热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数（10题型+高分技法+限时提升练）（解析版）-2025年高考数学【热点重点难点】专练（新高考）

热点2-3指数函数、对数函数与幂函数三年考情分析2025考向预测近三年的高考中，指数函数、对数函数与幂函数以选择题和填空题为主，偶尔也会在解答题中渗透考查，每题分值一般为5分左右．重点考查三种函数的图象与性质、指数与对数互化、指对幂函数值的比较大小等问题，难度中等．预计2025年会重点考查指数函数的性质应用、对数函数的运算与图象应用，以及幂函数的图象和性质，题型主要是选择题或填空题，难度多为中档，且可能与新定义、初等数论等知识结合考查．题型1指数与对数的化简求值1、指数幂运算的一般原则（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．1．（24-25高三上·四川绵阳·月考）计算：．【答案】【解析】.2．（24-25高三上·广东·月考）的值为．【答案】【解析】原式，3．（23-24高三上·陕西咸阳·开学考试）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)3【解析】（1）由题意可得：.（2）由题意可得：.4．（24-25高三上·河南周口·期中）计算：(1)计算．(2)若，求．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题意可知：.（2）因为，所以．题型2指数函数的图象与性质指数函数的图象需要注意以下几个特征：（1）指数函数的图象所过的关键点为，，；（2）函数图象与坐标轴的交点位置；（3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性．1．（24-25高三上·四川宜宾·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，是偶函数，不满足条件．对于B，，函数是奇函数，由于均在单调递增，故在单调递增，符合条件，对于C,，则是奇函数，在单调递增,且为正，函数在单调递减，不满足条件．对于D，，函数是奇函数，当时，，，，此时，不是增函数，不满足条件．故选：B．2．（23-24高三下·江西新余·月考）函数为偶函数，则的值为：（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，由函数为偶函数，则，即，解得：.故选：D.3．（24-25高三上·内蒙古·月考）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，故A、B、C错误；当时，若，则，且在上单调递增，D选项不符合；当时，在上单调递减，若，则，D选项符合；故函数的图象可能是D.故选：D.4．（24-25高三上·福建宁德·月考）函数（且）的图象恒过的定点为.【答案】【解析】令，解得，且，所以函数的图象恒过定点，故答案为：题型3对数函数的图象与性质对数函数图象的识别及应用方法（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．（24-25高三上·广东惠州·月考）已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则.【答案】【解析】当时，，所以定点，设，则，解得：，则，所以.2．（24-25高三上·安徽·期中）若是奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，已知是奇函数，当时，，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，此时，函数一定不是奇函数，故，则有，且，变形可得，所以的根为，解可得，故，又因为为奇函数，则有，即，即，所以，即，故，所以.故选：C.3．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数的图象关于直线x=2对称，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】依题意，，函数是偶函数，其图象关于直线对称，函数的图象可视为函数的图象向左（）或向右（）平移个单位而得，因此函数的图象对称轴为，所以，即.故选：D.4．（24-25高三上·山东德州·期末）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】易知函数定义域是，又，故是奇函数，图象关于原点对称，排除CD，当时，，排除B，故选：A．题型4幂函数的图象与性质对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．1．（24-25高三上·山东济南·月考）幂函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】幂函数的定义域为，故D选项错误；因为,所以fx为偶函数，故A,C选项错误；故选：B.2．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；对于B，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且，符合题意，正确；对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，错误.故选：C3．（24-25高三上·湖北·月考）已知幂函数在0,+∞上单调递减，则的值为．【答案】5【解析】由题可知，，解得或，当时，幂函数在0,+∞上单调递增，不合题意，当时，幂函数在0,+∞上单调递减，符合题意，故答案为：5．4．（24-25高三上·重庆·月考）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.(1)求函数的表达式；(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)；(2)．【解析】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数，可得，解得，由于,故，1，2，当和时，，此时为奇函数，符合要求，当时，，此时为偶函数，不符合要求，；（2）不等式，即，又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，所以，则，所以实数的取值范围为．题型5指数型复合函数的性质指数型复合函数的值域求法（1）形如（，且）的函数求值域用换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．（2）形如（，且）的函数求值域用换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，故，解得.故选：D.2．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知函数为偶函数.．(1)求a的值及函数的值域.(2)若命题“”为假命题，求实数m的取值范围.【答案】(1)，；(2).【解析】（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得恒成立，则，即恒成立，整理得，即恒成立，而不恒为0，所以；，当且仅当时取等号，所以函数的值域为．