2025学年中考数学二轮复习专题：二次函数与线段最值问题【含答案】

2025学年中考数学二轮复习专题：二次函数与线段最值问题·题型一：基础线段的长及其最值问题求水平线段或竖直线段的最值：方法步骤：1、设出动点的坐标；2、表示出水平或竖直线段的长；3、利用二次函数的性质求解。求斜线段的最值：方法步骤：①、设出点坐标，表示出线段长；②、通过作y轴或x轴平行线构造三角形与已知三角形相似或构造特殊三角形，将斜线段转化为竖直线段；

④、利用二次函数的性质求解。求斜线段比值的最值：方法步骤：①、设出点坐标，表示出线段长；②、找出含有线段比值的两个相似三角形，利用相似三角形的性质将线段比值转化到可以表示出来的线段上；①、利用二次函数的性质求解。经典例题1（2023.重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1（1）求该抛物线的解析式；（2）P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作PD┴AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标。

经典例题2（2023.济南模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，M为直线AC上方抛物线上的任意一点，过点M作y轴的平行线交AC于点N，过点M作x轴的平行线交AC于点Q，求ΔMNQ周长的最大值。经典例题3（2023.四川中考）如图，抛物线y=ax（1）求抛物线的解析式；（2）若D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC的上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标。

经典例题4（2023.四川中考）已知抛物线的解析式是y=−x如图1，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标分别是x1，x2(（3）如图2，当抛物线经过点C（O，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧。在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N，求PNAN的最大值。图1图2·题型二：利用“将军饮马”解决线段最值问题

202202·基础模型原理1（两定一动之“点-点和的最值）（“河”和异侧）如图所示，A、B为定点，P为直线上一动点，试求PA＋PB的最小值。基础模型原理1（两定一动之“点-点和的最值）（“河”和同侧）如图，定点A，B分布在定直线的同侧，在直线上找一点P，使得PA＋PB的值最小？基础模型原理2（两定一动之“点-点差的最值）（差同侧）如图所示，A，B为定点，在直线上找一点P，使得｜PA-PB｜最大。

基础模型原理2（两定一动之“点-点差的最值）（差同侧）如图所示，A，B为定点，在直线上找一点P，使得｜PA-PB｜最小。·基础模型原理3（一定两动之“点-点最值）如图，P为定点，M、N分别为OA和OB上的动点，求ΔPMN的周长最小值。基础模型原理4（两定两动之“点-点最值）如图，P、Q为两定点，M、N分别为0A、OB上的动点，求四边形PQMN的最小值。

·基础模型原理5（一定两动之“点-线最值）如图所示，P为定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求PM+M的最小值。·基础模型原理6（将军过桥）（两定点一定长-河异侧）已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？基础模型原理7（将军遛马）（两定点一定长-河同侧）如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？河

在ΔABC中，已知点D、E、F分别为AB、AC、BC上的动点，求ΔDEF周长的最小值。经典例题5如图，抛物线y=−x（1）如图①，若点P是y轴上一动点，当BP＋PE取得最小值时，求点P的坐标。（2）如图②，连接CD，点Q是x轴上一动点，连接CQ，DQ，求ΔCDQ周长的最小值。

（3）如图③，若点M为y轴上一动点，点N为x轴上一动点，求四边形DENM周长的最小值。经典例题6（2023.山东一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y=−x（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP，试求EQ+PQ+AP的最小值。

经典例题7（2023.天津中考）已知抛物线y=ax（1）若b=-2,c=-3,①求顶点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标。（2）若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴正半轴上的动点，F是y轴负半轴上的动点，当PF＋FE＋EN的最小值为5时，求点E，F的坐标。

·题型三：利用“胡不归”解决线段最值问题·基础模型原理问题：已知点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，点P在直线l上运动，如何确定点P，使得kAP＋BP（0＜k＜1）的值最小？此模型有两点要求：①、0<K<1、②K在确定方向的直线上。经典例题8如图，已知抛物线y=−x2−2x+3

