《信号与系统》课件-第5章

第5章离散时间系统的时域分析5.1离散时间信号5.2离散时间系统5.3卷积和求零状态响应

5.1离散时间信号

5.1.1连续信号的取样

1.离散时间信号

离散时间系统的激励和响应也都是离散时间信号,表示这种信号的函数只在一系列互相分离的时间点上才有定义,而在其他点上则无定义,所以它们是离散变量tk的函数(或称序列)。

离散的函数值通常画成一条条的垂直线,如图5-1(a)所示,其中每条直线的端点才是实际的函数值。在数字技术中,函数的取样值并不是任意取值的,而必须将幅度加以量化,也就是幅度的数值只能在一组预定的数据中取值,如图5-1(b)所示。x(n)中的()表示变量n取整数。图5-1离散时间信号

2.信号的取样

对连续时间信号进行数字处理,必须首先对信号进行取样。进行取样的取样器一般由电子开关组成,其工作原理如图5-2和图5-3所示。图5-2取样原理图图5-3信号的取样上面实际取样所得出的取样信号在τ趋于零的极限情况下,将成为一冲激函数序列。这些冲激函数准确地出现在取样瞬间,它们的强度等于在取样瞬间的幅度,如图5-4所示,这就是理想取样信号。图5-4理想冲激取样信号波形理想取样同样可以看做是连续时间信号对脉冲载波的调幅过程,因而理想冲激取样信号y*(t)可以表示为(5-1)δ(t－nT)只有在t=nT时非零,因此,式(5-1)中x(t)值只有当t=nT时才有意义,故有(5-2)

3.取样定理

是不是所有时间间隔的理想取样都能反映原连续信号的基本特征呢？答案是否定的。例如,有一个连续信号y(t)=sint,如图5-5(a)所示,当取样间隔T=π秒时,所得的理想取样序列为y(nT)=sinnπ=0,其信号图如图5-5(b)所示;当取样间隔T=π/2秒时,所得的理想取样序列y(nT)=

,其信号图如图

5-5(c)所示;当取样间隔T=π/6秒时,所得的理想取样序列y(nT)=

,其信号图如图5-5(d)所示。图5-5y(t)=sint的信号图把连续的模拟信号经过取样、量化、编码、转变成离散的数字信号的过程称为模拟-数字转换(A/D转换);相反,把数字信号转变成模拟信号的过程称为数字-模拟转换(D/A转换)。利用这样的转换,可以把模拟信号转换成数字信号,如图5-6所示。图5-6模拟信号数据处理过程5.1.2离散时间信号的表示

序列x以x(n)表示第n个数值,n表示x(n)在序列x前后变量的序号,则x可以用公式表示为

x={x(n)}n∈(－∞,∞)

(5-3)

或表示为

x(n)n∈(－∞,∞)

离散时间信号也常用图形描述,如图5-7所示,用有限长线段表示数值大小。虽然横坐标画成一条连续的直线,但x(n)仅对于整数值n才有定义,而对于非整数值n没有定义,此时认为x(n)为零是不正确的。图5-7离散信号图形5.1.3序列间的运算

1.序列运算定义

1)相加

z(n)=x(n)+y(n)

(5-4)

式(5-4)中,z(n)是两个序列x(n)、y(n)对应项相加形成的新的序列。

2)相乘

z(n)=x(n)·y(n)

(5-5)

式(5-5)中,z(n)是两个序列x(n)、y(n)对应项相乘形成的新的序列。

3)标量相乘

z(n)=ax(n)

(5-6)

式(5-6)中,z(n)是x(n)每项乘以常数a形成的新的序列。

4)时移(时延、移序、移位、位移)

z(n)=x(n－m)m>0

(5-7)

式(5-7)中,z(n)是原序列x(n)每项右移m位形成的新的序列。

z(n)=x(n+m)m>0

(5-8)

式(5-8)中,z(n)是原序列x(n)每项左移m位形成的新的序列。

序列x(n－1)如图5-8所示。图5-8序列的右移序序列x(n+1)如图5-9所示。图5-9序列的左移序

5)折叠序列

z(n)=x(－n)

(5-9)

式(5-9)中,z(n)是原序列x(n)以纵轴为对称轴翻转180°形成的新的序列。

折叠位移序列

z(n)=x(－n±m)

