中考数学几何辅助线-中线倍长 （含答案）

PAGE1页（30页）中考几何辅助线（倍长）【案例赏析】阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．思路一如图思路一如图SAS可证得△ADC≌△GDBAE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图思路二如图AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：①思路一的辅助线的作法是： ；②思路二的辅助线的作法是： ．（．ABCBCEEF∥ADABG，CAF．求证：BG＝CF．Rt△ABC中，∠BAC＝90DBCE、FAB、AC上的ED⊥FDBE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断此三角形的形状．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：1，△ABCAB＝5，AC＝3BCAD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：ADEDE＝ADBE（或将△ACDD180°得到△DBC2DE＜E＜1＜AD＜4．问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90BECFEF问题拓展：ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120D为顶点作∠EDF60AB、ACE、FEFBE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．已知：△ABC和△ADEBA＝BC，DA＝DE，连ECECMBMDM．如图如果点DE分别在边ACAB上那么BMDM的数量关系与位置关系是 ；1中的△ADEA2中的结论是否仍然成立，并说明理由．【专项突破】【问题情境】如图①，在△ABCAB＝10，AC＝6BCAD的取值范围．【问题解决】延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到D，把B、C、2D集中在△E中，利用三角形三的关系即可判断出中线AD的取值范围是 ．中，∠BAC＝90°，ADBCAB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．③，△ABC中，∠BAC＝90°，DBC的中点，DM⊥DN，DMABM，DNACNMN．当BM＝4，MN＝5，AC＝6AD的长．7（1如图在△ABC中若求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到D，把B，C，2D集中在△E中．利用三角形三的关系即可判断中线AD的取值范围是 ；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．8．[问题提出]如图①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．[问题解决]解决此问题可以用如下方法延长AD到点E使再连结或将△ACD绕着点D逆针转180得△D把C2D集在△E中利三形三边的关系即可判断，由此得出中线AD的取值范围是 [应用]如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的长[拓展]如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF，已知BE＝4，CF＝5，则EF的长为 ABCBCADBEAC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．ABCDGDFEG，CG，EC．如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；1中的△BEFB2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；将图1中F绕点B顺针转0＜＜9°若E＝1B当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．思路一如图思路一如图SAS可证得△ADC≌△GDBAE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图思路二如图AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG ；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G ．（．【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．2作GC交D的延长线于GDC≌△GD（SC＝G出∠G＝∠BFGBG＝BF，即可得出结论．1）①DGDG＝D，连接G，如图①∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中， ，△DC△GD（SS，∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，PAGE20页（30页）∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中， ，△DC△GD（S，∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）BG∥ACADG，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中， ，△DC△GD（S，∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．ABCBCEEF∥ADABG，CAF．求证：BG＝CF．【分析】CM∥ABFEMBG＝CFBG＝CM，CF＝CM即可．【解答】证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵EBC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．Rt△ABC中，∠BAC＝90DBCE、FAB、AC上的ED⊥FDBE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断此三角形的形状．BG∥FCFDGEG，易证∠FCD＝∠DBG，∠CFD＝∠G，即可证明△DFC≌△BDGFC＝BG，DG＝DF，∠DBG＝∠ACBEF＝EG和∠ABG＝90°，即可解题．【解答】解：作BG∥FC，与FD延长线交于G，连接EG，∵BG∥FC，∴∠FCD＝∠DBG，∠CFD＝∠DGB，在△DFC和△BDG中，，△DC△DG（S）∴FC＝BG，DG＝DF，∠DBG＝∠ACB，∵ED⊥FD，∴EF＝EG，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABG＝∠ABC+∠DBG＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴△EBG为直角三角形，∴BE、EF、FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形．是解题的关键．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：1，△ABCAB＝5，AC＝3BCAD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：ADEDE＝ADBE（或将△ACDD180°得到△DBC2DE＜E＜1＜AD＜4．问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；问题拓展：ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120D为顶点作∠EDF60AB、ACE、FEFBE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．FD②由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，再利用勾股定理得出答案；（3）利用全等三角形的判定与性质得出△DG≌△DF（SS，进而得出F＝G＝BE+BGEF＝BE+CF，进而得出答案．（2）证明：①1FDGDG＝DFBG、EG．CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．解：②若∠A＝90°，则∠EBC+∠FCB＝90°，由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2；（3）解：如答题图2，将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．∵∠C+∠ABD＝180°，∠4＝∠C，∴∠4+∠ABD＝180°，∴点E、B、G在同一直线上．∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠1+∠2＝60°，故∠2+∠3＝60°，即∠EDG＝60°∴∠EDF＝∠EDG＝60°，在△DEG和△DEF中，△DG△DF（SS，∴EF＝EG＝BE+BG，即EF＝BE+CF．