湘教版七年级下册数学全册教学设计（配2025年春新版教材）

1(配2025年春新版教材)第一章整式的乘法2.在推导“法则”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力.3.通过对具体事例的分析、归纳，总结同底数幂乘法的公式.培养学生分析、归纳、总结的思维能力，体现由特殊到一般的数学思想.重点：运用同底数幂的乘法法则进行计算.难点：正确理解和运用同底数幂的乘法法则.9A9(1)3²×3³与3³; 例1计算：(1)2³×2⁴×2;2(2)原式=-a³-a².(-a³)=a³.a²·a³=a⁸;1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法(1)(2a+b)2n+1.(2a+b)解析：将底数看成一个整体进行计算.(2)原式=-(x-y)2.(x-y)⁵=-(x-y)7.方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算.(a-b)"=【类型一】运用同底数幂的乘法，求代数式的值解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a,b的关系式，根据a,b的关系式求代数式的值.解：∵82a+3.8b-²=82a+3+b-2=810,∴2a+3+b-2=10,解得2a+b=9.【类型二】同底数幂的乘法的实际应用例4经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，某市5个月共销售商品房8.31×10⁴平方米.据监测，商品房平均售价为每平方米4.7×10³元，则这5个答：这5个月该市的商品房销售总额是3.9057×108元.用科学记数法表示.解析：根据同底数幂的乘法法则的逆运算展开，再整体代入计算即可.三、板书设计正用和逆用.本节课的难点和易错点是底数互为相反数的幂转化为同底数的幂，特别要注意符号.3第一章整式的乘法1.理解幂的乘方的运算法则，能灵活运用法则进行计算.2.在双向运用幂的乘方运算法则的过程中，培养学生思维的灵活性.3.在探索“幂的乘方法则”的过程中，让学生体会从特殊到一般的数学归纳思想.初步培养学生运用“转化”的数学思想方法的能力重点：能灵活运用幂的乘方法则进行计算.难点：区别幂的乘方与同底数幂的乘法运算，提高推理能力和有条理的表达能力.(3)(am).(3)(am)"=am×am×…×am.\s\do4(n个am))=am+m+…+m.\s\do4(n观察上述计算的结果，底数变化了吗?指数发生了什么变化?你能总结出什么结论?解析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法及合(3)2(-a³)⁴+3(-a²)⁶=2a¹²+3a¹²=5a¹2.算乘方，再算乘法.【类型一】运用幂的乘方法则求值例2已知3×9m×27m=316,求m的值.解析：运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于m的方程求解.解得m=3.4方法总结：要注意区分同底数幂的乘法和幂的乘方两种不同的运算，而这两种运算在很多题目中是同时出现的.【类型二】方程与幂的乘方的综合应用为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，再结合整体代入求解.【类型三】运用幂的乘方法则比较大小例4比较3555,4444,5333的大小.解析：由于3个幂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111,所以逆用幂的乘方的运算性质，可将3个幂都转化为指数是111的幂的形式，然后只需比较它们的底数即可.125111,又∵256>243>125,∴2561¹I>24311I>125111,即4444>355⁵>5333.方法总结：本题主要考查了幂的大小比较的方法.一般来说，比较几个幂的大小，可以把它们的底数化为相同，也可以把它们的指数化为相同，再分别比较它们的指数或底数.三、板书设计幂的乘方幂的乘方法则：底数不变，指数相乘.即(am)"=a(m,n都是正整数).教学反思本节课通过特例，引导学生积极探究、大胆猜想，总结归纳出幂的乘方法则.教学中应注意让学生区分同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则的不同，特别注意：幂的乘方，不是把指数乘方.第一章整式的乘法素养目标1.通过探索积的乘方法则，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算法则的过程中，领会这个法则.2.经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力.3.通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难、挑战生活的勇气和信心.重点：积的乘方的运算.难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.教学过程一、情境导入根据乘方的意义计算：5(3)(ab)".(2)(ab)³=ab×ab×ab=(a-a-a)·观察上述计算的结果，你能总结出这种运算的法则吗?试试看，你一定行!【类型一】直接利用积的乘方法则进行计算例1计算：(1)(-5ab)³;(2)-(3x²y)²;解析：直接应用积的乘方法则计算即可.(4)(-xmy3m)²=(-1)²x漏乘方.【类型二】积的乘方在实际中的应用太阳的半径约为6×10⁵千米，它的体积大约是多少立方千米?(π取3)解析：将R=6×10⁵千米代,即可求得答案.解：∵R=6×10⁵千米，*立方千米).方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键.【类型三】含积的乘方的混合运算幂的乘方，然后合并同类项.方法总结：先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项.6这样得到积的乘方法则的逆用，巧妙地运用能简化运算，学会这些方法，能提高解题能力.探究点三：幂的乘方与积的乘方的综合应用判断出2a+2b=2°,即可判断出a+2b=c.解：∵2b=5,∴(2b)²=25,即22b=25.又∵2²=3,∴2⁴×22b=3×25=75.∴2a+2b=2°∴a三、板书设计积的乘方法则：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即(ab)"=a"b"(n是本节课通过特例引入，让学生感悟并理解积的乘方法则.幂的时避免符号和指数的错误.第一章整式的乘法1.经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行单项式与单项式相乘的运算.2.理解单项式与单项式相乘的算理，体会乘法交换律和结合律的作用和转化的数学思想.3.在探索单项式与单项式相乘的过程中，利用乘法的交换律、结合律将陌生的问题转化为已知的问题，培养学生转化的数学思想.重点：单项式与单项式相乘的运算法则及其运用.难点：灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.(2)5a²b-(-2ab³).7(2)5a²b·(-2ab³)=5×(-2)(a²·a)(b·观察上述运算，你能归纳总结出单项式乘法的运算法则吗?二、合作探究探究点一：单项式的乘法解析：(1)直接运用单项式乘法法则计算；(2)先计算积的乘方，再进行单项式乘法运算；(3)把10看作一项，先进行积的乘方计算，再进行单项式乘法运算.解：(3)原式=(-2.5×10²)×(4×106)×(125×109)=(-2.5×4×125)×(10²×10⁶×109)=-方法总结：(1)单项式乘以单项式，涉及的有三个方面：①系数相乘，运用有理数乘法法则；②相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法法则：③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不可漏乘.单项式乘以单项式的实质就是乘法交换律、结合律与幂的运算的综合运用.(2)单项式乘以单项式的结果仍是单项式.探究点二：单项式的乘法的应用【类型一】应用单项式乘法解决与积有关的问题例2已知单项式9am+1bn+1和-2a²m-1b2n-1的积与5a₃b6是同类项，求m,n的值.