数学八年级上册第12章 教案 新人教版

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

出学®©

【知识与技能】

(1)了解全等形及全等三角形的概念.

(2)理解全等三角形的性质.

【过程与方法】

在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直观.

【情感态度与价值观】

(1)让学生观察、发现生活中的全等三角形并体验在实际操作中获得全等三角形的喜悦.

(2)在运用全等三角形的性质的过程中感受数学活动的乐趣.

逆浮包僚

全等三角形的概念及性质.

黑学砥电

掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速、正确地指出两个全等三

角形的对应元素.

出具电❸

多媒体课件、剪刀

房课的参

教师引入：一位哲学家曾经说过“世界上没有完全相同的两片叶子”，但是在我们的周

围，却有着好多形状、大小完全相同的图案.你能举出这样的例子吗？

学生口答，教师点评并引入本节新课.

通学一

探究1：全等形及全等三角形的相关概念

教师让学生完成以下活动：

1.动手做.

(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能够重合吗？

(2)把手中的直角三角尺按在纸上，画出三角形，并裁下来，把直角三角尺和纸三角形

叠放在一起，观察它们能够重合吗？

然后学生得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念：

能够完全重合的两个图形叫作全等形,能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.(教

师板书)

2.观察.

观察图12-1-1中AABC与AA'B'C重合的情况.

图12-1-1

师生共同总结对应顶点、对应边、对应角的概念：

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重

合的角叫作对应角.

然后教师指出：全等的符号“名”，读作“全等于”.教师强调：记两个三角形全等时，

通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，AABC与4DEF全等，记作△ABC^A

DEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点；AB和DE,BC和EF,AC和DF

是对应边；/A和ND,NB和NE,NC和NF是对应角.

接着教师出示例题：

例1如图12-1-2,己知AABN丝△ACM,ZB和/C是对应角，AB和AC是对应边.写出其

他的对应边及对应角.

师生共同分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将4ABN和aACM从复

杂的图形中分离出来.根据元素位置来找对应元素，再依据已知的对应元素找出其余的对应

元素.然后学生自主完成.

解：对应角为/BAN与ZCAM,ZANB与ZAMC.

对应边为AM与AN,BN与CM.

探究2：全等三角形的性质

教师让学生把AABC沿直线BC分别进行平移、翻折、绕定点旋转，然后观察图形的大

小、形状是否发生变化(如图12-1-3).

师生共同得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和

形状.

教师追问：那么在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？

学生先思考，再小组交流，得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等.(教师板书)

接着教师出示例题：

例2已知4DEF四△ABC,AB=AC,且AABC的周长为23cm,BC=4cm,求DE的长.

教师引导学生先画出图形，再进行分析，然后师生共同完成，教师板书：

解：因为AABC的周长为23cm,BC=4cm,AB=AC,

所以AB=AC=(23-4)+2=9.5(cm).

因为△DEFg/\ABC,/.DE=AB=9.5cm.

教师强调：运用全等三角形的定义和性质时，要注意规范书写格式.

遮堂。©

1.能够完全重合的两个图形叫作全等形.能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.

重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边,重合的角叫作对应角.全等三角形的对应边

相等，对应角相等.

2.找全等三角形对应元素的方法，注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等.

板书瞬阶

12.1全等三角形

探究2：全等三角形的性质.

探究1:全等形及全等三角形的相关概念.

投全等三角形的对应边相等，对应角

影能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全

相等.

区重合的两个三角形叫作全等三角形.

(例2的解冬过程)

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

【预习速填】

1.全等形的概念与全等三角形的定义、表示方法要掌握以下三点:一是两个图形是否全等只

与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在的位置无关,故平移、翻折、旋转后所得的图形

与原图形；二是记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，

字母顺序不能随意书写;三是全等三角形的对应元素包括对应顶点、对应边和对应角，可以根

据字母顺序、图形位置、图形大小或特征来确定对应边和对应角.

2.全等三角形的性质.要掌握以下两点:一是两个全等三角形中，对应边、对应角，对应中线、

对应高、对应角平分线、对应周长、对应面积等;二是应用全等三角形的性质时，关键

是要确定对应边或对应角.

【自我检测】

1.如图，若△ABCg^DEF,回答下列问题:

(1)若AABC的周长为17cm,BC=6cm,DE=5cm,则DF=cm:

(2)若NA=65°,NDFE=40°,则NB=____.