已知：△ABC和△ADEBA＝BC，DA＝DE，连ECECMBMDM．如图如果点DE分别在边ACAB上那么BMDM的数量关系与位置关系是BM＝DM且BM⊥DM ；1中的△ADEA2中的结论是否仍然成立，并说明理由．BM＝DM＝用∠＝2，∠3∠4，∠MD2（1∠3（2）根据旋转的性质首先得出∠8＝∠BADSAS证明△ABD≌△CBF，进而得BD＝BF，∠ABD＝∠CBF，∠DBF＝∠ABC＝90BMDM的位置关系及数量关系．1）M是CM＝CDMC直三形边的线于边一，∴DM＝BM．∵M是EC的中点，∴MC＝EC，∴BM＝MC＝DM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BME＝∠1+∠2，∠EMD＝∠3+∠4，∠MD2（1∠3，∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM且BM⊥DM；故答案为：BM＝DM且BM⊥DM．（2）成立．DMFMF＝MDCF、BF、BD．在△EMD和△CMF中，∵△MD△MFSS，∴ED＝CF，∠DEM＝∠1．∵AB＝BC，AD＝DE，且∠ADE＝∠ABC＝90°，∴∠2＝∠3＝45°，∠4＝∠5＝45°．∴∠BAD＝∠2+∠4+∠6＝90°+∠6．∵∠8＝360°﹣∠5﹣∠7﹣∠1，∠7＝180°﹣∠6﹣∠9，∠＝36°45（18°∠6∠﹣（3∠9，＝360°﹣45°﹣180°+∠6+∠9﹣45°﹣∠9＝90°+∠6．∴∠8＝∠BAD．在△ABD和△CBF中，∵ ，△D△FSS，∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF．∴∠DBF＝∠ABC＝90°．∵MF＝MD，∴BM＝DM且BM⊥DM．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解题关键．【问题情境】如图①，在△ABCAB＝10，AC＝6BCAD的取值范围．ADEDE＝ADBE（或将△ACDD逆时针旋转180°得到△D，把B、C、2D集中在△E中，利用三角形三边的关AD的取值范围是2＜AD＜8．【反思感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑构造以该中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同个三角形中，从而解决问题．中，∠BAC＝90°，ADBCAB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．③，△ABC中，∠BAC＝90°，DBC的中点，DM⊥DN，DMABM，DNACNMN．当BM＝4，MN＝5，AC＝6AD的长．（1）ADDE＝ADSAS证明△ACD≌△EBDBE＝AC＝8，在△ABEAEAD的取值范围；结论：AB2+AC2＝4AD2ADEDE＝ADBE，如图②所示，只要证明∠ABE＝90°，理由勾股定理即可证明；NDDN＝DEBEEMAMDN是矩形即可解决问题；1延长D至ED＝D，连接E①所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，△DE△DASS，∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；PAGE27页（30页）故答案为：2＜AD＜8；结论：AB2+AC2＝4AD2．理由：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图②所示，由（1）可知：△BDE≌△CDA，∴BA＝AC，∠E＝∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠E+∠BAE＝∠BAE+∠CAD＝∠BAC＝90°，∴∠ABE＝90°，∴AB2+BE2＝AE2，∴AB2+AC2＝4AD2．NDEDN＝DEBE、EM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDN，DE＝DN，∴△BDE≌△CDN，∴BE＝CM．∠EBD＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABD+∠DBE＝90°，∵MD⊥EN，DE＝DN，∴ME＝MN＝5，在Rt△BEM中，BE＝＝3，∴CN＝BE＝3，∵AC＝6，∴AN＝NC，∵∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD＝DC＝BD，∴DN⊥AC，在Rt△AMN中，AM＝＝4，∴AM＝BM，∵DA＝DB，∴DM⊥AB，∴∠AMD＝∠AND＝∠MAN＝90°，∴四边形AMDN是矩形，∴AD＝MN＝5．【点评】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴题．7（1ABCBCADADEDE＝ADBE（或将△ACDD逆时针旋转180°得到△D，把B，C，2D集中在△E中．利用三角形三边的关系AD的取值范围是2＜AD＜8；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．（1）ADDE＝ADSAS证明△ACD≌△EBDBE＝AC＝6，在△ABEAEAD的取值范围；（2）FDMDM＝DFBMEM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CFEM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系BE+BM＞EM即可得出结论．1如图1D至ED＝D，连接E，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵ ，△DE△DASS，∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为：2＜AD＜8；（2）如图2所示：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，（得：△MD≌△DSS，∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．【点评】本题是三角形的综合问题，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．8．[问题提出]如图①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．[问题解决]ADE或将△ACD绕着点D180DC2D集中在△EAD的取值范围是1＜AD＜5[应用]如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的长[拓展]如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF，已知BE＝4，CF＝5，则EF的长为 证明△DAC≌△DEBAE的取值范围，进而得结论；ADAD＝DEDAC≌△DEBAC＝EB，再证明∠AEB＝90°，由勾股定理求得BD，进而得BC；FDDG＝FDCDF≌△BDGBG＝CF，EBG＝901在△DC和△DB，△DC△DBSS，∴AC＝EB＝4，∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝6，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；ADEAD＝DEBE，如图②，在△DAC和△DEB中，，△DC△DBSS，∴AC＝EB＝3，∵AE＝2AD＝4，AB＝5，∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，∴BD＝，∴BC＝2BD＝2；FDGDG＝FDBG，EG，如图③，在△BDG和△CDF中，，△DG△DF（SS，∴BG＝CF＝5，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，∵DE⊥DF，∴EG＝EF，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠DBG＝90°，∴EG＝，，故答案为：．【点评】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴题．ABCBCADBEAC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．【分析】延长D至G，使DG＝D，连接G，可证明△DG≌△DA（SS，则G＝AC，∠CAD＝∠G，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE．【解答】ADGDG＝ADBG，在△BDG和△CDA中，∵ ，Ⅳ△DG△DA（SS，∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．ABCDDF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．如图1，若点E在CB边的延长线上，直接