经典例题9如图，已知抛物线y=x2−6x+8与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y=43x经典例题10如图，抛物线y=ax（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）F为抛物线上的一个动点，在抛物线的对称轴上取一点E，使得以A，C，E，F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位长度得到点M，P为抛物线对

称轴上的一个动点，求PF+3·题型四：利用“阿氏圆”解决线段最值问题·基础模型原理已知☉0的半径为r，点A、B都在☉0外，P为☉0上的动点，已知r＝k·OB。连接PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？经典例题11如图，已知抛物线y=x2交于点C，点D的坐标为（-3,0），将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD＇，旋转角为α(0∘<a<9经典例题12如图，已知抛物线y=−x（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作☉B，点E为☉B上的动点，连接AE，DE，求DE+3（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为

半径作☉H，点Q是☉H上一动点，连接OQ，AQ，求的最小值。（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE┴x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的☉O上的动点，连接CD，DP，PE，求pD−12·题型五：利用“点圆、线圆”解决线段最值问题基础模型原理-“点圆”最值如图，已知平面内一定点D和☉O上一动点E，设点O与点D之间的距离为d，☉O的半径为r，D1在圆内，D2在圆上，D3在圆外，求DE的最值。D1E的最大值为d＋r，DD2E的最大值为2d（2r），DD3E的最大值为d+r,D·基础模型原理---“线圆”最值如图，已知☉O及直线l，设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，点Q为☉O上一点。l1与圆相交，l2与圆相切，点Q到直线l1距离的最大值为d＋r，点Q到直线l1距离的最小值为0；点Q到直线l2距离的最大值为2d（2r），点Q到直线l点Q到直线l3距离的最大值为d＋r，点Q到直线l3经典例题13如图，抛物线y=ax

经典例题14如图，抛物线y=x经典例题15如图，抛物线y=−x（1）若以点C为圆心，1为半径的圆上有一动点P，连接BP，点Q为线段BP上一点，且BQ=15BP

（2）若点D为抛物线上一点且横坐标为-3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，求DE+EF的最小值。参考答案与详细解析·题型一：基础线段的长及其最值问题求水平线段或竖直线段的最值：方法步骤：1、设出动点的坐标；2、表示出水平或竖直线段的长；3、利用二次函数的性质求解。求斜线段的最值：方法步骤：①、设出点坐标，表示出线段长；②、通过作y轴或x轴平行线构造三角形与已知三角形相似或构造特殊三角形，将斜线段转化为竖直线段；

④、利用二次函数的性质求解。求斜线段比值的最值：方法步骤：①、设出点坐标，表示出线段长；②、找出含有线段比值的两个相似三角形，利用相似三角形的性质将线段比值转化到可以表示出来的线段上；①、利用二次函数的性质求解。经典例题1（2023.重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1（1）求该抛物线的解析式；（2）P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作PD┴AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标。解：（1）将点B（3,0），C（0，-3）分别代入y=14x得{14×∴该抛物线的表达式为y=14x2+（2）∵抛物线y=14解得x∴A(-4,0)又∵C(0,-3),∴直线AC的表达式为y=-34x如图，过点P作PE┴x；轴于点E，交AC于点Q，设P(t,14∴PQ=−∴∠OAC=∠QPD.∵OA=4,OC=3,∴AC=5,∴cos∴PD=∴当t=-2时，PD取得最大值4此时，14t2