2.如图,△AFBgZiAEC,写出这两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角.

A

参考答案

【预习速填】

1.【答案】全等

2.【答案】相等

【自我检测】

1.【解析】(1)由全等三角形的性质可知，三角形DEF的周长为17cm,因此DF=6cm

(2)由全等可知，ZACB=ZDFE=40°,因此NB=180°-65°-40°=75°

【答案】6,75°

2.【解析】对应顶点：点A与点A,点B与点&点F与点E

对应边:AB与AC,BF与CE,AF与AE

对应角：ZA与ZA,ZAFB与ZAEC,ZB与ZC

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

课时1“边边边(SSS)”

遵学®®

【知识与技能】

(1)明确判定两个三角形全等至少需要三个条件.

(2)掌握“边边边(SSS)”条件的内容.

(3)能初步运用“边边边(SSS)”条件判定两个三角形全等.

(4)会作一个角等于已知角.

【过程与方法】

使学生经历探索三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程.【情感态

度与价值观】

探究三角形全等条件的判定过程，以观察思考，动手画图，合作交流等多种形式让学生

共同探讨，培养学生的合作精神.

包学霞

三角形全等的“边边边（SSS）”判定方法.

出©©

运用“边边边（SSS）”判定方法进行简单的证明.

邀具蝎

多媒体课件.

教师引入：如图12-2-1,教师在黑板上画两个三角形，请仔细观察，△ABC与aA'B'

C全等吗？你们是如何判断的？

图12-2-1

学生各抒己见，如动手用纸剪下一个三角形，将剪下的三角形叠到另一个三角形上，观

察这两个三角形是否完全重合;测量两个三角形的所有边与角，观察是否有三条边对应相等,

三个角对应相等.

探究1：三角形全等的条件

教师提出：（1）只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时,画出的三角形一定全等吗？

（2）如果给出两个条件呢?给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下画

出的三角形一定全等吗？

学生讨论有几种可能的情况，然后按照下面的条件画一画：

①三角形的一个内角是30°,一条边是3cm；

②三角形的两个内角分别是30°和50°；

③三角形的两条边长分别是4cm和6cm.

学生分组讨论、画图、探索、归纳，最后以组为单位展示结果.

结果展示：

(D只给定一条边时,如图12-2-2.

图12-2-2

只给定一个角时，如图12-2-3.

(2)给出的两个条件：一边一内角、两内角、两边，如图12-2-4.

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.

图12-2-4

教师提出：如果给出三个条件画三角形，你能说出有几种情况吗？(三条边，两条边和一

个角，一条边和两个角，三个角)在刚才的探索过程中，我们己经发现，已知三个内角不能

保证两个三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.(这节课只讨论第一种情况)

探究2：“边边边(SSS)”

教师让学生完成以下活动：

1.任意画一个aABC,再画一个AA'B'C,使得A'B'=AB,B'C=BC,A'Cz-AC.

教师先让学生思考三角形的画法，再师生共同总结:

图12-2-5

⑴画B'Cz=BC；

（2）分别以点B',C'为圆心，线段AB,AC的长为半径画弧，两弧相交于点A'；

（3）连接A'B',A'C',如图12-2-5.

2.把画出的4A'B'C'剪下来，放在AABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗？）

3.学生拿出直尺和圆规，按上面的要求作图并验证.

教师在此过程中巡视、指导.

进一步提出问题：作图的结果反映了什么规律？

学生在思考、实践的基础上，归纳出判定三角形全等的方法.教师板演：三边分别相等

的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

教师出示教材P36例1：

在如图12-2-6的三角形钢架中，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：△

ABD^AACD.

师生共同分析：要证明△ABDZ/\ACD,只需看这两个三角形的三条边是否分别相等.注

意:题目中的隐含条件是AD是公共边（AD既是4ABD的边又是4ACD的边，我们称它为这两

个三角形的公共边）.

分析完之后，师生共同证明，教师板书过程:

证明：・••0是BC的中点,BD=CD.

在和△,4。。中8D=CD.

,AD=AD,

AABD^/\ACD(SSS).

教师总结证明三角形全等的书写格式可分为三部分：一是全等条件的证明；二是罗列两

个三角形全等的条件；三是写三角形全等的结论.这里要求注明判定方法.(注意强调书写过

程的严谨性).