解析：根据同底数幂的乘法，同类项的概念可求m,n的值.与5a³b⁶是同类项，所以3m=3,3n=6,解得m=1,n=2.方法总结：单项式乘法的结果不会增加在各个单项式中没有的字母.根据同类项的概念，利用单项式乘法法则，可得对应字母的指数相等，从而列出方程求解.【类型二】单项式乘法的实际应用例3有一块长为xm,宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中划出一块长为,宽为的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积.解析：先求出长方形的面积，再求出长方形空地绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积.解：长方形的面积是xym²,长方形空地绿化的面积是,则剩下的面积方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键.三、板书设计单项式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘.8本节课的知识是建立在前几节课的基础之上，利用运算律和幂的运算法则即可推导出单项式的乘法法则，单项式的乘法实际上只包含了两个运算：系数相乘及同底数幂的指数相加，至于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数应作为积的一个因式.第一章整式的乘法1.1.5第1课时单项式与多项式相乘1.探索并了解单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算.2.经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力.3.培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值，培养学生学习的兴趣.重点：单项式乘多项式的运算法则的推导及运用.难点：单项式乘单项式的运算法则及单项式乘多项式的运算法则的综合运用.一、情境导入计算：,我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算，那么怎样计二、合作探究探究点：单项式与多项式相乘【类型一】直接利用单项式乘以多项式法则进行计算解析：直接利用单项式乘多项式的法则计算即可.解：方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.【类型二】单项式与多项式乘法的实际应用例2一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(2a+3b)米，坝高a米.(1)求防洪堤坝的横断面面积；9(2)如果防洪堤坝长400米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米?解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法则计算；(2)防洪堤坝的体积=梯形面积×坝长.(2)堤坝的体积(立方米).故这段防洪堤坝的体积是(150a²+150ab)立方米.方法总结：本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积=梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键.【类型三】化简求值例3(1)计算：2a(a²-3a+4)-3a²(2a+5);(2)当a取-1时，求(1)中多项式的值.解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可.(2)将a=-1代入，(1)中多项式的值为-4a³-21a²+8a=-4×(-1)³-21×(-1)²+8×(-1)=-25.方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要搞错.【类型四】单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值例4如)的展开式中不含x³项，求n的值.解析：先算乘方，再利用单项式乘多项式法则计算，根据结果不含x³项，求出n的值即可.解：2,由展开式中不含x³项，得到-18n=0,解得n=0.方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.三、板书设计单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加.本节课在已学过的单项式乘单项式的基础上，学习单项式乘多项式.教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，通过不断纠错来提高.第一章整式的乘法1.1.5第2课时多项式与多项式相乘1.经历探索多项式乘多项式的运算法则的过程，理解多项式乘多项式的运算法则.2.灵活运用多项式乘多项式的运算法则.3.用数学的思维体会乘法对加法的分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力.4.充分调动学生学习的积极性、主动性，提高与他人沟通交流的能力.重点：多项式乘多项式的运算法则的理解及运用.难点：多项式乘多项式的运算法则的灵活运用.某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米.用两种方法表示这块林区现在的面积.另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米、mb平方米、na平由此可得(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(2)(4y-1)(5-y).解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果.解：(1)原式=3x²+6x+2x+4=3x²+8x+4;(2)原式=20y-4y²-5+y=-4y²+21y-5.式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.例2计算：(3a+1)(2a-3)-(6a-5)(a-4).解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可.方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号.【类型一】化简求值解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算.a³-3a²b+5a²b+15ab²=-8b³(2)将a=-1,b=1代入，(1)中多项式的值为-8b³+2a²b+15ab²=-8+2-15=-21.方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值.再计算.【类型二】多项式乘以多项式与方程的综合例4解方程：(x-3)(x-2)=(x+9)(x+1)+4.即可求出解.解：去括号，得x²-5x+6=x²+10x+9+4,移项、合并同类项，得-15x=7,解得x方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答.【类型三】多项式乘以多项式的实际应用例5千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a+b)米、宽为(2a+b)米的长方形地块，方形),则绿化的面积是多少平方米?并求出当a=3,b=2时的绿化面积.解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案.=3,b=2时，5a²+3ab=5×3²+3×3×2=63,故绿化的面积是63m2.决问题的关键.【类型四】多项式乘以单项式后，不含某一项，求字母系数的值例6已知ax²+bx+1(a≠0)与3x-2的积不含x²项，也不含x项，求系数a,b的值.解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax²+bx+1)(3x-2),不含x的项，可得含x²的项和含x的项的系数等于零，即可求出a与b的值.