（2）由（1）知，，，则，令，，由命题“”为假命题，得命题“”为真命题，因此，函数，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，，因此，所以实数m的取值范围为．3．（24-25高三上·云南丽江·月考）设，已知函数为奇函数.(1)求实数的值；(2)若，判断并证明函数的单调性；(3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围.【答案】(1)或1；(2)在上单调递增，证明见解析；(3)【解析】（1）由函数为奇函数，有，有，有，有，有，得.①当时，，定义域为，，符合题意；②当时，，定义域为，，符合题意.由上知或1；（2）当时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增.设上任意两个实数，，且.，而，，，∴，即得证，则在上单调递增；（3）由知，由知，所以，由（2）知在上单调递增，结合题意有得，即m，n是的两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，有可得，故实数的取值范围为.4．（23-24高三上·甘肃兰州·月考）已知函数且.(1)若，求函数的最小值；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1；(2)【解析】（1）若，则，令，故原式化为，若时，可知在上单调递增，可知在上单调递增，可知；若时，可知在上单调递减，可知在上单调递减，可知；综上所述：，可知当时，取到最小值为1.（2）因为，设，由题意得即恒成立，即恒成立，且，则，解得，所以实数的取值范围为.题型6对数型复合函数的性质1、解决对数型复合函数单调性问题的思路（1）型：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反；（2）型：一般用换元法，即令，则只需要研究及的单调性即可．2、对数型复合函数的值域求法（1）形如（，且）的函数求值域用换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域．（2）形如（，且）的函数的值域用换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域．1．（24-25高三上·甘肃庆阳·模拟预测）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于，有，解得，对于，其图象开口向下，对称轴为，当时，，当时，，所以当时，，即，又在其定义域内单调递增，所以，则，则的值域为.故选：D.2．（24-25高三上·山东德州·期末）已知函数．(1)当时，求的定义域及单调递增区间；(2)若关于的方程在上有解，求的最小值．【答案】(1)定义域为，单调递增区间为；(2)【解析】（1）当时，，令，即，解得或，所以函数的定义域为；因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增；即的单调递增区间为；（2）因为关于的方程在0,2上有解，所以关于的方程在0,2上有解且恒成立，即在0,2上有解，因为，当且仅当，即时等号成立，又当时，注意到在0,2上恒成立，所以的最小值为．3．（24-25高三上·四川德阳·月考）已知函数的定义域为，(1)若，求函数的值域；(2)若，且，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）当时，由解得，令，当时取最大值，所以，从而的值域为.（2）由于，且，所以方程的两根分别为，且，，又，即，将，代入整理得，从而，所以即实数的取值范围为.4．（24-25高三上·广东深圳·月考）函数．(1)当时，求该函数的值域；(2)若对于恒成立，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1），令，则有，因为，所以，因此，所以函数的值域为；（2）由（1）可知：令，因为，所以，，设函数，函数在上单调递增，所以函数在时单调递增，故，因此对于恒成立，只需，因此的取值范围为.题型7指对幂函数值比较大小1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．2、作差法、作商法：（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法．3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小．4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值．5、构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小．6、放缩法：（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；（2）指数和幂函数结合来放缩；（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系．1．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，且，所以.故选：D.2．（24-25高三上·贵州六盘水·月考）若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是上的增函数，所以，即，又因为是增函数，所以，又是上的增函数，所以，即，综上所述，a，b，c的大小关系为.故选：A.3．（24-25高三上·山东泰安·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，且，，，∴．又∵，∴．∴．故选：D.4．（24-25高三上·江西·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因，故，即；又，故，即.故有即，故选：A.题型8指数与对数不等式问题1、解指数不等式：（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．（4）形如（或），通过换元令（注意确定的范围），转化为的形式进行求解．2、解对数不等式（1）形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论；（2）形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式：可利用图象求解．1．（24-25高三上·重庆·月考）已知，若，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为函数的定义域为R，且函数、在R上均为增函数，所以，函数在R上为增函数，由可得，即，解得或，因此，实数的取值范围是.故答案为：.2．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题可得或，又为增函数，所以解得或，故解集为.故选：D.3．（24-25高三上·湖南·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由对数的定义可得或，又因为，所以，因为，所以可得，又因为，可得，即，解得.