探究3：作一个角等于已知角

教师：由三边分别相等判定三角形全等的结论还可以得到用直尺和圆规作一个角等于己

知角的方法.

师生共同展示：

已知：ZAOB.

求作：NA'O'B',使NA'O'B'=ZAOB.

作法：(1)如图12-2-7,以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交0A,0B于点C,D；

(2)画一条射线O'A',以点0'为圆心，0C长为半径画弧，交O'A'于点C'；

(3)以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点D'；

⑷过点D'画射线O'B',则NA'O'B'=ZAOB.

图12-2-7

完成之后，教师让学生进行练习：教材P37练习第1,2题(学生首先独立思考，然后让

两名学生板演，最后教师点评).

1.三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).利用两个三角形全

等可进行一些相关的计算和证明.

2.尺规作图：作一个角等于已知角.

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12.2三角形全等的判定

课时❶“边边边(SSS)”

探究1：三角形全等的条件(教材P36例1的证明过程)

投

影探究2：“边边边(SSS)”探究3：作一个角等于已知角

区三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成

“边边边”或"SSS")

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

课时2“边角边(SAS)”

【知识与技能】

(1)掌握“边角边(SAS)”条件的内容.

(2)能初步运用“边角边(SAS)”条件判定两个三角形全等.

(3)知道两个三角形具备两边和一对角相等时，不一定全等.

【过程与方法】

使学生经历探索三角形全等的过程，培养学生观察图形、分析图形以及动手操作的能力.

【情感态度与价值观】

通过探究三角形全等条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良

好品质及发现问题的能力.

对“边角边(SAS)”条件的理解和应用.

运用“边角边(SAS)”判定方法进行简单的证明.

4^1@0

多媒体课件.

教师出示投影，让学生认识卡钳:

如图12-2-8,把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）,

在图中，利用这个工具就可以测量工件内的槽宽，你们能解释其中的道理吗？

图12-2-8

学生思考之后进行简单的回答，教师点评并引入本节课题.（板书）

教师：上节课我们学习了三边分别相等的两个三角形全等，如果已知两个三角形的两条

边及一个角对应相等，那么能判定这两个三角形全等吗？

探究1：两边及其夹角分别相等（“边角边（SAS）”）

教师让学生完成以下活动：

图12-2-91.先任意画一个AABC,再画一个AA'B'C',使A'B'=AB,A'C=AC,

NA'=NA（即两边和它们的夹角相等）.

师生共同分析：要画一个三角形，首先要确定这个三角形的三个顶点.

然后教师出示作法，学生独立完成：

如图12-2-9,⑴画NDA'E=ZA；

（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；

⑶连接B'C'.

2.引导学生剪下三角形，看是不是与原三角形全等.

师生共同得出结论：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”

或“SAS”）.

教师补充：也就是说，如果三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定，那么这个

三角形的形状、大小就能确定.用符号语言表示为（教师板书）：

p4C=W,

在△ABC与△4'8'C'中，44=

{AB=A'B',

△48C4ZU®C'(SAS).

教师强调：“SAS”中的“A”必须是两个“s”所夹的角.

教师从而解决情境导入中的问题，卡钳测量工件内的槽宽的原理是利用全等三角形的对

应边相等，把不能直接测量的物体“移”到可以直接测量的位置进行测量.

接着教师出示投影，让学生完成这道练习题（学生口答）:

图12-2-10中全等的三角形有（D）.

图12-2-10

A.图（1）和图（2）B.图（2）和图（3）

C.图(2)和图(4)D.图（1）和图（3）

探究2：两边及其邻角分别相等（边边角）

教师提出：如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其邻角分别相等”，即“两

边及其中一边的对角相等”，那么这两个三角形还全等吗？

学生分小组进行讨论，教师在此过程中及时点拨，画出反例图形，如图12-271.

学生通过反例说明“已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”不一定成

立(即SSA不一定成立).

教师出示教材P38例2：

图12-2-12

如图12-2-12,有一池塘，要测池塘两端A,B的距离，可先在平地上取一个点C,从点

C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,使CD=CA.连接BC并延长到点E,

使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离，为什么？

教师引导学生把实际问题转化为数学问题，然后师生共同分析：如果能证明△ABCWA

DEC,那么就可以得出AB=DE.由题意可知，^ABC和aDEC具备“边角边”的条件.

