lry偏微分方程的推导1省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第2章偏微分方程2.1引言1第1页方程阶数：方程中出现偏导数最高阶数。线性方程：方程经过有理化并消去分式后，若方程中没有未知函数及其偏导数乘积或幂等非线性项。非线性方程：方程经过有理化并消去分式后，若方程中有未知函数及其偏导数乘积或幂等非线性项。拟线性方程：在非线性方程中，若仅对未知函数全部最高阶导数是线性。2第2页自由项：在线性方程中，不含未知函数及其偏导数项。齐次方程：自由项为零。非齐次方程：自由项不为零。一阶、线性、非齐次二阶、拟线性、齐次二阶、非线性、非齐次3第3页4第4页结论：偏微分方程通解包含有任意函数，或者说其通解形式是不确定。

所以解偏微分方程，普通不是先求通解，后由定解条件确定特解（只有少数情况例外），而是直接求特解。一个特定形式偏微分方程能够描述许多物理现象共性规律，它能够有很多不一样形式特解。所以可称为泛定方程。5第5页2.2二阶偏微分方程分类6第6页7第7页8第8页9第9页§2.3基本方程导出泛定方程建立也就是把物理规律“翻译”成数学物理方程。微元法：先选择表示系统运动状态物理量，再任取体系中一个小部分，分析这一部分所受作用，以及它在物理规律支配下所引发运动改变情况，导出泛定方程。一、弦横振动方程几个条件：均匀细绳：ρ为常数，作为一维空间来处理（细绳）；轻绳：忽略重力影响；柔软：横截面方向上无应力（无切变力），张力沿弦切线；微小振动：弦切线与x轴夹角α≈0或；横向振动：弦上各点振动方向垂直于振动传输方向.10第10页设弦平衡状态沿x方向，且在同一平面振动.因为是微振动：11第11页依据牛顿第二定律：12第12页——弦自由横振动方程或写成：13第13页受迫振动情况：力密度F(x,t)：单位长度弦所受横向外力.14第14页单位质量弦所受横向外力15第15页（二）热传导方程热传导：因为温度不均匀，热量从温度高向温度低地方转移.

热流通量：单位时间内经过单位横截面积热量.试验结果：

——哈密顿算符k——导热系数16第16页为系统（x,y,z）点在t时温度单位时间沿x方向流入小六面体热量：单位时间沿x方向流出小六面体热量：单位时间沿x方向净流入小六面体热量：17第17页同理，单位时间内沿y,z方向净流入小六面体热量分别是：单位时间内沿x,y,z方向净流入小六面体总热量分别是:18第18页单位时间内小六面体热量增加是:在各向同性条件下：19第19页——温度传导系数或写成：——热传导方程一维空间：二维空间：20第20页讨论：1、有热源存在情况下.热源强度F(x,y,z,t)：单位时间单位体积热源放出热量。f>0称为热源，f<0称为热汇.21第21页2、稳定温度分布.——泊松方程——拉普拉斯方程（f=0）22第22页§2.4数理方程定解条件一、初始条件初始条件：给出某一初始时刻整个系统已知条件1、传递过程（扩散、热传导）热传导（扩散）问题只须给出整个系统初始温度（浓度）分布，而振动问题必须给出整个系统初始位移何初始速度。2、振动过程（弦、杆振动）从数学上来看，振动方程中u对时间求二次导数，而传递问题中u或N只对时间一次导数。23第23页（二）边界条件边界条件：给出系统边界在各个时刻已知状态1、第一类边界条件：给出边界上u值，1）弦横振动两端固定

x=0端位移状态已知2）杆热传导两端处于恒温uo两端温度改变已知总之，这类边界条件直接要求了边界上数值（能够是随时间改变数值）.24第24页2、第二类边界条件：给出边界上u梯度值，1）杆纵振动（两端自由）2）杆热传导（两端绝热）x=0，单位时间内流出小薄层热量为：25第25页合并写成：杆热传导（两端有热流强度为f(t)热流流出）在x=0端26第26页在x=l

端合并写成：3、第三类边界条件：在这类边界条件，即不直接要求边界上数值，也不直接要求边界上法向导数数值，而是要求它们之间某个线性关系。27第27页杆热传导（两端按牛顿冷却定律与外界进行热交换）牛顿冷却定律：单位时间内经过单位横截面积与外界热交换流出热量为，H——牛顿冷却系数，

u——系统边界温度，

——外界温度.在x=0端将热流强度f

(t)写成牛顿冷却定律:28第28页在x=l

端合并写成：齐次边界条件给出上述值为零，则称为是齐次边条件，即f(t)=0.29第29页30第30页31第31页数学物理定解问题适定性

(1)解存在性

看所归结出来定解问题是否有解；(2)解唯一性

看是否只