故选：C.4．（24-25高三上·贵州·月考）已知函数，则关于的不等式解集为(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，由可得或，即函数的定义域为，因为，所以，函数为偶函数，任取、，且，则，，，令，则，即，所以，函数在上为增函数，又因为函数在0,+∞上为增函数，所以，函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，由可得，可得，解得或，因此，原不等式的解集为.故选：C.题型9对数函数与实际应用指数函数与对数函数实际应用问题的解题思路（1）理解题意：读懂题目，明确题目要求解决的问题，通常涉及增长率、衰减率等实际问题．（2）建立模型：根据题目描述，建立适当的数学模型．（2）运用性质：在建立模型后，运用指数函数和对数函数的性质来简化问题．（3）求解方程：在模型中，通常需要解指数方程或对数方程。这时，要注意方程的解法，尤其是涉及到方程的变换和化简．（4）检验结果：需要检验求得的解是否符合题目的实际情况．1．（24-25高三上·河南许昌·期中）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，即，即.故选：A.2．（24-25高三上·北京·月考）德国科学家WilhelmPeukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由题意：，所以；，所以.因为指数函数在上单调递减，且，所以.又指数函数在上单调递增，且，所以，所以，即.故选：D3．（24-25高三上·江苏泰州·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（

）倍．（精确到1）（参考数据：，，，）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】D【解析】由题意得，两式相减得，而，故，故选：D4．（24-25高三上·山东德州·月考）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，将信噪比从2000提升至10000，则最大信息传递速率从增加至，所以.故选：B.题型10反函数及其应用反函数的常用性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；（2）若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立；（3）互为反函数的两个函数的单调性相同；（4）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；（5）单调函数必有反函数．1．（24-25高三上·广东·月考）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递减区间是．【答案】【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以，所以，因为为增函数，所以的递减区间为的递减区间，所以，所以函数的递减区间是.2．（24-25高三上·广东梅州·开学考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的图象与y=fx的图象关于直线故与y=fx互为反函数，故所以.故选：C3．（24-25高三上·安徽六安·月考）（多选）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直，且交点为知，，因此，所以有：，，正确的ABD，错误的是C，故选：ABD．4．（23-24高三下·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以令，这3个函数图象情况如下图所示：设交于点，交于点，由于的图象关于直线对称，而的交点为，所以，注意到函数的对称轴为直线，即，且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，从而.故选：B.（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A：在上单调递增可得：在上单调递减；对于B：在上单调递减；对于C：在上单调递减；对于D：当时，，在区间上单调递增.故选：D2．（24-25高三上·湖南岳阳·期中）已知是偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，设，则且为偶函数，所以为偶函数，所以，，且，即，化简可得，解得，经检验，符合题意.故选：C.3．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（

）A．13 B． C． D．8【答案】C【解析】当时，，即因为在直线上，所以当且仅当时，取等号，即的最小值为.故选：C4．（24-25高三上·广东梅州·中）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】显然在上单调递减，要想在R上单调递减，则，解得.故选：D5．（24-25高三上·重庆渝中·月考）19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【解析】易知，由可得；所以，解得.故选：B6．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则，，则，所以.故选：B.7．（23-24高三下·广东佛山·一模）“，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，由可得，由可得，所以由“，”推得出“”，故充分性成立；由“”推不出“，”，如，，满足，但是，故必要性不成立；所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A8．（24-25高三上·河南·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，令，则“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，的对称轴为，若在上单调递增，则，解得，若在上单调递减，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：D.二、多选题9．（24-25高三上·山东菏泽·月考）下列命题正确的是（

）A．若，，则B．函数与表示同一个函数C．若，则D．若，则【答案】AB【解析】对于A项，，故A项正确；对于B项，函数定义域为，值域为，，定义域为，值域为，且二者对应法则相同，故表示同一个函数，故B项正确；对于C项，若，则，故C项错误；对于D项，因为，所以，所以，因为，所以，故D项错误.故选：AB.10．（24-25高三上·海南海口·月考）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是增函数【答案】ABD【解析】对于选项A：若m，n是奇数时，则，此时的定义域为R，且，所以幂函数是奇函数，故A正确；对于选项B：若m