2024-2025学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法教学实录 新人教A版选修4-5

2024-2025学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法教学实录新人教A版选修4-5学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本节课旨在让学生掌握比较法证明不等式的基本方法，通过引入具体的实例，引导学生逐步理解和运用比较法，培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的能力。教学内容与新人教A版选修4-5相关，符合高中数学教学实际，旨在提高学生数学素养。核心素养目标学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了高中数学中的不等式概念、性质以及基本运算，对不等式的初步理解和应用已有一定的基础。此外，他们可能已经接触过一些简单的证明方法，如综合法、分析法等。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学证明类题目普遍存在一定兴趣，尤其是逻辑推理和证明的过程。学生的能力差异较大，部分学生具备较强的逻辑思维能力和证明技巧，而部分学生可能对证明过程感到困惑。学习风格方面，部分学生偏好通过实例和练习来学习，而另一部分学生可能更倾向于理论分析和思考。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习比较法证明不等式时，可能会遇到以下困难和挑战：（1）对不等式性质的理解不够深入，导致无法正确运用性质进行证明；（2）逻辑思维能力不足，难以构建严密的证明过程；（3）对比较法的应用不够灵活，难以解决不同类型的不等式证明问题。因此，本节课需要针对这些困难提供有效的教学策略和支持。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，首先通过讲解比较法的基本原理和步骤，引导学生理解其核心思想。随后，组织学生进行小组讨论，鼓励他们运用所学知识解决具体的不等式证明问题。

2.设计案例研究，选取具有代表性的不等式证明案例，让学生分析其证明过程，培养学生的分析能力和问题解决能力。

3.利用多媒体教学手段，展示不等式证明的动画过程，帮助学生直观理解证明步骤。同时，通过在线练习平台，提供丰富的练习题，让学生在课后巩固所学知识。教学流程1.导入新课

详细内容：首先，通过提问的方式回顾上一节课学过的不等式性质和基本运算，引导学生思考如何证明不等式。接着，展示一些生活中常见的应用不等式证明的实例，如商品打折、工程预算等，激发学生的学习兴趣。最后，提出本节课的学习目标：掌握比较法证明不等式的基本方法。

用时：5分钟

2.新课讲授

详细内容：

（1）介绍比较法的基本原理和步骤，通过举例说明如何运用比较法证明不等式。

（2）讲解比较法在证明不等式中的应用，如利用作差法、作商法等。

（3）分析比较法证明不等式的优点和局限性，让学生了解其适用范围。

用时：10分钟

3.实践活动

详细内容：

（1）布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

（2）分组进行小组讨论，让学生尝试运用比较法证明不等式，互相交流心得。

（3）邀请学生展示自己的证明过程，教师点评并总结。

用时：15分钟

4.学生小组讨论

写3方面内容举例回答：

（1）如何运用作差法证明不等式？

举例回答：假设有两个不等式a>b和c>d，要证明ac>bd，可以构造不等式a-b>0和c-d>0，然后通过乘法原理得到ac-bd>0，即ac>bd。

（2）如何运用作商法证明不等式？

举例回答：假设有两个不等式a>b和c>d，要证明ac>bd，可以构造不等式a/c>b/d，然后通过交叉相乘得到ad>bc，进而得到ac>bd。

（3）如何处理含有绝对值的不等式证明？

举例回答：假设有两个不等式|a|>|b|和|c|>|d|，要证明ac>bd，可以分两种情况讨论：当a和c同号时，直接利用不等式性质；当a和c异号时，构造不等式a/c>b/d，然后通过交叉相乘得到ad>bc，进而得到ac>bd。

用时：15分钟

5.总结回顾

内容：首先，对本节课所学内容进行梳理，强调比较法证明不等式的基本原理和步骤。然后，针对本节课的重难点进行讲解，如作差法、作商法在证明不等式中的应用，以及如何处理含有绝对值的不等式证明。最后，布置课后作业，要求学生巩固所学知识。