经典例题2（2023.济南模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，M为直线AC上方抛物线上的任意一点，过点M作y轴的平行线交AC于点N，过点M作x轴的平行线交AC于点Q，求ΔMNQ周长的最大值。解：（1）把A（-4,0）和B（1,0）的坐标代入y=ax2解得{a=−12b=−32,（2）由y=−12x2设直线AC的解析式为y=kx+2(k≠0)，把A（-4,0）的坐标代入得-4k＋2＝0，解得k=∴直线AC的解析式为y=设M(x,−12x2∴MN=−∵MQ//x轴，MN//y轴，∴∠MQN=∠CAO,∠∴ΔQMNΔAOC,∴∵OA=4,OC=2,∴∴MQ=2MN,QN=∵−3+5又因该抛物线对称轴为直线x=-2且-4<x<0,∴当x=-2时，ΔMNQ的周长取最大值，且最大值为6+2经典例题3（2023.四川中考）如图，抛物线y=ax（1）求抛物线的解析式；（2）若D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC的上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标。解：（1）：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-4,0），B（2,0），与y轴交于点C∴16a−4b+c=04a+2b+c=0∴抛物线的解析式为y=（2）过点D作DH┴AB于点H，交直线AC于点G，过点D作DE┴AC于点E，如图：设直线AC的解析式为y=kx+t,则{−4k+t=0t=2,,解得{k=12∴DG=−∵DE⊥AC,DH⊥AB,∴∵∠DGE=∠AGH,∴∠EDG=∠CAO.∴cos⁡∠EDG=cos⁡∠CAO=OAAC此时y即点D的坐标为（-2,2）。

经典例题4（2023.四川中考）已知抛物线的解析式是y=−x如图1，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标分别是x1，x2(（3）如图2，当抛物线经过点C（O，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧。在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N，求PNAN图1图2解；（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，．∴F（5,3）．∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2,0）。设射线MF的解析式为y=kx+b,则有{2k+b=05k+b=0∴射线MF的解析式为y=x-2(x≥2)。（2）如图1，设折线EMF与抛物线的两个交点分别为P,Q,图1∵抛物线的对称轴x=−∴点M在抛物线的对称轴上。∵直线EM的解析式为y=-x+2,直线MF的解析式为y=x-2,∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴点P,Q关于直线x=2对称，∴（3）如图2，当点P在直线EM的上方（3）时，过点P作PT//AB交直线ME于点T.∵C(0,5),∴抛物线的解析式为y=∴A(-1,0),B(5,0).设(t,−t2+4t+5)∵PT//AM,AM=3,∴PTAN=PT−1AM3[t−(t2−4t−3)]=−13(t−当点P在直线EM的下方时，PT<AM,此时的最大值小于1。综上所述，PTAN的最大值为·题型二：利用“将军饮马”解决线段最值问题

202202·基础模型原理1（两定一动之“点-点和的最值）（“河”和异侧）如图所示，A、B为定点，P为直线上一动点，试求PA＋PB的最小值。基础模型原理1（两定一动之“点-点和的最值）（“河”和同侧）如图，定点A，B分布在定直线的同侧，在直线上找一点P，使得PA＋PB的值最小？基础模型原理2（两定一动之“点-点差的最值）（差同侧）如图所示，A，B为定点，在直线上找一点P，使得｜PA-PB｜最大。

基础模型原理2（两定一动之“点-点差的最值）（差同侧）如图所示，A，B为定点，在直线上找一点P，使得｜PA-PB｜最小。·基础模型原理3（一定两动之“点-点最值）如图，P为定点，M、N分别为OA和OB上的动点，求ΔPMN的周长最小值。基础模型原理4（两定两动之“点-点最值）如图，P、Q为两定点，M、N分别为0A、OB上的动点，求四边形PQMN的最小值。

·基础模型原理5（一定两动之“点-线最值）如图所示，P为定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求PM+M的最小值。·基础模型原理6（将军过桥）（两定点一定长-河异侧）已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？基础模型原理7（将军遛马）（两定点一定长-河同侧）如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？河

在ΔABC中，已知点D、E、F分别为AB、AC、BC上的动点，求ΔDEF周长的最小值。经典例题5如图，抛物线y=−x（1）如图①，若点P是y轴上一动点，当BP＋PE取得最小值时，求点P的坐标。（2）如图②，连接CD，点Q是x轴上一动点，连接CQ，DQ，求ΔCDQ周长的最小值。