的项，∴-2a+3b=0,-2b+3=0,,,不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答.另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础.第一章整式的乘法进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识，感悟整体思想.2.让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦，在感悟数学美的同时激发学习数学的兴趣和信心.难点：理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方(3)(a+b)(a-b).二、合作探究探究点：平方差公式【类型一】直接应用平方差公式进行计算(4)(x-2)(x+2)(x²+4).解析：直接利用平方差公式进行计算即可.(2)(-2a-b)(b-2a)=(-2a)(3)(-7m+8n)(-8n-7m)=(-7m)²-(8n)(4)(x-2)(x+2)(x²+4)=(x²-4)(x²+4)=x⁴-16.相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互【类型二】应用平方差公式进行简便运算解析：(1)把写),然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13+0.2)×(13-0.2),然后利用平方差公式进行计算.方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键.【类型三】化简求值例3先化简，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x,y的值代入进行计算即可得解.当x=1,y=2时，原式=5×1²-5×2²=-15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算.【类型四】平方差公式的实际应用例4王大伯家把一块边长为a(a>4)米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何?”李大妈一听，就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么?小即可.解：李大妈吃亏了.理由如下：原正方形的面积为a²,改变边长后的面积为(a+4)(a-4)=a²-16.∵a²>a²-16,∴李大妈吃亏了.方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题.【类型五】平方差公式的几何背景例5如图①,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a>b),把剩下部分拼成一+b)(a-b),∴a²-b²=(a+b)(a-b),方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释.三、板书设计相同项的平方，减去符号相反项的平方.对于例题和练习，让学生通的方式完成，提高学生学习的积极性.第一章整式的乘法第1课时完全平方公式1.会推导完全平方公式，理解公式的几何背景，并能运用公式进行简单运算.2.经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，培养学生的数形结合意识.3.调动学生学习的积极性、主动性，增强学生学习数学的信心.重点：运用完全平方公式进行计算.难点：完全平方公式的推导.一、情境导入由上述计算，你发现了什么结论?二、合作探究探究点：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算例1利用完全平方公式计算：解析：直接运用完全平方公式进行计算即可.解：(1)(5-a)²=25-10a+a²;方法总结：完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b².可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”.【类型二】构造完全平方式例2如果36x²+(m+1)xy+25y²是一个完全平方式，求m的值.解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值.解：∵36x²+(m+1)xy+25y²=(6x)²+(m+1)xy+(5y)²,∴(m+1)xy=±2·6x·5y.∴m+1方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.【类型三】完全平方公式的几何背景例3我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释(a+b)²-(a-b)²=4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是()解析：空白部分的面积为(a-b)²,还可以表示为a²-2ab+b²,所以此等式是(a-b)²=方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央.教学中，教强化学生对完全平方公式的理解记忆.第一章整式的乘法1.能够运用完全平方公式进行较复杂式子的运算及一些数的简便运算.2.通过学习运用完全平方公式进行计算，提高对完全平方公式综合运用的能力，分析问题、解决问题的能力.3.调动学生学习的积极性、主动性，增强学生学习数学的信心.重点：运用完全平方公式进行较复杂式子的运算及一些数的简便运算.难点：灵活运用完全平方公式进行整式的简便运算.1.请同学们用语言叙述并用式子表示完全平方公式.2.下列各式相等吗，为什么?代入即可求得x²+y²的值；(2)首先化简=x²+y²,又∵x²+y²=20,∴原式=20.【类型二】运用完全平方公式进行简便计算解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果.解：(1)原式=(100-2)²-(100+1(100-1)=100²-400+4-100²+1=-395;(2)原式=2014²-2×2014×2013+2013²=(2014-2013)²=1.利用完全平方公式的形式.【类型三】逆用完全平方公式解析：从已知中直接求出a,b是困难的，试着把已知的左边转化为两个完全平方式.=0,b-5=0,即a=4,b=方法总结：逆用完全平方公式，再结合平方或平方和的非负性是解答此题的关键.三、板书设计2.底数互为相反数的平方的关系：(-a+b)²=(a-b)²,(-a-b)²=(a+b)².还是两数差的完全平方公式.如果底数同号，则运用两数和的完全平方公式；若底数异号，则运用两数差的完全平方公式.注意强调学生不要遗漏中间项.第一章整式的乘法1.2.3运用乘法公式进行计算和推理1.会熟练地运用乘法公式进行计算；能正确地根2.通过学习运用乘法公式进行计算，提高学生对乘法公式综合运用的能力，特别是观察、分析、解决问题的能力.3.运用乘法公式解决代数推理类问题.4.在学习的过程中，培养学生实事求是、科学、严谨的学习态度.重点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式乘法的计算.难点：正确选择乘法公式进行计算并规范书写解答过程.【类型一】乘法公式的综合运用解析：(1)可添加(2-1),与首项结合起来用平方差公式，再(4)先利用积的乘方把原式变形为[(b+2a)(b-2a)}²,再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可.解：(1)原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)…(2¹⁶+1)=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)…(2¹⁶+1)=(3)原式=[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)]=x²-(2y-3z)²=x²-(4y²-12yz+9z²)=x²-4y²的作用.同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率.