河北省2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由解得，由解得，所以，，所以,故选：B.2.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为均在上单调递增，则在上单调递增，由已知，，，，，，由零点存在性定理可得函数的零点所在区间是.故选：C.3.“”是“是幂函数”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若是幂函数，则，得，所以“”是“是幂函数”的充要条件，故选：B.4.小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得扇形的圆心角，扇形半径，则扇形面积故选：A.5.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以，，的大小关系是.故选：A.6.已知函数（，且）的图象过定点，且角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，，则点的坐标为，根据三角函数的定义，所以．故选：B.7.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，解得.所以函数的定义域为，又的对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是.故选：B.8.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（）（参考数据：）A.1.921 B.1.301 C.1.875 D.1.079【答案】A【解析】由题意可得.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A B.C. D.【答案】AC【解析】由，，得，A正确；当时，，B错误．因为是增函数，，所以，C正确；因为是减函数，，所以，D错误；故选：AC.10.对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】令，即.因为，所以无解，则不是“不动点”函数，A不正确；令，即，即.因为，所以有两个不同的非零实根，则是“不动点”函数，B正确；令，即，易知是方程的一个解，则是“不动点”函数，C正确；当时，令，即，解得或，则方程在上无解；当时，，则方程在上无解.故不“不动点”函数，D不正确；故选：BC.11.若函数，则下列结论正确的是（）A.的值域为B.在上单调递增C.的图象关于点对称D.若方程在上有2个不同的实数解，则的取值范围为【答案】ACD【解析】因为，的值域为，故A正确．由，得，所以在上先增后减，故B错误．因为，所以的图象关于点对称，故C正确．由，得，由，得，由正弦函数的图象可得，解得，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示）【答案】【解析】与角终边相同的最小正角是，即，故答案为：.13.函数的最小值为________．【答案】1【解析】由得，则定义域为．因为在上都是增函数，所以在上是增函数，所以的最小值为．故答案为：1.14.如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为__________时，总运费最低．【答案】【解析】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为．由题意得，则总运费，要使总费用最低，只需最小即可．设，则，得，则，得．当时，总费用最低，则，得，所以当地到地的距离为时，总运费最低．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）求的值；（2）若，求的值．解:（1）．（2）．16.已知函数（，且）的图象过点，．（1）求，的值；（2）求不等式的解集．解：（1）因为函数的图象过点，，所以，解得.（2）由（1）得，由，得，所以，所以或，解得或，即不等式的解集为.17.已知．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由解得，所以．（2）由，得，则，所以．18.已知是定义在上的偶函数，在上单调递增．（1）求．（2）若，，证明：．（3）求不等式的解集．解：（1）因为是定义在上的偶函数，所以，解得.（2）由（1）得，由，得，，因为在上单调递增，所以，所以，又是定义在上的偶函数，所以．（3）由且是定义在上的偶函数，在上单调递增得，解得，即不等式的解集为．19.将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象．（1）求的解析式；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围；（3）若函数在上有3个零点，求的取值范围．解：（1）由