江苏专用2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4空间几何体的表面积与体积教案含解析

PAGEPAGE1§8.4空间几何体的表面积与体积考情考向分析考查简洁几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象实力和计算实力，以填空题为主，中低档难度．1．侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧＝ch，底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．柱体的体积公式是V柱体＝Sh.2．假如一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，则该棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面积公式是S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′；锥体的体积公式为V锥体＝eq\f(1,3)Sh.3．正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)·h′；台体的体积公式是V台体＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图分别是矩形、扇形、扇环；圆柱的侧面积公式是S圆柱侧＝cl＝2πrl，圆锥的侧面积公式为S圆锥侧＝eq\f(1,2)cl＝πrl，圆台的侧面积公式为S圆台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝π(r＋r′)l.5．若球的半径为R，则球的体积V＝eq\f(4,3)πR3，球的表面积S＝4πR2.概念方法微思索1．如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时须要将曲面绽开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．2．如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要留意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(√)(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)(3)锥体的体积等于底面积与高之积．(×)(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝eq\f(\r(3),2)a.(√)(5)圆柱的一个底面积为S，侧面绽开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)题组二教材改编2．[P54T2]把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为________．答案4R解析设圆柱的高为h，则有πR2h＝3×eq\f(4,3)πR3，∴h＝4R.3．[P49T1]已知正三棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长为3eq\r(5)cm，则这个正三棱柱的侧面积是________cm2.答案54解析因为正三棱柱的高为eq\r(3\r(5)2－32)＝6(cm)，所以侧面积为3×3×6＝54(cm2)．4．[P54T3]一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为5eq\r(3)cm，则它的体积为________cm3.答案270解析体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×6×6×eq\f(\r(3),2)×5eq\r(3)＝270(cm3)．题组三易错自纠5．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．答案12π解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2eq\r(3)即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π.6．已知某圆柱的侧面绽开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为________．答案eq\f(a3,2π)或eq\f(a3,π)解析设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，则当l＝2a时，2πr＝a，∴r＝eq\f(a,2π)，这时V圆柱＝2a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2π)))2＝eq\f(a3,2π)；当l＝a时，2πr＝2a，∴r＝eq\f(a,π)，这时V圆柱＝a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,π)))2＝eq\f(a3,π).综上，该圆柱的体积为eq\f(a3,2π)或eq\f(a3,π).题型一求空间几何体的表面积1．(2024·全国Ⅰ改编)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________．答案12π解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.2．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为________．答案eq\f(2\r(3),3)解析依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径．设侧棱长为a，外接球的半径为r.由外接球的表面积为4π，得r＝1，∴eq\r(3)a＝2r＝2，∴a＝eq\f(2\r(3),3).3．正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm，高是1cm，则它的侧面积为_______cm2.答案eq\f(9\r(7),2)解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1cm，下底长为2cm，高为正六棱台的斜高．又边长为1cm的正六边形的中心到各边的距离是eq\f(\r(3),2)cm，边长为2cm的正六边形的中心到各边的距离是eq\r(3)cm，则梯形的高为eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(7),2)(cm)，所以正六棱台的侧面积为6×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(7),2)＝eq\f(9\r(7),2)(cm2)．思维升华求空间几何体表面积的留意点(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积留意连接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题留意其侧面绽开图的应用．题型二求空间几何体的体积例1(1)(2024·宿迁模拟)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为________．答案eq\f(9\r(3),4)解析三棱锥P－ABA1的体积等于三棱锥B－APA1的体积，点B到面APA1的距离为eq\f(3\r(3),2)，△APA1的面积为eq\f(9,2)，故三棱锥P－ABA1的体积为eq\f(9\r(3),4).(2)(2024·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为________．答案eq\f(1,3)解析几何体绽开图如图所示：△ABD∽△ACC1，∴eq\f(BD,CC1)＝eq\f(AB,AC)，∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∴AC＝3，CC1＝3，∴BD＝1，则＝＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3).思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可干脆用公式求解的柱体、锥体或台体，则可干脆利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能干脆利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．跟踪训练1(1)(2024·江苏南京一中调研)如图所示，已知一个多面体的平面绽开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是________．答案eq\f(\r(2),6)解析由绽开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，∴该正四棱锥的高h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，∴其体积V＝eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．答案eq\f(\r(2),3)解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，简洁求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中点O，连结GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).(3)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为________．答案1解析如题图，因为△ABC是正三角形，且D为BC中点，则AD⊥BC.又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱锥A－B1DC1的高．所以＝eq\f(1,3)·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.题型三表面积和体积的综合问题命题点1侧面绽开图的应用例2(1)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(5)，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．答案eq\r(3)解析将直三棱柱ABC－A1B1C1沿棱BB1绽开成平面图形，连结AC1到AC1与BB1的交点即满意AM＋MC1最小，此时AC1＝eq\r(14)，MC1＝2eq\r(2)，AM＝eq\r(2)，∴cos∠AMC1＝eq\f(2＋8－14,2×\r(2)×2\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴sin∠AMC1＝eq\f(\r(3),2)，∴＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).(2)(2024·无锡期末)已知圆锥的侧面绽开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________．