师生共同解答，教师板书过程：

rCA=CD,

解：在。和中,ZJ=42,

lCB=CEt

/\ABC^/\DEC(SAS).

：.AB=DE.

最后教师总结：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以在证明线段相等或角

相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.

教师让学生完成：教材P39练习第1,2题.让学生在黑板上板演，教师点评，并强调证

明过程的规范书写.

Mg®®©

1.运用“边角边(SAS)”判定两个三角形全等，注意“边边角”不能判定两个三角形全

等.

2.判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角.

懑书一

12.2三角形全等的判定

课时❷“边角边(SAS)”

探究1:两边及其夹角分别相等(“边角

投探究2：两边及其邻角分别相等(边

影边(SAS)”)

区边角)

(用“SAS”书写两个三角形全等的符号语言表示

(教材P38例2解答过程)

方法)

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

课时3"角边角(ASA)""角角边(AAS)”

【知识与技能】

(1)掌握“角边角(ASA)”及“角角边(AAS)”条件的内容.

(2)能初步运用“角边角(ASA)”及“角角边(AAS)”条件判定两个三角形全等.【过程

与方法】

使学生经历作图、证明等探究过程，从而提高学生分析、作图、归纳、推理等能力.

【情感态度与价值观】

通过探索和动手操作的过程，体会数学思维的乐趣，激发应用数学的意识，通过合作交

流，培养合作意识，体验成功的喜悦.

掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法.

运用“角边角”“角角边”的判定方法进行简单的证明.

多媒体课件.

i.复习旧知：

(1)三角形中已知三个元素，包括哪儿种情况？

(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？分别是什么？

学生举手回答，教师点评并表扬.

2.教师引入：在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，接着探究

已知两角一边是否可以判定两三角形全等.(板书课题)

通学❿0

教师：已知两角和一边对应相等有两种情况，首先我们研究第一种情况，即两角及这两

角的夹边对应相等.

探究1：“角边角(ASA)”

教师提出问题：如果''两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，那么这两个三角形全

等吗？

学生完成以下活动：

1.先任意画一个△ABC,再画一个△△'B'C',使得/A'=NA,NB'=ZB,AzB'=AB.

教师指导aA'B'C'的作法：

如图12-2-14,(1)作线段A'B',使A'B'=AB；

图12-2-14

(2)分别以A',B'为顶点，A'B'为一边在A'B'的同旁画NDA'B',NEB'A',

使/DA'B'=ZCAB,ZEB'A'=ZCBA；

(3)射线A'D与B'E相交于一点，记为点C',即可得到4A'B'C'.

2.将画好的AA'B'C'剪下来，放到aABC上，发现两个三角形全等.

3.教师让学生模仿上一节所学的“边角边”定理，用一句话来总结一下：两角和它们的

夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).

教师补充：也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形

的形状、大小就确定了.

教师出示教材P40例3：

A

如图12-2T5,点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,ZB=

NC.求证:AD=AE.

师生共同分析：证明4ACD丝Z\ABE,就可以得出AD=AE.

学生写出证明过程，教师点评.

证明：在和△A8E中，

[44=乙4(公共角)，

J.4C=4B,

ASA).

/.AD=AE.

探究2：“角角边(AAS)”

教师提出问题：如果把“两角和它们的夹边分别相等”改为“两角及邻边分别相等”，

即“两角分别相等且其中一组等角的对边相等”，两个三角形还全等吗？

教师出示教材P40例4：

如图12-2T6,在AABC和ADEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.求证：△ABC^aDEF.

AD

图12-2-16

教师引导学生分析题目中的已知条件，让学生思考解题思路：如果能证明NC=NF,就

可以利用“角边角”证明^ABC和aDEF全等，由三角形的内角和定理可以证明NC=/F.

学生分小组交流想法，教师点评.师生共同完成证明过程，教师板书：

证明：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=180°-ZA-ZB.

同理NF=180°-/D-/E.又/A=/D,NB=/E,

二ZC=ZF.

在aABC和aDEF中，ZB=ZE,BC=EF,ZC=ZF,

.,.△ABC^ADEF（ASA）.

教师:我们从这道例题可以得到两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形

全等（可以简写成“角角边”或“AA$”）.也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的

对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.

教师紧接着让学生完成P41练习第1,2题.学生板演，教师点评.