（3）如图③，若点M为y轴上一动点，点N为x轴上一动点，求四边形DENM周长的最小值。解：（1）令x=0，则y=2,∴C(0,2).令y=0，则−x2+4x+2=0，解得x=2+6或x=2−6,∴A2−6,0,B2+6,0.=kx+b,则{∴y=6−615x+6+4615,∴P(0,6+4615).①②（3）如图③，作点D关于y轴的对称点D＇，作点E关于x轴的对称点E＇，连接D＇E＇交y轴于点M，交x轴于点N，连接DM，EN，则DM=D'M,NE=NE',③经典例题6（2023.山东一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y=−x（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP，试求EQ+PQ+AP的最小值。解：∵四边形ABCD为正方形，C（4，-5），∴AD=AB=BC=5,B(4,0),∴0A=1,∴A(-1,0)。将A(-1,0),C(4,-5)代入y=−x2+bx+c,得{−1−b+c=0,−16+4b+c=−(2)∵y=−∴抛物线的对称轴为x=1.如图，连接OC，交抛物线的对称轴于点Q∵PQ⊥y铀，∴AO//PQ∵AO=PQ=1,∴四边形AOQP是平行四边形，∴AP=OQ,∴EQ+PQ+AP=EQ+1+OQ,若使EQ+PQ+AP的值最小，则需EQ+OQ的值最小.由题意，得点E.C关于对称轴x=1对称，∴EQ=CQ,∴EQ+OQ=CQ+OQ=OC此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC的长.∵C(4,-5),.∴OC=4经典例题7（2023.天津中考）已知抛物线y=ax（1）若b=-2,c=-3,①求顶点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标。（2）若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴正半轴上的动点，F是y轴负半轴上的动点，当PF＋FE＋EN的最小值为5时，求点E，F的坐标。解：（1）①若b=-2,c=-3,则抛物线y=a∵抛物线y=ax∴a+2-3=0,解得a=1,∴抛物线为y=∴顶点P的坐标为（1，-4）；②当y=0x解得x1=-1,x2=3,∴B(3,0),设直线BP的解析式为y=kx+n,∴{3k+n=0k+n=∴直线BP的解析式为y=2x-6,∵直线x＝m（m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，设点M(m,m2−2m−∴当m=2时，MG取得最大值1，此时，点M（2，-3），则G(2,-2)-（││）∵抛物线y=azA(-1,0),∴a-b+c=0,又3b=2c,b=-2a,c=-3a(a>0),∴抛物钱的解析式为y=ax2∴顶点P的坐标为（1，-4a），∵直线x=2与抛物线相交于点N，∴点N的坐标为(2,-3a),作点P关于y轴的对称点P＇，作点N关于x轴的对称点N＇，得点p＇的坐标为（-1，-4a），点N＇的坐标为（2,3a），当满足条件的点E，F落在直线P＇N＇上时，PP+FE+EN取得最小值，此时，PF+PE+EN=延长P＇p与直线x＝2相交于点H，则P在RtΔP＇HN＇中，p'H=3,HN'=3a−(−4a)=7a.∴P'∴点P＇的坐标为(−1,∴直线P'N∴点E（(57，0），

·题型三：利用“胡不归”解决线段最值问题·基础模型原理问题：已知点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，点P在直线l上运动，如何确定点P，使得kAP＋BP（0＜k＜1）的值最小？此模型有两点要求：①、0<K<1、②K在确定方向的直线上。经典例题8如图，已知抛物线y=−x2−2x+3解：如解图，连接BC，过点R作RH⊥BC于点H，过点A作AC⊥BC于点G。∵抛物线的解析式为y=∴A(1,0),C(-3,0),B(0,3),∴OB=OC=3,∵∠COB=9∴BC=32,在RtΔBHR中，RH=2∴A∴当H，R，A三点共线且AH⊥BC时。AR+∵∴AG=∴AR+22