答案eq\f(2,3)eq\r(2)π解析设圆锥侧面母线长为l，底面半径为r，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝3r，,\f(1,2)×\f(2,3)π·l2＝3π，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝3，,r＝1，))∴圆锥高h＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，∴V圆锥＝eq\f(1,3)π×2eq\r(2)＝eq\f(2,3)eq\r(2)π.命题点2和球有关的表面积、体积问题例3已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．答案eq\f(13,2)解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).引申探究1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4eq\r(3)，从而V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V内切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).2．本例若将直三棱柱改为“棱长为a的正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其内切球半径r为正四面体高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq\f(6\r(3),π).思维升华(1)侧面绽开图体现的是一种转化思想．用于找寻两种状况下图形长度或角度间的关系．(2)球的有关问题，可作过球心的截面，以利于求球的半径．跟踪训练2(1)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(\r(2),2)，则三棱锥B－AEF的体积为______．答案eq\f(1,12)解析连结AC，BD，易知AC⊥平面BDD1B1，则V三棱锥B－AEF＝V三棱锥A－BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(AC,2)×S△BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(AC,2)×eq\f(1,2)×EF×BB1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(1,12).(2)(2024·全国Ⅲ改编)设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为________．答案18eq\r(3)解析由等边△ABC的面积为9eq\r(3)，可得eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝eq\f(\r(3),3)AB＝2eq\r(3).所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).1．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2eq\r(3)，则该直四棱柱的侧面积为________．答案16eq\r(2)解析由题意得，直四棱柱的侧棱长为eq\r(2\r(3)2－22)＝2eq\r(2)，所以该直四棱柱的侧面积S＝cl＝4×2×2eq\r(2)＝16eq\r(2).2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，则三棱锥B1－ABD1的体积为________cm3.答案1解析三棱锥B1－ABD1的体积＝＝eq\f(1,3)·A1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×1×2＝1.3．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，则eq\f(S1,S2)的值为________．答案eq\f(3\r(2),π)解析由eq\f(V1,V2)＝eq\f(3a3,πr3)＝eq\f(3,π)，得a＝r，eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,\r(2)πr2)＝eq\f(3\r(2),π).4．(2024·南京学情调研)已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的高为________．答案6解析设圆锥N的底面半径为r，则它的母线长为2r，从而它的高为eq\r(3)r，由圆柱M与圆锥N的体积相等，得4π×6＝eq\f(1,3)πr2×eq\r(3)r，解得r＝2eq\r(3)，因此圆锥N的高h＝eq\r(3)r＝6.5．(2024·南通、扬州、泰州、淮安调研)已知圆锥的侧面绽开图是半径为3，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形，则这个圆锥的高为________．答案2eq\r(2)解析设圆锥的底面半径为r，高为h，因为圆锥的侧面绽开图是半径为3，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形，且扇形的弧长等于底面圆的周长，故有2πr＝3×eq\f(2π,3)，解得r＝1，又圆锥的母线l＝3，所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2).6．现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥状实心铁器，将其高温溶化后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________cm.答案eq\r(3,9)解析圆锥的高为4cm，体积V圆锥＝eq\f(1,3)π×32×4＝12π(cm3)．设球的半径为rcm，则eq\f(4,3)πr3＝12π，即r3＝9，所以r＝eq\r(3,9).7．《算术书》竹简于上世纪八十年头在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V＝eq\f(1,36)l2h，它事实上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取________．答案eq\f(157,50)解析V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2h＝eq\f(1,12π)l2h，由eq\f(1,12π)≈eq\f(25,942)，得π≈eq\f(157,50).8．将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，若这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.答案5解析半径为5的圆的周长是10π，由题意知2πr1＋2πr2＋2πr3＝10π，所以r1＋r2＋r3＝5.9.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A－A1EF的体积是________．答案8eq\r(3)解析过点C作CD⊥AB于点D，在正三角形ABC中，AB＝4，则CD＝2eq\r(3)，因为CC1∥平面A1ABB1，则点F到平面A1ABB1的距离为2eq\r(3)，所以＝＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\f(1,2)×4×6＝8eq\r(3).10．(2024·苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有改变，则圆孔的半径为________．答案3解析设圆柱的底面半径为r，高为h，该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面，多了一个圆柱侧面．由题意，得πr2＋πr2＝2πrh，得r＝h.经检验，只有r＝3符合要求，此时在8×9的面上打孔．11.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，点M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)解∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BD.∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝eq\f(1,2).∵点M是AD的中点，∴S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABD＝eq\f(1,4).由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积VA－MBC＝VC－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·h＝eq\f(1,12).12.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为eq\f(8,3)，求该四棱锥的侧面积．(1)证明由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD.又PD∩AP＝P，PD，AP⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥AD，AB⊥PE，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.设AB＝x，则由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x，由AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD，得四边形ABCD为矩形．故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由题设得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.从而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝PB＝PC＝2eq\r(2)，可得四棱锥P－ABCD的侧面积为eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).13．已知三棱锥O—ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O—ABC的体积为________．答案eq\f(2\r(3),3)解析设球O的半径为R，因为S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以当∠AOC＝∠BOC＝90°时，S△AOC＋S△BOC取得最大值，此时OA⊥OC，OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB⊂平面AOB，所以OC⊥平面AOB，所以V三棱锥O—ABC＝V三棱锥C—OAB＝eq\f(1,3)OC·eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,6)R3sin∠AOB＝eq\f(2\r(3),