教师最后总结：（1）已知两个三角形的两组角对应相等，要证明这两个三角形全等，应

选择判定方法“ASA”或“AAS”.（2）在运用“ASA”或“AAS”判定三角形全等时，同样要注

意题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等.

最后，教师提出：到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全

部结束.然后让学生把两个三角形全等的判定方法做一个小结.学生自我回忆总结，然后小组

讨论、交流，补充：

边边边（SSS）,边角边（SAS）,角边角（ASA），角角边（AAS）.

蟠堂崎

1.用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等.

2.用三角形全等来证明线段或角相等.

3.到目前已经学习了四种判定两个三角形全等的方法.

7反书©®

12.2三角形全等的判定

课时❸“角边角（ASA）”“角角边（AAS）”

探究2：“角角边"（AAS）

探究1：“角边角（ASA）”

两角分别相等且其中一组等角的对

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，

边相等的两个三角形全等，可以简

可以简写成“角边角（ASA）.”

写成“角角边（AAS）”.

（教材P40例3的证明过程）

（教材P40例4的证明过程）

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

课时4"斜边直角边(HL)”

【知识与技能】

(1)探索和了解直角三角形全等的条件一一“斜边、直角边(HL)”.

(2)会运用“斜边、直角边(HL)”判定两个直角三角形全等.

【过程与方法】

让学生在合作交流中获取知识，组织学生通过观察、发现、交流、体验、说理归纳等活

动，感知并掌握直角三角形的判定方法.

【情感态度与价值观】

通过创设情境，激发学生的求知欲，通过动手操作等活动，让学生乐于探究，培养学生

独立思考和合作交流的能力.

探究直角三角形全等的条件.

灵活运用直角三角形全等的条件进行证明.

多媒体课件.

图12-2-18

教师出示投影：如图12-2-18,舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这

两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量其长度.你们

能帮他想个办法吗？

学生思考之后，回答：

方法一：测量斜边和一个对应的锐角("AAS")；

方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角（“ASA”或“AAS”）.

教师继续指出：工作人员只带了一把卷尺，他测量了两个三角形没有被遮住的直角边和

斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“这两个直角三角形是全等的”.你们相信他的结

论吗？

学生回答：这两个三角形都是直角三角形，也许是全等的.因为它还有直角这个特殊条

件.

教师点评：有道理，但科学是严谨的，今天我们就来探究“两个直角三角形全等的条

件”.（板书课题）

邀望©©

探究1：“斜边、直角边（HL）”

教师：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足儿个条件，这两个直角

三角形就全等了？

教师出示教材P42探究5：

师生共同按照下面的步骤做一做（如图12-2-19）：

画一个RtZ\A'B'C',使/C'=90°,B'C=BC,A'B'=AB.

图12-2-19⑴画NMC'N=90°；

⑵在射线C'M上截取B'C=BC；

（3）以点B'为圆心，AB长为半径画弧，交射线C'N于点A'；

（4）连接A'B'.

教师提问：RtaA'B'C'就是所求作的三角形吗？

接着让学生把画好的Rt^A'B，C'剪下来放在RtaABC上，观察这两个三角形是否全

等.

学生由此可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法:斜边和一条直角边分别相等的

两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.教师出示教材P42例5：

D

图12-2-20

如图12-2-20,AC±BC,BD1AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证：BC=AD.

师生共同分析：要想证明BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有ABAD

和aABC,AADO和△BC0,其中0为DB,AC的交点，经过对条件的分析，发现AABD和aBAC

具备全等的条件.

师生共同完成证明过程，教师板书：

证明：VAC±BC,BD1AD,

...NC与ND都是直角.

(AB=BA,

在RtA/WC和RtARlD中

\AC=BD,

/.RtA4BC^RtAB?ID(HL).

BC=AD.

教师接着提问：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？

学生回答：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅能用一般三角形判定全等的方法“SAS”

“ASA”“AAS”“$S$"，还能用直角三角形独有的判定全等的方法一一“HL”.

