浙江省杭州市江干区杭四吴山2024-2025学年高一上学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市江干区杭四吴山2024-2025学年高一上学期期中数学试题一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设，则.故选：A.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命题“”的否定是“”.故选：C.3.已知函数，则的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，即的定义域为，对于，有，则，即定义域为.故选：D.4.下列函数中，在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，幂函数的定义域为，且在0,+∞上单调递增，，即为偶函数，所以在上单调递减，故A错误；对于B，的定义域为，且和均在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；对于C，的定义域为，故C错误；对于D，的定义域为，故D错误.故选：B.5.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为，，所以函数为奇函数，故排除B和C；当时，，故排除A.故选：D.6.已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为的定义域为，所以，图象的开口方向向上，对称轴方程为，当时，，即，所以在单调递减，的最大值为，最小值为，不合题意；当时，，即，所以在单调递减，在单调递增，又的最大值为，所以，即，整理得，解得或，又，所以，所以实数的取值范围是.故选：B.7.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（…为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（）A.54小时 B.72小时C.108小时 D.144小时【答案】D【解析】由题知，即，解得，则，令，则，所以该食品在0℃的保鲜时间是144小时.故选：D.8.已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（）A.B.若，则C.若，则D.，使得【答案】C【解析】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递减，所以在单调递增，又，所以，所以当时，；当时，.对于A，，故A正确；对于B，若，则，即，解得或，故B正确；对于C，若，则或，即或，解得或，故C错误；对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的，且在上单调递减，在单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分.9.已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】A：，又，所以，则，即，对；B：，且，而符号不定，所以符号不定，错；C：由题设，若，则，错；D：，则，对.故选：AD.10.已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（）A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】由题设得，故，则定义域为，故为非奇非偶函数，且在上单调递增，A对，B错，当，则，C对；当，则，所以，即，D对.故选：ACD.11.已知函数，恒成立，则的取值可以为（）A. B.2 C.5 D.8【答案】BC【解析】的定义域为，因为，所以，，所以，即，所以恒成立，即恒成立，解得.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有________个.【答案】【解析】因为集合中有52个元素，所以集合的非空真子集的个数为.故答案为：.13.数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数（且）的图象必过定点_________.【答案】【解析】由，故函数图象必过定点.故答案为：.14.正实数，满足，则的最小值为________．【答案】【解析】依题意，因为，所以，所以，即，当且仅当，即,故取等号，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）若，求，；（2）若，求的取值范围.解：（1）若，则，所以，或；（2）若，①当时，，解得；②当时，，解得，综上，，所以的取值范围为.16.（1）已知是一次函数，且满足，求；（2）已知，求；（3）已知函数，求；解：（1）令，又，所以，所以，故；（2）由题设，联立，所以，则，故；（3）由题设，时，时，时，所以.17.已知函数，.（1）若过点，求；（2）若，当时，函数单调递增，求a的取值范围；（3）当时，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围.解：（1）由题意，解得，所以当时，，则.（2）根据题意得，由函数在上单调递增，则有，解得，故a的取值范围是.（3）由，由题意函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，则方程在内有解.当，则，则，令，，其中，当时，，由零点存在性定理可知，在内存在零点，即方程在内有解，满足题意；当，，满足题意；由上分析可知，当时，方程在内有解，故在内有解，即函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称.①下面证明：当时，方程，即在内无解.由，得，则；令，，由，且，在同一直角坐标系中，作出两函数的大致图象，由图象可知，当时，；则，故当时，方程在内无解；②下面证明：当时，方程在内也无解.当x∈0,2，则则，设，x∈0,2由，得，则；令，，由，且，同理，作出函数的图象，由图象可知，当x∈0,2时，则.故当时，方程在内无解.综上所述，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，则a的范围是.18.已知奇函数经过点.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；（3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.解：（1）因为为奇函数，所以，即，所以，得，所以，，因为函数经过点，所以，解得，所以；（2），，，因为，，所以，所以，即，所以函数在上单调递增；（3）因为存在，使得不等式成立，则，由（2）知，函数在上单调递增，且奇函数，所以函数在上单调递增，所以当时，；令，，的图象开口方向向上，对称轴方程为，当时，，所以，解得或，所以；当时，，所以，解得或，所以，综上，或，所以实数m的取值范围为.19.设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”.（1）若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；（2）若集合是“等差集”，求m的值；（3）已知正整数，证明：不是“等差集”.（1）解：因为，且B是“等差集”，所以B至少含有三个元素，根据“等差集