＝1.5，在谷时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.4+0.8＝1.2，则y的所有可能取值为1.8，1.5，1.2，且，，，所以，所以新能源汽车能源消耗支出为万元，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，则燃油汽车的总花费为y1＝x+14.4，新能源汽车的总花费为y2＝x+4+7.2＝x+11.2＜y1，综上所述，选择新能源汽车的总花费最少．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．19．【分析】（1）由题意，列出a，b，c之间的等式，求出a和b的值，进而可得E的方程；（2）设出直线PQ的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，求出M，N两点的纵坐标，再进行求证即可．【解答】解：（1）因为椭圆E过点且，所以，解得a＝2，b＝，则E的方程为；（2）证明：设直线PQ的方程为x＝my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，此时Δ＝144m2+144＞0，由韦达定理得，，直线AP的方程为，令x＝4，解得，同理得，所以k1k2＝＝＝＝＝﹣1．故k1k2为定值．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．20．【分析】（1）由题意，将a＝2代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而可得极值；（2）对函数进行求导，分别讨论当a≤2和a＞2这两种情况，进而可得a的取值范围；（3）结合（2）中所得将问题转化成求证f（ea﹣2）＝e2a﹣4﹣a（a﹣2）﹣1＞0，利用换元法，构造函数g（x）＝e2x﹣x（x+2）﹣1，对函数g（x）进行求导，利用导数得到函数g（x）的单调性和最值，进而即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝2时，可得，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，f（x）取得极小值，极小值f（1）＝0；（2）易知，当a≤2时，因为x∈（1，+∞），所以2x2﹣a＞0，即f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）＞f（1）＝0，符合题意；当a＞2时，令f′（x）＜0，解得，所以f（x）在上单调递减，此时，不符合题意，综上得，a的取值范围为（﹣∞，2]；（3）证明：当a≤2时，由（2）知，对任意x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，所以f（x）在（1，+∞）上没有零点，不符合题意；当a＞2时，因为f（x）在上单调递减，又f（1）＝0，所以f（x）在上无零点，因为f（x）在（1，+∞）上存在唯一零点x0，所以，因为当时，f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递增，要证，需证，即证f（ea﹣2）＞0，因为f（ea﹣2）＝e2a﹣4﹣a（a﹣2）﹣1，令t＝a﹣2，t＞0，此时要证e2t﹣t（t+2）﹣1＞0，令g（x）＝e2x﹣x（x+2）﹣1，函数定义域为（0，+∞），可得g′（x）＝2e2x﹣2x﹣2，令h（x）＝2e2x﹣2x﹣2，函数定义域为（0，+∞），可得h′（x）＝4e2x﹣2＞0，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，则g′（x）＞g′（0）＝0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＞g（0）＝0，所以f（ea﹣2）＞0得证．故．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．21．【分析】（1）根据题目所给定义求解即可；（2）分①若存在i∈{1，2，3，4}，②若对{i，j，s，t}＝{1，2，3，4}，③若对{i，j，s，t}＝{1，2，3，4}三种情况讨论；（3）分3项、4项、5项、6项数列几种情况讨论即可．【解答】解：（1）因为数列A4：1，2，3，4，T（A4）：3，1，4，2，所以T2（A4）：4，3，2，1，T3（A4）：2，4，1，3，T4（A4）：1，2，3，4．（2）对数列A4的任意变换T，①若存在i∈{1，2，3，4}，有T（ai）＝ai，则T3（ai）＝ai≠a5﹣i，则T不是A4的