用时：5分钟

总计用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

（1）不等式的性质与运算法则的深入学习，包括不等式的传递性、可乘性、可除性等性质，以及如何在不等式两边同时乘以或除以同一个正数或负数。

（2）特殊不等式的证明，如均值不等式、柯西不等式等，以及它们在数学和物理中的应用。

（3）不等式证明的代数方法，如换元法、放缩法等，这些方法在解决复杂不等式证明问题时非常有用。

（4）不等式在几何中的应用，例如利用不等式解决几何图形的面积、体积、角度等问题。

2.拓展建议：

（1）鼓励学生阅读有关不等式证明的数学杂志或书籍，如《数学通报》、《中学数学教学参考》等，以获取更多关于不等式证明的实例和技巧。

（2）推荐学生观看数学教育视频或在线课程，如《数学之美》系列视频，这些资源能够以不同的角度帮助学生理解不等式证明。

（3）组织学生参与数学竞赛或挑战，如美国数学竞赛（AMC）、加拿大数学竞赛（CMM）等，这些活动能够激发学生的学习兴趣，提高他们的数学思维能力。

（4）指导学生进行小组研究项目，选择一个与不等式证明相关的问题进行研究，通过查阅资料、讨论和实验，提高他们的综合运用数学知识的能力。

（5）建议学生利用数学软件，如Mathematica、MATLAB等，来模拟不等式证明的过程，这有助于他们直观地理解复杂的数学概念。

（6）鼓励学生参加数学兴趣小组或俱乐部，与志同道合的同学一起讨论数学问题，分享学习心得，共同进步。

（7）建议学生阅读数学家的传记或相关数学史书籍，了解数学家们在研究不等式证明时遇到的挑战和解决方案，激发他们的学习动力和探索精神。课堂1.课堂评价：

（1）提问环节：在讲授过程中，通过提问的方式检查学生对基本概念和定理的理解程度。例如，提出与比较法证明不等式相关的问题，如“如何通过比较法证明一个不等式？”来检验学生对概念的理解和应用能力。

（2）观察学生参与度：在小组讨论和实践活动环节，观察学生的参与情况，包括他们是否积极参与讨论、是否能够正确运用比较法进行证明等。

（3）随堂测试：在课堂的最后阶段，进行简短的随堂测试，测试学生对于本节课重点知识的掌握情况。测试可以包括选择题、填空题和简答题，旨在全面评估学生的理解水平。

（4）实时反馈：在课堂教学中，及时给予学生反馈，对于学生的正确答案给予肯定，对于错误答案进行分析，帮助学生纠正错误。

（5）课堂讨论引导：通过引导学生讨论和思考，评估学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。例如，在讨论如何运用比较法解决一个具体问题时，观察学生是否能够提出合理的假设和推理过程。

2.作业评价：

（1）作业批改：对学生的作业进行认真批改，包括书面作业和在线作业。批改时注意作业的完整性、正确性和创新性。

（2）个性化反馈：在批改作业时，针对每个学生的具体问题给予个性化的反馈，指出错误的原因，并提供改进建议。

（3）定期回顾：定期回顾学生的作业完成情况，了解学生是否能够持续改进，是否能够将课堂所学知识应用于实际问题中。

（4）作业展示：鼓励学生在课堂上展示自己的作业，通过同学之间的互相评价，提高学生的自信心和表达能力。

（5）作业分析与讨论：在作业批改的基础上，组织学生进行作业分析与讨论，让学生分享自己的解题思路，同时也从他人的解题方法中学习，提高解题能力。板书设计①比较法证明不等式的基本原理

-比较法定义

-比较法步骤

-比较法适用范围

②比较法证明不等式的具体方法

-作差法

-作商法

-放缩法

③比较法证明不等式的实例分析

-实例1：证明不等式\(a^2+b^2\geq2ab\)

-实例2：证明不等式\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2\)

-实例3：证明不等式\(\ln(x+1)\leqx\)（\(x>0\)）反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.互动式教学：在课堂中，我尝试引入更多互动环节，比如小组讨论和角色扮演，让学生在参与中学习，这样可以提高他们的积极性，同时也锻炼了他们的团队协作能力。

2.案例教学法：我尝试结合实际生活中的案例来讲解不等式证明，这样不仅使抽象的数学知识变得具体，还能让学生体会到数学的应用价值。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生参与度不足：虽然我引入了互动环节，但部分学生仍然显得不够活跃，这可能是因为他们对某些内容不够感兴趣或者缺乏信心。

2.评价方式单一：目前我的评价主要依赖于作业和测试，这可能无法全面反映学生的学习情况，尤其是那些在课堂表现上不那么突出但私下努力的学生。

3.课堂节奏把握不够：有时候我发现课堂节奏过快或者过慢，这影响了学生对知识的吸收和理解。

反思改进措施（三）

1.提高课堂互动性：为了提高学生的参与度，我计划在课堂上更多地使用提问和小组讨论，同时鼓励学生提出问题和分享自己的想法。

2.多元化评价方式：我打算采用更加多元化的评