例2如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等.若18的对面写的是a,14的对面写的是b,35的对面写的是c,试求a²+b²+c²—ab-bc-ca的解析：根据相对两个面所写的两数之和相等可得a-b,a-c,b-c的值，然后逆用完全平方公式对代数式进行整理，最后代入数值计算即可得到结果.解：根据相对两个面所写两数之和相等，可得18+a=14+b,即a-b=-4,18+a=+b²)+(a²-2ac+c²)+(b²-2bc+c²)=(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=(-4)²+分析及解答问题，本题根据质数的定义判断出c的值是解题的关键.解析：根据已知先求出a-c的值，然后根据(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)求解.38,所以2(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ca)=38.因为a²+b²+c²=1,所以2-2(ab+bc+ca)=38.体，如把a²+b²与2ab看作一个整体，利用列方程或列方程组求解.【类型三】运用乘法公式进行代数推理例4在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.个数(如图①中的阴影部分),将位置B,D上的数相乘，位置A,E上的数相乘，再相减，例如：7×21-6×22=_,4×18-3×19=,不难发现，结果都等于 .(请完成填空)解析：(2)用含x的式子表示出A,B,D,E.再用乘法公式化简.解：(1)151515x+7,x+8.由题意得(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=(x²-49)-(x²-64)=x²-49-x²+64=15,三、板书设计2.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b本节课学习了运用乘法公式进行计算和推理，计算时要注意两个方面，一是正确运用公式，判断题目所给出的式子是否适用公式进行计算，运用公式时是用平方差公式还是完全平方公式；二是注意运算的准确性，运算时必须细心，注意符号及项数，避免出现错误.在教学中可采取小组竞赛的方式进行，提高学生的积极性和主动性.第二章实数2.1第1课时平方根和算术平方根1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根，2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根定义求某些非负数的平方根、算术平方根.3.通过问题情境使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟平方根、算术平方根的意义，使学生认识数学与人类生活的密切关系.重点：平方根和算术平方根的定义与求法.难点：平方根的定义和性质的探索.一、情境导入为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少?你能计算出来吗?二、合作探究探究点一：平方根【类型一】求一个数的平方根例1求下列各数的平方根.解析：根据平方根的性质知道，一个正数有两个平方根，它们是互为相反数.所以只要找出一个数，使得它的平方等于这个数.解：(1)由于4²=16,因此16的平方根是4与-4,即±√16=±4.(2)由于,因此的平方根,即=(4)(-2.1)²=2.12.因此(-2.1)²的平方根是2.1与-2.1,即±√(-2.1)²=±2.1.方法总结：求一个非负数的平方根，只要找出一个非负数，使得它的平方等于这个数，那么找出的那个非负数，连同它的相反数，就是所求的平方根.【类型二】利用平方根的意义求字母的值例2已知一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则a的值是解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,∴2a-2+a-4=0,解得a=2.故答案为2.方法总结：本题考查了平方根的概念.一个正数有两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0.探究点二：算术平方根【类型一】求一个数的算术平方根例3求下列各数的算术平方根. 解析：根据算术平方根的定义，求算术平方根时，只取非负的平方根即可. 解：(1)由于1.3²=1.69,因此√1.69=1.3.(3)由于(-5)²=5²,因此√(-5)²=5.方法总结：求一个数的算术平方根的一般步骤：①找出一个非负数，使得它的平方等于这个数；②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式.【类型二】求含根号式子的值例4求下列各式的值.(4N(-9)2.解析：(1)±√49表示49的平方根，所以结果为±7;(2)-√16表示16的算术平方根的相反数，所以结果为-4;表的算术平方根，所以结果为;(4)因为√(-9)2=√81,而81的算术平方根为9,所以结果为9.(4)√(-9)2=V81=9.方法总结：理解各个式子表示的意义是解题的关键：±Na表示a的平方根；Va表示a的算术平方根；-√a表示a的算术平方根的相反数.也就是说：只要题目中的式子有意义，结果的符号与式子前面的符号相同.探究点三：算术平方根的非负性解析：由绝对值的意义知：la-2|≥0;由算术平方根的意义知：b-3≥0,所以a-2 =0,b-3=0.于是可以求得a,b的值，再代入ab计算即可. 所以ab=2³=8.方法总结：几个非负数的和为0,则这几个非负数分别等于0.三、板书设计平方根算术平方根.本节课的教学中，通过实例引入平方根的概念，并让学生感悟“负数为什么没有平方根”.引导学生归纳出正数、0、负数的平方根的情况.通过练习进一步理解平方根、算术平方根的概念.本节课易错点是在表示平方根与算术平方根时学生容易混淆；式子表示与语言叙述相结合的题往往只看到一个方面，如“√81的算术平方根是.”学生会误第二章实数1.经历无理数的探索过程.2.了解无理数的概念.3.能用计算器求一个正数的算术平方根.4.通过学生动手操作(做出面积为8cm²的正方形),发现新问题，在探讨新问题的过程中学习无限不循环小数、无理数的概念.培养学生动手、观察、推理的能力.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.重点：无理数的探索过程.难点：无理数的认识.一、情境导入在上节课中，我们学习了这个问题：为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少?你能计算出来吗?二、合作探究探究点一：无理数【类型一】无理数的识别 例1在下列实数中：,3.14,0,√9,π,√5,0.1010010001…(相邻的两个1之间依次多 一个0),无理数有()解析：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π,√5,0.1010010001…(相邻的两个1之间依次多一个0).故选C.【类型二】估计无理数的大小例2设n为正整数，且n<√65<n+1,则n的值为()A.5B.6C.7D.8解析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决.相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围.【类型一】用计算器求算术平方根(3)N13(精确到0.001).(2)V36.42≈6.035.(3)N13≈3.606.方法总结：取近似值时要看下一位，再四舍五入.例4在交通事故的处理中，警察常用公式v=16√df来判断该车是否超速，其中v表示车速(单位：千米/时),d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米),f表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到一辆车的d=17.9米，f=2.3.请问该车超速了吗?解析：把d=17.9,f=2.3代入计算，求出近似值，与60相比较.