经典例题9如图，已知抛物线y=x2−6x+8与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y=43x解：∵抛物线y=x点（点A在点B的左侧），∴令y=0,解得x=2或x=4,∴A(2,0).∵直线y=4∴当x=3时，y=y=43如解图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥CE于点F，过点A作AG⊥CE于点G，交直线y=43∴CE=3,0E=4,0C=5,∴sin∠ECO=OEOC=FDCD=4即为AG的长，∵四边形OAGE为矩形，∴AG=OE=4,∴AD+经典例题10如图，抛物线y=ax（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）F为抛物线上的一个动点，在抛物线的对称轴上取一点E，使得以A，C，E，F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位长度得到点M，P为抛物线对称轴上的一个动点，求PF+3解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0),B(-1,0)，C（0,3∴{解得{∴抛物线的解析式为y=−x2∴顶点D的坐标为（1,4）。（2）设直线AC的解析为y=kx+t。把A（3,0），C（0,3）代入，得3k+t=0解得{∴直线AC的解析式为y=-x+3.如图，过点F作FG⊥DE于点G。∵以A，C，E，F为顶点，AC为边的四边形为平行四边形，∴AC=EF,AC//EF.∵OA//FG,AC/EF,∴∠OAC=∠GFE,又∠AOC=∴ΔOACΔGFE(AAS),∴OA=FG=3。设F(m,−m3+2m+3)∴FG=|m-1|=3,∴m=-2或m=4,当m=-2时−当m=4时,−综上所述，点F的坐标为(-2,-5)或(4,-5).（3）由题意，得M(1,-1),F(4,-5)与F'(−2,−5)关于对称轴x=1对称.如图，连接FF’交对称轴于点H，连接F＇M，FM，过点F＇作F∴MF=5.在RtΔMHF中,,sin⁡∴PF+35PM=P∵S∴F'N=·题型四：利用“阿氏圆”解决线段最值问题·基础模型原理已知☉0的半径为r，点A、B都在☉0外，P为☉0上的动点，已知r＝k·OB。连接PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？经典例题11如图，已知抛物线y=x2+4x−5与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（-3,0），将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD＇，旋转角为α(解：∵抛物线的解析式为y=x2∵点D的坐标为(-3,0),∴OD=O为半径的圆在第三象限内的一段圆弧，如解图，在y轴上取一点M(0−D＇M，AM，则O∴OD∴D'M−3CD'5当A，D＇，M三点共线时，AD'+3在RtΔAOM中，AM=∴当D为AM与圆弧的交点时，AD＇+35经典例题12如图，已知抛物线y=−x（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作☉B，点E为☉B上的动点，连接AE，DE，求DE+3（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作☉H，点Q是☉H上一动点，连接OQ，AQ，求的最小值。

（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE┴x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的☉O上的动点，连接CD，DP，PE，求pD−12解：∵抛物线y=−∴A(3,0),B(-1,0),∴AB=4,∵点D为抛物线的顶点，∴D（1,4），抛物线对称轴为直线x=1如解图①，连接BE，在x轴上截取BF=94设抛物线对称轴与x轴交于点M，连接EF,DF,:∵BEBA=3∴DE+3DE+∴在RtΔDMF中，DP=DM2+M（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝1∵A(3,0),C(0,3),∴直线AC的解析式为y=-x+3.∵点H为直线AC与抛物线对称轴的交点∴点H的坐标为（1,2）．如解图，连接OH交☉H于点D，在OH上截取HN=物线对称轴与x轴交于点M，连接AN，NO，HQ。∵H(1,2),∴0M=1,HM=2∴OH=OM2又∵∠NHQ=∠QHO,∴ΔQHNΔQHO。∴QNOQ=HNHQ=55∵NE⊥x轴，∴ΔONEΔOHM,∴ONOH=NBHM=∴0Q＋V5AQ的最小值为37。（3）解：∵点D是抛物线上的点，且横坐标为2，∴D（2,3）∵C(0,3),∴CD⊥y轴∵339DE⊥x轴，∴四边形OCDE为矩形，∴0E=CD=2,339如图，在在OA上截取OH=1易得直线DH的解析式为y=2x-1.∴P(0,-1)。∴OHOP=12∴.ΔPOH∽ΔEOP∴PHEP∴当点P在DH的延长线上时，PD−∵H1∴PD−1·题型五：利用“点圆、线圆”解决线段最值问题基础模型原理-“点圆”最值如图，已知平面内一定点D和☉O上一动点E，设点O与点D之间的距离为