(5-10)

式(5-10)中,z(n)是由x(－n)向右或向左移m位形成的新的序列。

折叠序列与折叠位移序列如图5-10所示。图5-10序列的折叠位移

6)尺度变换

y(n)=x(mn)

(5-11)

式(5-11)是x(n)序列每隔m点取一点形成的,即时间轴n压缩至原来的1/m。例如当m=2时,序列如图5-11所示。图5-11序列的压缩图5-12序列的扩展(5-12)式(5-12)是x(n)序列每一点加m－1个零值点形成的,即时间轴n扩展了原来的m倍。例如当m=2时,序列如图5-12所示。

2.序列运算符号表示

1)序列相乘

w(n)=x(n)·y(n)

表示两序列同一时刻的取值逐个对应相乘所形成的新序列,其运算符号如图5-13(a)所示。

2)序列相加减

w(n)=x(n)±y(n)

表示两序列对应的同一时刻取值逐一相加(或相减)所形成的新序列,其运算符号如图5-13(b)所示。

3)序列标乘

w(n)=ax(n)=y(n)

表示序列x的每个取样值同乘以常数a所形成的新序列,其运算符号如图5-13(c)所示。

4)序列延时

若序列y(n)满足取值y(n)=x(n－n0),则称序列y(n)是序列x(n)延时n0个取样间隔的结果,式中n0为整数。当n0=1时,称为单位延时。其运算符号如图5-13(d)所示。

5)序列分支

一个序列加到系统中两点或更多点的过程称为分支运算,其运算表示符号如图5-13(e)所示。图5-13离散时间序列的运算5.1.4常用的典型序列

1.单位序列的表达式

单位序列的表达式为(5-13)

2.单位阶跃序列的表达式单位阶跃序列的表达式为(5-14)当n<0时,其序列的值为0,而当n≥0时,序列的值都为1,其波形图如图5-14(a)所示,而u(－n)的波形图如图5-14(b)所示。图5-14u(n)、u(－n)波形图

【例5-1】

试用单位阶跃序列表示单位序列。

解由可知

【例5-2】

试用单位序列表示单位阶跃序列。

解因为显然可以把u(n)看作是由无穷多个单位取样序列叠加而成的,故(5-16)

【例5-3】

试用单位序列表示矩形序列解由图5-15所示的矩形序列图,明显可见图5-15矩形序列图一般情况下,序列x(n)可表示为(5-17)

5.2离散时间系统

5.2.1离散时间系统的差分方程

离散时间系统的基本运算有延时、乘法和加法,基本运算可以由基本运算单元实现。

1.离散时间系统基本运算单元的表示方法

离散时间系统基本运算单元可以用框图及流图表示。

(1)延时器框图及流图如图5-16所示。图5-16延时器框图及流图

(2)加法器框图及流图如图5-17所示。图5-17延时器框图及流图

(3)乘法器框图及流图如图5-18所示。图5-18乘法器框图及流图

2.离散时间系统的差分方程

线性时不变连续系统是由常系数微分方程描述的,而线性时不变离散系统是由常系数差分方程描述的。在差分方程中,包含有未知离散变量的y(n)、y(n+1)、

y(n+2)…y(n－1)、y(n－2)、…下面举例说明系统差分方程的建立方法。

【例5-4】

系统框图如图5-19所示,写出其差分方程。

解其差分方程为

(yn)=ay(n－1)+x(n)

或

y(n)－ay(n－1)=x(n)

(5-18)图5-19离散时间系统

【例5-5】

系统框图如图5-20所示,写出其差分方程。图5-20离散时间系统解差分方程为

y(n+1)=ay(n)+x(n)

或(5-19)这是一阶前向差分方程,与后向差分方程形式相比较,仅是输出信号的输出端不同。前者是从延时器的输入端取出,后者是从延时器的输出端取出。当系统的阶数不高,并且激励不复杂时,用迭代(递推)法可以求解差分方程。

【例5-6】

已知y(n)=ay(n－1)+x(n),且y(n)=0,n<0,x(n)=δ(n),求y(n)。

解

y(0)=ay(－1)+x(0)=δ(n)=1

y(1)=ay(0)+x(1)=a

y(2)=ay(1)+x(2)=a2

y(n)=anu(n)5.2.2零输入响应与零状态响应

在离散系统分析中,完全响应通常是零输入响应与零状态响应之和,即

y(n)=yzi(n)+yzs(n)