方法总结：按照规定的运算代值计算，求出近似值.望.再让学生用计算器求无理数的近似值，认识到无理数包括无限不循环小数.这样突出学生的主体地位，整个课堂以学生参与为主线，老师起主导作用.第二章实数1.了解立方根的概念.2.能用立方根运算求某些数的立方根，能用科学计算器求立方根及其近似值.3.在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值.重点：立方根的概念及运算.难点：立方根与平方根的区别.教一、情境导入一个正方体的体积为8立方米，这个正方体的棱长是多少?二、合作探究探究点一：立方根【类型一】求一个数的立方根例1求下列各数的立方根.解析：根据立方根的定义，把题中各数分别化为一个数的立方即可.解：(1)∵(-3)³=-27,∴方法总结：任何一个数都只有一个立方根，其符号与原数的符号相同.【类型二】立方根与平方根的综合问题例2已知x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x²+y²的算术平方根.解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x-2=4,2x+y+7=27,从而解出x,y,最后代入x²+y²,求其算术平方根即可.∵2x+y+7的立方根是3,∴2x+y+7=27.把x=6代入解得y=8.∵x²+y²=6⁸+8²=100,∴x²+y²的算术平方根为10.方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出x,y值，再根据算术平解析：本题实质是求各数的立方根.例4用计算器求下列各式的值.(3)-³-5.368(精确到0.001).解析:先按2ndF,,再按根号下的各数字，最后按=键即可.(2)(3)小题可先确解： 方法总结：2ndF键是第二功能键，相继按2ndF,√键，意思是执行 上方所指V的功能运算.K探究点四：立方根的实际应用例5有一块体积为343cm³的正方体木块，现在要把它分成大小相等的8块小正方体，求每块小正方体的表面积.解析：先由体积开立方求得边长，再由边长求得表面积.解：每块小正方体的边长为：方法总结：正确理解题意，把实际问题转化为数学问题是解题的关键.三、板书设计立方根表示数的立方根互为逆运算开立方本节课通过实例引入了立方根的概念，通过合作探究得出了立方根的性质，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的合作意识.要注意立方根与平方根的区别，在教学时可引导学生对比平方根进行学习.第二章实数2.3第一课时认识实数1.了解无理数和实数的概念，会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力.2.了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义.3.了解实数范围内相反数、绝对值的意义，运算律的意义.4.通过对实数分类的探索，学会分类的方法.类比有理数范围内相反数、绝对值、运算律的意义运用到实数范围内.领会数形结合的思想，在运用实数运算解决实际问题的过程中，增强应用意识，提高解决问题的能力，体会数学的应用价值.重点：实数的概念与分类；在实数范围内求相反数、绝对值；实数范围内的四则运算.难点：实数的分类；实数范围内的四则运算.一、情境导入前面我们学习了有理数和无理数，把数的范围又扩大了，那么这个大范围的数叫作什么数?怎样分类?二、合作探究探究点一：实数的概念和分类例1把下列各数分别填到相应的集合内：-3.6,V27,√4,5,,-³2s,",3.14,0.101001…(相邻的两个1之间依次多1个0).(1)有理数集合{…};(2)无理数集合{…};(4)负实数集合{…}.解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类.而有理数分为整数和分数.解：(1)有理数集合{-3.6,√4,,3.14,…};(2)无理数集合{V27,³-7,0.101001…(相邻的两个1之间依次多1个0),…};(3)整数集合{N4,5,0,-³125,(4)负实数集合方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复.探究点二：实数与数轴上的点一一对应【类型一】求数轴上的点对应的实数例2如图所示，数轴上A,B两点表示的数分别是-1和√3,点B关于点A的对称点为C,求点C所表示的实数.解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出C所表示的实数.解：∵数轴上A,B两点表示的数分别为-1和√3,∴点B到点A的距离为1+√3.则点C到点A的距离也为1+√3.设点C表示的实数为x,则点A到点C的距离为-1-x,∴-1-x=1+√3,∴x=-∴点C所表示的实数为-2-√3.方法总结：本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值.【类型二】利用数轴进行估算例3如图所示，数轴上A,B两点表示的数分别是√2和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有()解析：∵√2≈1.414,∴√2和5.1之间的整数有2,3,4,5,∴A,B两点之间表示整数的点共有4个，故选C.方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.【类型三】结合数轴进行化简例4实数在数轴上的对应点如图所示，化简：:解析：由于Va²=la,√(b+c)²=b+c|,所以解题时应先确定a,b-a,b+c的符号，再根据绝对值的意义化简.解：由图可知，a<0,b-a>0,b+c<0.所以，原式=la|-|b-a|-|b+c|=-a-(b-a)+(b+c)=-a-b+a+b+c=c.方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a|=探究点三：相反数和绝对值例5求下列各数的相反数和绝对值.解析：根据相反数、绝对值的定义求解.解：(1)N5的相反数是-√5,绝对值是√5.(2)V2-√3的相反数是-√2+√3,绝对值是-√2+√3.(3)-1+√3的相反数是1-√3,绝对值是-1+√3.方法总结：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数时，只需在这个数的前面加上“一”号再去括号即可.求一个数的绝对值，需要分清这个数是正数、0还是负数.正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数.三、板书设计正有理数有理数零负有理数实数实数的分类正无理数实数负无理数实数与数轴——实数和数轴上的点一一对应实数的性质{绝对值本节课学习了实数的有关概念和实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数.在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念.本节课要注意的地方有两个：一是所有的分数都是有理数，如;二是形如等之类的含有π的数不是分数，是无理第二章实数2.3第二课时实数的运算1.了解有理数的运算在实数范围内仍然适用.2.会进行实数大小的比较.3.通过实际问题探讨近似值取值，让学生感受到生活中处处存在着数学，激发学生的学习兴趣.重点：在实数范围内近似值的取值.难点：实数的大小比较技巧.一、情境导入如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG,其中正方形厨房ABCD的面积为10平方米，正方形卧室CEFG的面积为15平方米，他想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗?二、合作探究探究点一：实数的运算例1计算下列各式的值.解析：按照实数的混合运算顺序进行计算.(2)因为√3-√2>0,1-√2<0,2-√3>0,=1.方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律.探究点二：实数的估算和大小比较【类型一】估算法例2不用计算器，分别估计V¹16和-³800在哪两个相邻整数之间.解析：估算116介于哪两个完全平方数之间，800介于哪两个立方数之间，再开方得出范围.