新课标2025版高考数学二轮复习专题四概率与统计第2讲概率练习文新人教A版

PAGE1-第2讲概率一、选择题1．(2024·重庆市七校联合考试)在区间[－3，4]内随机取一个实数x，则满意2x≥2的概率是()A.eq\f(2,7) B.eq\f(3,7)C.eq\f(4,7) D.eq\f(5,7)解析：选B.由2x≥2，得x≥1.又[－3，4]的区间长度是7，[1，4]的区间长度是3，所以所求概率P＝eq\f(3,7).故选B.2．(2024·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选D.将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，状况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝eq\f(1,2)，故选D.3．某学校星期一至星期五每天上午共支配五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听其次节课的时间不少于20分钟的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选B.他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听其次节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听其次节课的时间不少于20分钟的概率是eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).4．(2024·南昌市第一次模拟测试)2024年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都打算选历史与政治，假如他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,9)解析：选B.记地理、化学、生物分别为D，H，S，则小明与小芳的选课方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9种，小明与小芳选课方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3种状况，所以他们选课相同的概率为eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故选B.5．(2024·湖南省湘东六校联考)如图，一靶子是由三个全等的三角形和中间的一个小等边三角形拼成的大等边三角形，其中3DF＝2BF，若向靶子随机投镖，则镖落在小等边三角形内的概率是()A.eq\f(2,7) B.eq\f(4,49)C.eq\f(3,13) D.eq\f(3\r(13),13)解析：选B.因为3DF＝2BF，所以不妨设DF＝2，BF＝3，则DC＝3，∠BDC＝120°，由余弦定理可得BC＝eq\r(25＋9－2×5×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝7，所以镖落在小等边三角形内的概率是eq\f(\f(1,2)×DF2×sin60°,\f(1,2)×BC2×sin60°)＝eq\f(4,49)，故选B.6．(2024·武汉市调研测试)为了提升全民身体素养，学校非常重视学生体育熬炼．某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为eq\f(3,4)，他前一球投不进则后一球投进的概率为eq\f(1,4).若他第1球投进的概率为eq\f(3,4)，则他第2球投进的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,16)D.eq\f(9,16)解析：选B.设该篮球运动员投进第n－1(n≥2，n∈N*)个球的概率为Pn－1，第n－1个球投不进的概率为1－Pn－1，则他投进第n个球的概率为Pn＝eq\f(3,4)Pn－1＋eq\f(1,4)(1－Pn－1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)Pn－1，所以Pn－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(1,2))).所以Pn－eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P1－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n＋1).所以Pn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n＋1)＋eq\f(1,2)(n∈N*)，所以P2＝eq\f(5,8).故选B.二、填空题7．一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．解析：由1，2，3组成的三位自然数可能为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共24个三位自然数．由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2).8．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1­A1BC1内的概率为________．解析：由题意，本题是几何概型，以体积为测度．因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，所以三棱锥B1­A1BC1的体积eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·a·a·a＝eq\f(1,6)a3，正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为a3，所以在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1­A1BC1内的概率为eq\f(\f(1,6)a3,a3)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)9．折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为________．解析：设正方形ABCD的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为S正方形AGFE＋S正方形DGHI＋S△ADG＝(eq\r(5))2＋(eq\r(5))2＋eq\f(1,2)×2×2＝12，阴影部分的面积为2×eq\f(1,2)×2×2＝4，所以向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)三、解答题10．(2024·高考天津卷)2024年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受状况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○接着教化××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事务M发生的概率．解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的全部可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).11．(2024·昆明市质量检测)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，激励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发觉，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为0.9.(1)若引种树苗A，B，C各10棵．①估计自然成活的总棵数；②利用①中估计的结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取2棵，求抽到的2棵都是树苗A的概率．(2)该农户确定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？解：(1)①依题意，10×0.8＋10×0.9＋10×0.9＝26，所以自然成活的总棵数约为26.②没有自然成活的树苗共4棵，其中2棵A种树苗，1棵B种树苗，1棵C种树苗，分别设为a1，a2，b，c，从中随机抽取2棵，可能的状况有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)，抽到的2棵都是树苗A的概率为eq\f(1,6).(2)设该农户引种B种树苗n棵，最终成活的棵数为0.9n＋(1－0.9)n×eq\f(3,4)×0.8＝0.96n，未能成活的棵数为n－0.96n＝0.04n，由题意知0.96n×300－0.04n×50≥200000，则n>699.所以该农户至少引种700棵B种树苗，才可获利不低于20万元．12．(2024·洛阳尖子生其次次联考)某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位：小时)，假如停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间2.533.544.555.56轮船数量12121720151383设该月这100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时．(1)求a的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船须要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必需等待的概率．解：(1)a＝eq\f(1,100