(5-20)

其中,零输入响应yzi(n)是由系统的初始状态引起的;零状态响应yzs(n)是当初始状态为零时,仅由系统的外加输入f(n)引起的。

1.一阶线性时不变离散系统的零输入响应

一阶线性时不变离散系统的齐次差分方程的一般形式为将差分方程改写为

y(n)－ay(n－1)=0

(5-21)

用递推迭代法,y(n)仅与前一时刻y(n－1)有关,以y(0)为起点

y(1)=ay(0)

y(2)=ay(1)=a2y(0)

y(3)=ay(2)=a3y(0)

…

当n≥0时,齐次方程解为

y(n)=y(0)an=Can

(5-22)

利用递推迭代法的结果,可以直接写出一阶差分方程解的一般形式,因为一阶差分方程的特征方程为

α－a=0

(5-23)由特征方程解出其特征根

α=a

与齐次微分方程相似,得到特征根a后,就得到一阶差分方程齐次解的一般模式为Can,其中C由初始条件y(0)决定。

2.N阶线性时不变离散系统的零输入响应

有了一阶齐次差分方程解的一般方法,将其推广至N阶齐次差分方程,有(5-24)N阶齐次差分方程的特征方程为(5-25)(1)当特征根均为单根时,特征方程可以分解为利用一阶齐次差分方程解的一般形式,可类推得N阶线性齐次差分方程的解是这N个线性无关解的线性组合,即(5-26)式中,C1、C2、…、CN由y(0)、y(1)、…、y(N－1)等N个边界条件确定。(5-27)矩阵形式为(5-28)即

[Y]=[V][C]

(5-29)其系数解为

[C]=[V]－1[Y]

(5-30)

(2)当特征方程中α1是m阶重根时,其特征方程为

(α－α1)m(α－αm+1)…(α－αN)=0

(5-31)

式(5-31)中,(α－α1)m对应的解为(C1+C2n+…Cmnm－1)αn1,此时零输入解的模式为

y(n)=(C1+C2n+…+Cmnm－1)αn1+Cm+1αnm+1+…+CNαnN(5-32)

式(5-32)中,C1、C2、…、CN由y(0)、y(1)、…、y(N－1)等N个边界条件确定。5.2.3离散信号卷积和

1.卷积和定义

已知定义在区间(－∞,∞)上的两个函数f1(n)和f2(n),则定义(5-33)为f1(n)与f2(n)的卷积和,简称卷积和,记为(5-34)

2.卷积和求解

(5-35)求卷积和的过程可分解为4步:

(1)换元:n换为k→f1(k),f2(k);

(2)翻转平移:由f2(k)翻转→f2(－k),右移n→f2(n－k);

(3)乘积:f1(k)·f2(n－k);

(4)求和:k从－∞到∞对乘积项求和。注意:n为参变量。

3.卷积和性质

(1)满足乘法的三大定律:交换律、分配律和结合律;

(2)f(n)*δ(n)=f(n),f(n)*δ(n－k0)=f(n－k0);

(3)f(n)*ε(n)=

;

(4)f1(n－k1)*f2(n－k2)=f1(n－k1－k2)*f2(n);

(5)

[f1(n)*f2(n)]=

f1(n)*f2(n)=f1(n)*

f2(n)。

4.求卷积和举例

【例5-7】

如图5-21复合系统由三个子系统组成,其中

h1(k)=ε(k),h2(k)=ε(k－5),求复合系统的单位序列响应h(k)。图5-21复合系统组成解根据h(k)的定义,有h(k)=[δ(k)*h1(k)－δ(k)*h2(k)]*h1(k)

=[h1(k)－h2(k)]*h1(k)

=h1(k)*h1(k)－h2(k)*h1(k)

=ε(k)*ε(k)－ε(k－5)*ε(k)

=(k+1)ε(k)－(k+1－5)ε(k－5)

=(k+1)ε(k)－(k－4)ε(k－5)5.2.4单位响应

由单位序列δ(n)所引起的零状态响应称为单位响应,记为h(n)。

【例5-8】

已知某系统的差分方程为y