最后教师总结：对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或两条直角边分别相

等，则这两个直角三角形全等.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形也

全等.在判定三角形全等的各个条件中，一个必要的条件为至少有一条边对应相等.判定两个

三角形全等时，要注意对应边、角的相对位置关系，然后按照以下思路寻求解题方法：

(1)已知两边找夹角一SAS找直角一HL找第三边一SSS

(2)已知两角找夹边一ASA找一角的对边一AAS

(3)已知一边一角边为角的对边一找一角一AAS边为角的邻边找夹边的另一角一ASA

找边的对角fAAS找夹角的另一边一SAS

紧接着，让学生完成：教材P43练习第1,2题.(学生板演，教师点评)

割嵋

1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或

“HL”）.

2.直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它.同时，直角三

角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法，所

以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.

12.2三角形全等的判定

课时。“斜边、直角边（HL）”

投探究:“斜边、直角边（HL）”（教材P42例5的证明过程）

影

区斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全

等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）

第十二章全等三角形

12.2三角形全等的判定

【预习速填】

1.用“边边边”判定三角形全等,要注意：（1）利用“边边边”（或记为"—"）来证三角

形全等时，要结合图形，找准对应边，同时要找出隐含的边，如公共边、中线、中角平分线，以

及等线段或同线段的和或差相等；（2）—分别相等判定三角形全等的结论，还可以得到用

直尺和圆规作一个角等于己知角的方法；（3）证明三角形全等的书写步骤:①准备条件:证全

等时需要用的间接条件要先证好;②三角形全等书写的三个步骤:a.写出在哪两个三角形

中;b.摆出的三个条件用大括号括起来;c写出全等结论.

2.用“边角边”判定三角形全等要注意:①如果两个三角形有两边和一个角分别对应相等，

那么这两个三角形不一定全等.“两边和一角分别对应相等”有两种情况是两边及其对应

相等,此时两个三角形全等（记为“边角边”或“一”二是两边和其中一边的对角对应相

等，此时两个三角形不一定全等;②运用“边角边”证明三角形全等的书写步骤:a.准备条件:

证全等时需要用的间接条件要先证好;b.三角形全等书写三个步骤：先写出在哪两个三角形

中，再按边、角、边的顺序摆出三个条件并用大括号括起来，最后写出全等结论.

3.用“角边角”判定三角形全等两角和它们的—分别相等的两个三角形全等（可以简写成

“角边角”或“"）.要注意：“角边角”中的“边”是两个角的夹边;在书写两个三角

形全等的条件角边角时,一定要把夹边相等写在,按角边角的顺序书写.

4.用“角角边”判定三角形全等.两角分别相等且其中一组等角的相等的两个三角形全

等（可以简写成“角角边”或“一"）.要注意:①用“角角边”判定两个三角形全等时，相

等的边必须是相等角的对边，即对应角的对边;②“角角边”可以看作是“角边角”的推论:

两个三角形中，若有两个角对应相等，由三角形的内角和等于180°可知第三个角也对应相

等,又有一组对应边相等，从而满足“角角边”的条件，可判定两个三角形全等.

5.用“斜边、直角边”判定直角三角形全等.—和—分别相等的两个直角三角形全等（可

以简写成“斜边、直角边”或“"）.要注意:①直三角形是特殊的三角形，判断两个直

角三角形全等，可以运用“SSS”，“SAS”“ASA”，“AAS”，“HL"；②“HL”只对三角

形适用，对一般三角形并不用，因此,在使用“HL”的过程中，要突出这个条件.

【自我检测】

1下列条件能判定aABC段4DEF的是（）

A.AB=DE,BC=EF,NA=NE

B.AB=DE,BC=EF,NC=/F

C.ZA=ZE,AB=EF,ZB=ZD

D.ZA=ZD,AB=DE,ZB=ZE

2.如图,AB=DC,AF=DE,BE=CF,点B,E,F,C在同一直线上，求证:Z\ABF丝Z\DCE.

3.如图，已知AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证：NEFD=NBCA.

4.如图已知AB=AC,AD=AE,Z1=Z2,求证：AABD岭Z\ACE.

B.

5.如图在4ABC和4ABD中，AC与BD相交于点E,AD=BC,/DAB=NCBA,证:AC=BD.

A

6.］如图AD是/\ABC的中线,过C、B分别作CFJ_AD,BE±AD,垂足分别为F、E.求证如E=CF.

7.如图，AB=AC,点D、E分别在AC,AB上AGJ_BD于G,AF_LCE于F,且AG=AF.求证:BD=CE.

8.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两

个滑梯的倾斜角NABC和NDFE有什么关系?请说明理由.