解：因为10²=100<116,11²=121>116,所以√116介于10和11之间，即10<V116<11.因为9³=729<800,10³=1000>800,所以³/800介于9和10之间，即数之间，再开方即可.【类型二】作差法和作商法例3比较大小：口;(2)1-√2与1-√3.解析：把两个数直接相减，根据差的正负比较大小.方法总结：作差法：设a,b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b<0【类型三】平方法例4比较2√3与3√2的大小.解析：两个数都是正数，把它们分别平方后再比较大小.解：∵(2√3)²=12,(3√2)²=18,又∵12<18,∴2√3<3√2.方法总结：平方法：比较含有无理数的式子的大小时.先将要比较的两个数分别平方.再根据“在a>0,b>0时，可由a²>b²得到a>b”比较大小.也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数.【类型四】近似值法解析：借助计算器分别求出它们的近似值，再比较大小.的大小来确定它们的大小.三、板书设计实数的大小比较作差法作商法估算法平方法近似值法由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣.同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用.教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度.在涉及到用计算器求近似值时，一定要注意题目中的精确度.3.1不等式的意义1.初步了解不等式的意义.2.能够利用不等式表示数量关系.3.通过经历实际问题中数量关系的分析抽象过程，体会现实世界各种各样的数量关系，有等量关系也有不等量关系.认识到不等式知识在现实生活中的作用，通过讨论、交流的过程体会数学活动充满着探索性和创造性.重点：不等式的意义及列不等式.难点：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感.一、情境导入有一群猴子，一天结伴去摘桃子.分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个.你知道有几只猴子，几个桃子吗?二、合作探究探究点一：不等式的概念+3.不等式的个数有()解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥,共4个.故选B.方法总结：本题考查不等式的判定，一般的用不等号表示不相等关系的式子此类题关键是要识别常见不等号：>,<,≤,≥,≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式.【类型一】用不等式表示数量关系(1)x与2的和是负数；(2)m与1的相反数的和是非负数；(3)a与-2的差不大于它的3倍；(4)a,b两数的平方和不小于他们的积的两倍.(2)m-1≥0.例3亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机.他现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式A.20x-55≥350B.20x+55≥350C.20x-55≤350D.20x+55≤350解析：此题中的不等关系：现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元.列出不等式20x+55≥350.故选B.超过、至少、至多等的含义.本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系.果含有“不”、“非”等文字，一般应包括“=”,这也是学生容易出错的地方.第3章一元一次不等式(组)3.2第1课时不等式的基本性质1,2素养冒标1.掌握不等式的基本性质1,2,并能用不等式的基本性质1,2解决有关问题.2.会用数学思维思考不等式基本性质的探索过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生的类比意识、分析问题和解决问题的能力.3.培养学生探索精神、合作交流意识以及准确表达的良好学习习惯.重点：不等式的基本性质1,2的理解与运用.难点：不等式的基本性质1,2的理解.刚的说法对吗?为什么?探究点一：不等式的基本性质1,2【类型一】根据不等式的基本性质1,2判断大小例1用“>”或“<”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：(1)若x+3>6,则x3,根据(2)若a<3,则5a15,根据解析：(1)已知x+3>6,根据不等式的基本性质1,两边同时减去3,不等号的方向不(2)已知a<3,根据不等式的基本性质2,两边同时乘以5,不等号的方向不变，得5a<15.方法总结：运用不等式的基本性质1.2进行变形时，不等号的方向不变.【类型二】判断变形是否正确解析：根据不等式的基本性质1,选项A中两边同时加上3x,选项B中两边同时减去6,方法总结：运用不等式的基本性质2进行变形时，要注意的是两边都乘(或除以)的是同一个正数.【类型三】根据不等式的基本性质1,2写出新的不等式例3按下列条件，写出仍能成立的不等式.(1)-1<5,两边都加上-2;(2)2>1,两边都乘以2;(3)3x<6-3x,两边都加上3x;(4)3a>2a,两边都除以3.解析：根据不等式的基本性质1,2进行变形.解：(1)-3<3.(3)6x<6.方法总结：根据不等式的基本性质1,2进行变形时，要注意两个方面：一是不等号的方向不变，二是左右两边要合并同类项.探究点二：利用不等式的基本性质1,2比较大小例4比较大小：8(2)-√23+3与4-√47.解析：(1)由√13的整数部分估算出分子的范围，再与1进行比较，从而可得原来两数的大小；(2)由-√23与-√47的整数部分估算出原来两数的范围.解：(1)∵3<√13<4,∴√13-3<1.∴方法总结：估算法：设a,b为任意两个实数，先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围，再利用不等式的基本性质进行比较.三、板书设计1.不等式的基本性质12.不等式的基本性质2本节课学习了不等式的基本性质1,2,在学习过程中，可与等式的性质进行类比学习.在运用性质进行变形时，不等式的两边可以同时加上或减去同一个数，也可以是同一个代数式.要注意的是移项要变号，但是移项时，不等号的方向不变.第3章一元一次不等式(组)第2课时不等式的基本性质31.使学生掌握和理解不等式的三条基本性质.2.培养学生观察、分析、比较能力，会运用不等式的基本性质进行不等式的变形，提高他们灵活运用所学知识解题的能力.3.通过对不等式性质的探究，培养学生的钻研精神与交流合作意识，加强同学间的合作与交流.重点：不等式基本性质的运用.难点：对不等式的基本性质3的理解.一、情境导入小明在不等式-1<0的两边都乘-1,得到1<0,错在哪里?二、合作探究探究点：不等式的基本性质3【类型一】比较代数式的大小例1已知-x<-y,用“<”或“>”填空.解析：(1)根据不等式的基本性质2,不等式两边同乘以2,不等号方向不变，故填：<;(2)根据不等式的基本性质3,不等式两边同乘以-2,不等号方向改变，故填：>;(3)根据不等式的基本性质3,不等式两边同乘以,不等号方向改变，故填：>.方法总结：利用不等式的基本性质2,3把不等式进行变形时，首先必须弄清两边同时乘(或除以)的数的符号，如果这个数是正数，不等号的方向不变；如果是负数，不等号的方向改【类型二】判断变形是否正确例2下列不等式变形正确的是()解析：A中由a>b,若m=0,则可得am=bm,若m<0,B中由a>b,得a-2024>b-2024,故B错误；C中由ab>ac,若a>0,则可得b>c,故C错误；故选D.方向改变.【类型三】把不等式化成“x>a”或“x<a”的形式例3把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.解析：根据不等式的基本性质，把含未知数项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.解：(1)根据不等式的基本性质1,两边都加上2得：2x<2.根据不等式的基本性质2,两边除(2)根据不等式的基本性质1,两边都加上9-6x得：-3x<9.