广东省肇庆市2025届高三第二次模拟数学试题（解析版）

第1页/共1页肇庆市2025届高中毕业班第二次模拟考试数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得集合，利用交集的意义可求解.【详解】，，则.故选：D.2.已知，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法法则求得复数，可求得.【详解】因为，所以，则.故选：C.3.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量的坐标，利用向量共线的条件的坐标表示得到方程，求解可得.【详解】因，，故，又，故得故选：A.4.小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得解.【详解】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件，小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则.故选：C.5.已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（）A.数列为等差数列 B.C.数列存在最大值 D.数列存在最大值【答案】D【解析】【分析】利用，可求通项公式判断AB；由可知单调性判断CD.详解】由可知，当时，，因为，所以，故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误.将的通项公式可得，故B错误.由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误.由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.故选：D.6.已知是锐角，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由联立可得.【详解】由得，由得，化简得，得故选：B.7.已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，求解可得双曲线方程.【详解】由题意知，解得，则双曲线方程为.故选：B.8.已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过球心在三棱锥内、外两种情况，结合勾股定理求得半径即可求解.【详解】如图，若球心在三棱锥内，设为底面的外接圆的圆心.球的半径为，则.因为，所以，解得..若球心三棱锥外，则，同理由解得，此时，不符合题意.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中是奇函数且是周期函数的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义和周期函数的定义即可判断.【详解】若，定义域为，则是奇函数，是周期函数，故A正确；若，则，故不是奇函数，故B错误；若，定义域为，则，故不是奇函数，故C错误；若，定义域为，则是奇函数，是周期函数，故D正确.故选：AD.10.如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（）A.若，则平面B.若，则点的轨迹长度为C.若，则存在，使D.若，则存在，使平面【答案】ABD【解析】【分析】对于选项，统一变量，结合向量的线性运算关系判断动点的位置可得出结果；C选项可做反解验证，以垂直为条件运算；D选项为探究，可假设存在，以线面垂直为条件求解验证判别.【详解】对于A，若，则，则点在线段上，如上图.因平面平面,且平面平面,平面平面,故因平面，平面,故平面，同理可证平面，因平面，平面,且,故有平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确；对于B，若，则（为的中点）如上图.又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确；对于C，若，则，所以，所以点在线段上（如上图）.假设，则，即，化简得，该方程无解，所以不存在，故C错误；对于D，如上图，设为的中点，当时，则，即，建立如图所示的空间直角坐标系.则,.所以.假设平面，则即解得.故D正确.故选:.11.已知函数有两个极值点，则（）A.或B.C.存在实数，使得D【答案】BD【解析】【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解；C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明；D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明；【详解】易知，令，则.令，则.设，由对勾函数的图象可知：当时，与的图象有两个交点，因为，故不成立，故A错误；设，则①，设为①式的两根，则，即②，③.由③式可知，所以，则，故B正确；解法1：由②式可知，令，则，则在上单调递减，所以，故，所以不存在实数使得，故C错误；解法2：，，，可得为区间的极小值点，则必有，故C错误；由③式可知，所以，要证，仅需证明成立.令，则.则在上单调递增，所以，故，故D正确.故选：BD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，所有项的系数和为__________.【答案】【解析】【分析】令，可得所有项的系数和.【详解】令，可得所有项的系数和为.故答案为：.13.已知函数，则的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】分别求出函数在各段上的最小值，再比较即可求出．【详解】当时，单调递减，所以.当时，在区间上单调递减，在区间上单调增，所以.综上所述，的最小值是.故答案为：.14.直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时，__________.【答案】【解析】【分析】直曲联立，可得方程两根的和与积，点坐标已知，表达与的斜率之积，可得定值，要求参数的范围，需要构建两根和与积之间的等量关系，与的斜率乘积代换即可实现.【详解】设，由可知.由知，，解得.，①，②.又，，即，化简得，将①②代入上式可得，解得或，满足.当时，直线经过椭圆右顶点，不合题意，舍去.综上所述.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.（1）求.（2）设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】小问1：若选条件①，应用正弦定理，对等式左侧采用角化边即可统一元素，结合余弦定理可得解；若选择条件②，等式右侧据正弦定理边化角，交叉相乘做恒等变换可得解；小问2：由面积公式，需求两边乘积和夹角，由三角形的内角和定理和内心的性质，可求出夹角，应用余弦定理求两边的乘积即可.【小问1详解】选择条件①：.由正弦定理得，所以.由余弦定理，得.因为，所以.选择条件②：因，所以，即.由正弦定理得，即.因为，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以.【小问2详解】连接，因为点是内心，所以.因为，所以，所以，所以.由余弦定理得，即，解得，所以.16.如图，在四棱锥中，底面平行四边形，平面，平面平面.（1）证明：平面.（2）若为的中点，求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质,在平面中,作,证明平面,再利用线面垂直证明；(2)求到平面的距离,首先需证明平面,转化为点到平面的距离,再利用建系法或者等体积法求解；【小问1详解】证明：如图,在平面内作,交于点.因为平面平面,平面平面平面,所以平面,则.因为平面,所以,因为平面,所以平面.【小问2详解】解：如图，连接交于点,连接.易知为的中位线,所以.因为平面平面,所以平面,所以到平面的距离,即为点到平面的距离.由（1）知平面,所以.因为,所以.又因为平面,所以两两垂直.因为,所以.法一（建系）：如图,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则,所以,.设平面的法向量为,则即取,则,所以平面的一个法向量为.则点到平面的距离,即到平面的距离为法二（几何）：因为平面,所以,因为平面,所以,所以是直角三角形.所以,因为是斜边的中点,所以.则.设点到平面的距离为,则,解得，即到平面的距离为.17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为.设为上并且位于第一象限的两点，满足.（1）若交轴于，且，求椭圆的离心率.（2）设为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先应用平行得出角的值，再结合计算得出离心率；（2）先设点，结合得出，最后由点在椭圆上计算得证.【小问1详解】因为，所以.所以，则，则，解得，则.【小问2详解】由（1）知，.设点，因为，所以存在，使，则.因为是的中点，所以.又因为三点共线，所以存在，使.令，则，则由点在椭圆上得，整理得，.因为点在椭圆上，所以，整理得.所以.【点睛】关键点点睛：证明的关键点是应用点在椭圆上得出计算化简求值.18.购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢种款式中的一种.（1）若种款式的盲盒各有一个.（i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率.（ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为，求的数学期望.（2）若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前次未抽出指定款式，则第次必定抽出指定款式.设为小刘抽到某指定款式所需的次数，求的数学期望（参考数据：，结果保留整数）.【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）根据条件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由题知的可能取值为，利用古典概率公式求出相应取值对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解；（2）根据条件，求出的分布列，进而求出，再利用错位相减法，即可求解.【小问1详解】（i）设小刘第次抽到特别喜欢的款式为事件.则小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率为.（也可以用）（ii）的可能取值为，则，所以的分布列为121920则.【小问2详解】记的可能取值为.因为前9次（包含第9次）没有保底，则，其中，，所以的分布列为12910则.记，则，两式相减，得，所以.【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，求得后，利用错位相减法求解.19.把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为.例如：函数列可以记为.记为的导函数.（1）若.证明：为等差数列.（2）已知定义在上的函数列满足，且对任意的，都有.（i）设，证明：的充要条件是.（ii）取定正数，使数列是首项和公比均为的等比数列，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得，利用等差数列的定义判断即可；（2）令，求导可得在上单调递增，可得当时，，（i）再证明充分性与必要性即可.（ii）由题意可得，只需证，构造函数，求