BAD

参考答案

【预习速填】

1.【答案】SSS,三边

2.【答案】夹角，SAS

3.【答案】夹边，ASA,中间

4.【答案】对边，AAS

5.【答案】斜边，一条直角边，HL,直角，直角三角形

【自我检测】

1.【解析】满足SSS或SAS或ASA或AAS定理即可。四个选项中只有D选项满足，属于ASA

定理。

【答案】D

2.【解析】•BE=CF,,，BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

AB=DC

AF=DE

在4ABF与4DCEBF=CE,,,△ABF^ADCE(SSS)

3.【解析】VAF=DC,:AF+FC=DC+FC,BPAC=DF.

AB=DE

BC=EF

在4ABC^HADEF中改二DF

.".△ABC^ADEF(SSS),A.ZEFD=ZBCA

4.【解析】VZ1=Z2,,,.Z1+ZEAB=Z2+ZEAB,BPZDAB=ZEAC

AB=AC

ZDAB=ZEAC

在aABD和AACE中，AD=AE

AABD^AACE(SAS)

AD=BC

ZDAB=ZCBA

5.【解析】在AABD与ABAC中，(

/.△ABD^ABAC(SAS),AAC=BD.

6.【解析】：AD是AABC的中线，，BD=CD.CFJ_AD,BE上

ZBED=ZCFD

ZBDE=ZCDF

AD,A.ZBED=CFD.在ABED和4CFD中,BD=CD

.".△BED^ACFD(AAS),ABE^F

7.【解析】VAG1BD,AF±CE,/.ZAGB=ZAFC=90°,ft

|AG=AF

RtAAGB和RtAAFC中，1AB=ACARtAAGBRt△AFC(HL),ZB=ZC,

,ZB=ZC

AB=AC

在4ABD和aACE中，l/BAD=/CAE

A△ABDACE(ASA),.\BD=CE

8.【解析】NABC+NDFE=90°.理由：由题意知，NBAC=EDF=90°,

fAC=DF

在RtAABC和RtADEF中，BC=EF

/.RtAABC^RtADEF(HL)

AZACB=ZDFE,AZABC+ZDFE=ZABC+ZACB=90°.

第十二章全等三角形

12.3角的平分线的性质

课时一角的平分线的性质

【知识与技能】

(1)掌握已知角的平分线的画法.

(2)利用角的平分线的定义进行简单的证明与计算.

(3)利用全等三角形证明角的平分线.

(4)掌握角的平分线的性质.

(5)了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.

【过程与方法】

经历角的平分线的画法和角的平分线的性质的探索过程，体会探索、研究问题的基本方

法，培养学生的合作精神，体会转化的数学思想，感受数学来源于生活.

【情感态度与价值观】

在探究角的平分线的作法及性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣,获得解决问题的

成功体验，增强解决问题的信心.

邀学霞

角的平分线的性质，能灵活运用角的平分线的性质解题.

灵活运用角的平分线的性质解题.

多媒体课件.

复习引入教师提出问题：

1.角的平分线的概念.

2.点到直线（射线）的距离的概念.

学生举手回答.

探究1：角的平分线的画法

;

图12-3-1

教师引入：工人师傅常常用一种简易平分角的仪器（如图12-3T）,其中AB=AD,BC=DC.

将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是NDAB的

平分线.你能说明它的道理吗？

学生分组讨论，说明简易平分角仪器的原理，并写出证明过程.（教师提示：用全等三角

形的知识)

教师：其实这种平分角的方法告诉了我们作已知角的平分线的一种方法.

然后教师引导学生用尺规作图：

己知：ZAOB.

求作：NAOB的平分线.

图12-3-2

先让学生讨论作法，再由教师总结作法，师生共同作图：

(1)以点0为圆心，适当长为半径画弧，分别交0A于点M,交0B于点N.

1

(2)分别以点M,N为圆心，大于°MN的长为半径画弧，两弧在NAOB的内部相交于点

C.

(3)画射线0C.射线0C即为所求，如图12-3-2.

教师紧接着提出问题：你们能说明0C为什么是NAOB的平分线吗？

学生进行交流，教师提示(可证明△MOCg^NOC),然后让学生写出证明过程.教师巡示

并指导.

探究2：角的平分线的性质

教师让学生完成以下活动：

1.任意作一个NAOB,作出NAOB的平分线0C.在0C上任取一点P,过点P画出OA,0B

的垂线，分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较，你得到什么结论？

2.在0C上再取几个点试一试.