根据不等式的基本性质3,两边都除以-3得：x>-3.(3)根据不等式的基本性质1,两边都加上得：-x>-3.根据不等式的基本性质3,两边都除以-1得：x<3.方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x>a”或“x<a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现).然后把未知数的系数化为1,要注意的是：如果两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；如果两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变.【类型四】根据不等式的变形确定字母的取值范围例4如果不等式(a+1)x<a+1可变形为x>1,那么a必须满足解析：根据不等式的基本性质可判断，a+1为负数，即a+1<0,可得a<-1.方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变.三、板书设计1.不等式的基本性质3通过情境引入，师生合作，得出不等式的基本性质3,在课堂中，让学生大胆质疑，同时通过错例加深学生对不等式的基本性质3的理解认识.并让学生把不等式的三条基本性质用数学符号表示出来.3.3第1课时较简单的一元一次不等式的解法1.了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法，会在数轴上表示不等式的解集.2.会用不等式的基本性质，对比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，体会知识的迁移，了解不等式的解集可用图形来表达，渗透数形结合思想.3.通过讨论、交流的过程体会数学活动充满着探索性和创造性.重点：一元一次不等式的解法，会用数轴表示不等式的解集.难点：类比一元一次方程得出不等式的解法.一、情境导入1.什么叫一元一次方程?2.解一元一次方程的一般步骤是什么?要注意什么?3.如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解?二、合作探究探究点一：一元一次不等式的概念【类型一】一元一次不等式的识别例1下列不等式中，是一元一次不等式的是()A.5x-2>0B.解析：选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数，选项D中未知数的次数是2,故选项B,C,D都不是一元一次不等式，所以选A.方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数，②未知数的最高次数为1,③不等式的两边都是整式.【类型二】根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围例2已知·是关于x的一元一次不等式，则a的值是解析：由是关于x的一元一次不等式得2a-1=1,计算即可求出a的值等于1.探究点二：一元一次不等式的解或解集<0的解集是x>2.其中正确的个数是()解析：①x=0时，2x-1<0成立，所以x=0是2x-1<0的一个解；②x=-3x-2>0不成立，所以x=-3不是3x-2>0的解；③-2x+1<0的解集是,所以不正确.故选C.方法总结：判断一个数是不是不等式的解，只要把这个数代入不等式，看是否成立.判断一个不等式的解集是否正确，可把这个不等式化为“x>a”或“x<a”的形式，再进行比较即探究点三：一元一次不等式解集的表示例4用数轴表示下列不等式的解集：方法总结：在数轴上表示不等式解集时，要注意两点：一是含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈；二是小于向左，大于向右.探究点四：解一元一次不等式【类型一】解一元一次不等式例5解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来：(2)3(x-3)-6>2(x-5).解析：按照解一元一次不等式的基本步骤求解：去分母、去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数.解：(1)去括号，得2x+1-1≤-x+9,移项、合并同类项，得3x≤9,两边都除以3,得x≤3.不等式的解集在数轴上表示如下：(2)去括号，得3x-9-6>2x-10,移项，得3x-2x>-10+9+6,合并同类项，得x>5.不等式的解集在数轴上表示如下：方法总结：解一元一次不等式的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数，这些基本步骤与解一元一次方程是一样的，所要注意的是，解一元一次不等式两边都除以未知数的系数时，一定要注意这个数是正数还是负数，如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号的方向改变.【类型二】根据不等式的解集求待定系数例6已知不等式x+8>4x+m(m是常数)的解集是x<3,求m解析：先解不等式x+8>4x+m,再列方程求解.解：因为x+8>4x+m,因为其解集为x<3,方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值.解题过程体现了方程思想.【类型三】一元一次不等式与二元一次方程组的综合例7已知关于x,y的方程组的解满足不等式x+y<3,求实数a的取值范围.解析：先解方程组，求得含字母a的x,y的值，再根据x+y<3,解不等式即可.方法总结：已知方程组，可先求出方程组的解，再把方程组的解代入不等式，求出字母系数的取值范围.三、板书设计1.一元一次不等式的概念2.解一元一次不等式的基本步骤：去括号移项合并同类项两边都除以未知数的系数本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同.如果这个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变.这也是这节课学生容易出错的地方.教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错.1.会用不等式的基本性质，对比一元一次方程的解法，含有分母时，通常先去分母，体会知识的迁移；2.会根据不等式的解集，结合数轴，求不等式的特殊解，渗透数形结合思想.重点：解含分母的一元一次不等式.难点：解含分母的一元一次不等式.一、情境导入解方程，并体会其步骤：思考：若把上式中的“=”改成“>”,去分母后得到的不等式是什么?二、合作探究探究点一：解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集例1解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：解析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1,求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.解：(1)去分母，得3(2x-3)<x+1,去括号，得6x-9<x+1,移项，合并同类项，得5x<10,系数化为1,得x<2.不等式的解集在数轴上表示如下：(2)去分母，得2(2x-1)-(9x+2)≤6,去括号，得4x-2-9x-2≤6,移项，得4x-9x≤6+2+2,合并同类项，得-5x≤10,系数化为1,得x≥-2.不等式的解集在数轴上表示如下：方法总结：在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈.探究点二：求不等式的特殊解例2y为何值时，代数的值不大于代数式的值?并求出满足条件的最大整数.解析：根据题意列出不等,再求出解集，然后找出符合条件的最大整数.去分母，得4(5y+4)≤21-8(1-y),去括号，得20y+16≤21-8+8y,移项，得20y-8y≤21-8-16,合并同类项，得12y≤-3,把y的系数化为1,得在数轴上表示如下：由图可知，满足条件的最大整数是-1.方法总结：求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解.在确定特殊三、板书设计1.解含分母的一元一次不等式2.