3.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？

学生动手操作，独立思考，然后举手回答自己的发现，学生互相补充，教师指导，一起

概括出角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

教师进一步提问：你们能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？

教师首先引导学生分析命题的条件和结论.如果学生感到困难，可以让学生先将命题改

写成''如果……那么……”的形式，再引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐

含条件（垂直）.最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程.

接着师生共同概括证明几何命题的一般步骤:一般情况下，我们要证明一个几何命题时,

可以按照类似于以下的步骤进行，即

1.明确命题中的已知和求证；

2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；

3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

最后教师归纳：利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相

等，但在推导过程中，不要漏掉垂直关系的书写.以后涉及角的平分线上的点到角的两边的

垂线段时，可直接得到其相等，不必再通过证两个三角形全等而走弯路.

教师出示例题：

图12-3-3

例1如图12-3-3,在aABC中，ZC=90°,AM平分/CAB,BM=5.2cm,点M到AB的距

离为3cm.求BC的长.

师生共同分析：只需补出点M到AB的距离，利用角的平分线的性质得到CM=3cm,从

而求出BC的长.

师生共同完成证明过程，教师板书：

解：过点M作MNJ_AB于点N,；.MN=3cm.

YAM平分NCAB,ZC=90°,

；.CM=MN=3cm.

又•；BM=5.2cm,

:.BC=CM+BM=3+5.2=8.2（cm）.

进而教师让学生独立完成：教材P50练习第2题（学生完成之后，教师点评）.

本节课我们学习了角的平分线的性质是由三个条件（一条角平分线，两条垂线段）得到一

个结论（线段相等），角的平分线的性质可独立地作为证明两条线段相等的依据.

12.3角的平分线的性质

课时❶角的平分线的性质

投探究1：角的平分线的画法（例1的解答过程）

影2：

区探究角的平分线的性质

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

第十二章全等三角形

12.3角的平分线的性质

课时2角的平分线的判定

【知识与技能】

掌握角的平分线的判定，能灵活运用角的平分线的判定解题.

【过程与方法】

通过学生自主探索、操作、领会和感悟角的平分线的判定，并能体会感性认识与理性认

识之间的联系与区别.

【情感态度与价值观】

通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学.

角的平分线的判定.

灵活运用角的平分线的判定解题.

多媒体课件.

教师出示教材P49思考:

s

图12-3-4

如图12-3-4,要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路

与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20

000）?

学生先自主思考，教师对学生的回答进行简单的点评，再将这个问题作为本节课开始的

一个悬念.

探究1：角的平分线的判定

教师提出问题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么，到角的两

边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？探究新知让学生以四人为一个小组合作学习，动

手操作、探究，获得问题的结论.从实践中可知：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,

将条件和结论互换：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

教师指出条件和结论，学生叙述证明过程，教师板演：

图12-3-5

已知:如图12-3-5,PD_LOA,PE±OB,垂足分别为D,E,PD=PE.

求证：点P在/AOB的平分线上.

证明：经过点P作射线0C,如图12-3-5.

VPD±0A,PE10B,

AZPD0=ZPE0=90o.

f()p=op,

<1RtAPDO和RtAPEO中,

[PD=PE,

.,.RtAPDO^RtAPEO(HL),

.,.ZD0P=ZE0P,即/AOC=NBOC,

.♦.OC是/AOB的平分线.

...点P在NAOB的平分线上.

然后教师解决情境导入中的那个问题，让学生根据上面的结论，确定这个集贸市场应该

建于何处.学生分组讨论后回答.

接着师生共同探究角的平分线的性质与判定的区别与联系：

角的平分线的性质说明了角的平分线上的点的纯粹性，即只要是角的平分线上的点，它

到此角的两边一定等距离，而无一例外；角的平分线的判定反映了角的平分线的完备性，即

只要是到角的两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个.在实际应用

中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等(角的平分线).

最后教师归纳角的平分线的作用：角的平分线的判定可以帮助我们证明角相等，使证明

过程简化.需要注意的是：在推导过程中，应注意垂直关系的书写，指明垂线段，并由垂线

段相等直接得到角相等，而不必再去证明三角形全等.

教师出示教材P50例题

图12-3-6

如图12-3-