求不等式的特殊解在教学过程中，由于通过简单的类比——解方程，学生能较快掌握解不等式的方法，但要思考怎样将数学知识体系化.学生在解一元一次不等式去分母时，要注意每一项都要乘各个分母的最小公倍数，不能漏乘.3.4一元一次不等式的应用1.让学生进一步经历运用不等式解决实际问题的过程，总结运用不等式解决实际问题的一般过程.2.会用所学知识对实际问题进行分析，并加以解决，培养学生抽象、分析、解决问题的能力.体验知识生成、发展的过程.经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程，提高分析问题的能力.3.培养学生敢于探索、勇于克服困难的优秀品质，感受数学建模思想，体会数学的应用价值.重点：让学生进一步经历运用不等式解决实际问题的过程.难点：从实际问题中找不等关系.教甲乙如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠?二、合作探究探究点：一元一次不等式的应用【类型一】商品销售问题例1某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小.为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%,那么最多可以打几折出售此商品?解析：由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%=24(元);若打x折该商品获得的利润=该商品的标价×0一进价，即该商品获得的利润=180×1-120,,列出不等式，解得x的值即可.解：设可以打x折出售此商品，由题意得解之得x≥8.答：最多可以打8折出售此商品.方法总结：商品销售问题的基本关系是：售价一进价=利润.读懂题意列出不等式求解是解题关键.【类型二】竞赛积分问题例2某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分.小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题?解析：设小明答对x道题，则答错或不答的题数为25-x,根据得分要超过80分，列出不等式，求解即可.解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为25-x.根据他的得分要超过80分，得解这个不等式，得因为x应是整数而且不能超过25,所以小明至少要答对22道题.答：小明至少要答对22道题.解，取整数解时要注意关键词：“至多”“至少”等.【类型三】安全问题例3在一次爆破中，用一条1m长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s,引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600m以外(包括600m)的安全区域?解析：本题首先依题意可得出不等关系即引爆员所跑路程大于等于600米，然后列出不等式为解出不等式即可.解：设以每秒xm的速度能跑到600m以外(包括600m)的安全区域.0.5cm/s=0.005m/s,依题意可得,解得x≥3.答：引爆员点着导火索后，至少以每秒3m的速度才能跑到600m以外(包括600m)的安全区域.方法总结：题中的“至少”是建立不等式的关键词，也是列不等式的依据.【类型四】分段计费问题例4小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少?解析：当每月用水5立方米时，花费5×1.8=9(元),则可知小明家每月用水超过5立方米，设每月用水x立方米，则超出(x-5)立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可.解：设小明家每月用水x立方米.∴小明家每月用水超过5立方米，则超出(x-5)立方米，按每立方米2元收费.列出不等式为5×1.8+(x-5)×2≥15,解不等式得x≥8.答：小明家每月用水量至少是8立方米.方法总结：分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的费用.根据费用之间的关系建立不等式求解即可.【类型五】调配问题例5有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15解析：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10-x)人.甲种蔬菜有3x亩，乙种蔬菜有2(10-x)亩.再列出不等式求解即可.解：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10-x)人.解得x≤4.答：最多只能安排4人种甲种蔬菜.方法总结：调配问题中，各项工作的人数之和等于总例6为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备.现有A,B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表.经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.价格(万元/台)处理污水量(吨/月)年消耗费(万元/台)11(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案?12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.∵x取非负整数，∴x可取0,1,2.(2)240x+200(10-x)≥2040,解得x≥1,所以x为1或2.当x=1时，购买资金为12×1+10×9=102(万元);当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104(万元).案时，应把几种情况进行比较，找出最大或最小.实际问题找出不等关系列不等式解不等式结合实际问题确定答案不等关系列不等式.在教学过程中，可通过类比列一元一次方习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.1.通过对不等式的复习和具体实例，总结一元一次不等式组及其解集的概念.2.通过对具体实例的分析，让学生感受现实生活中错综复杂的数量关系，让学生认识到现在学习的不等式组的知识是认识客观世界的基础.3.创设情境，在积极参与探索一元一次不等式组及解法的学习活动中，发展应用数学知识的意识与能力.4.让学生经历知识的拓展过程，并能通过数轴让学生直观认识一元一次不等式组的解集，使其了解数形结合的作用.5.通过培养学生的动手能力发展学生的感性认识与理性认识，培养学生独立思考的习重点：一元一次不等式组的解集和解法.难点：一元一次不等式组解集的理解.如图，小红现有两根小木棒，长度分别为20cm和40cm,她想再找一根木棒来拼接成A方法总结：利用数轴确定不等式组的解集，如果不等式组由两个不等式组成，其公共部分在数轴上方应当是有两根横线穿过.探究点二：解一元一次不等式组例2解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.①①解析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求它们的公共部分.解：(1)解不等式①得x≥2,解不等式②得x>2,所以原不等式组的解集为x>2,这个不等式组的解集在数轴上表示如下： 解不等式①得x>1,解不等式②得x≤4,∴这个不等式组的解集是1<x≤4.将不等式组的解集表示在数轴上：方法总结：解一元一次不等式组的一般步骤是：先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来，然后利用数轴确定这几个不等式解集的公共部分；也可利用口诀确定不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解探究点三：求不等式组的特殊解例3求不等式组的整数解.解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数值即可.解：解不等式①得x≤2,解不等式②得x>-3,故答案为：-2,-1,0,1,2.方法总结：求不等式组的特殊解时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，然后根据题目要求确定特殊解.确定特殊解时