湖北省十堰市丹江口市第二中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

湖北省十堰市丹江口市第二中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线的斜率为（）A. B. C. D.-32.椭圆的短轴长为（）A. B. C. D.3.从标有1，2，3，4，5的五张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之和是6的概率为（）A. B. C. D.4.已知平面α的一个法向量为，则AB所在直线l与平面α的位置关系为（）.A. B.C. D.l与α相交但不垂直5.高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（）A. B. C. D.6.已知等比数列满足，，则数列前8项的和（）A. B. C. D.7.如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE为直角梯形，DE∥BC，∠CDE＝90°，BC＝3，CD＝DE＝2，AD＝4．则点E到平面ABC的距离为（）A. B. C. D.28.折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起游于公元1世纪或者2世纪时的中国，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.如图，现有一半径为4的圆纸片(A为圆心，B为圆内的一定点)，且，如图将圆折起一角，使圆周正好过点B，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到A，B两点距离之和最小的点为P，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C.在C上任取一点M，则△MAB面积的最大值是（）A.2 B.3 C. D.二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分；全部选对得6分，多选对多得分，选错得0分）9.已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若B发生时A一定发生，则B.若A与B互斥，则A和B都不发生的概率为0.5C若，则A与B相互独立D.若A与B相互独立，则10.下列选项正确的是（）A.若直线与平行，则与的距离为B.过点且和直线平行的直线方程是C.“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件D.直线的倾斜角的取值范围是11.已知A，B为双曲线的左、右顶点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2且焦点到渐近线的距离为为双曲线上不同于顶点的动点，则下列选项正确的是（）A.双曲线的方程为B.直线与双曲线有两个交点C.直线PA，PB的斜率之积为3D.若，则的面积为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.双曲线的右焦点到渐近线的距离为_______.13.如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则__________.14.设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则的最小值为______四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某校高一年级设有篮球训练课，期末对学生进行篮球四项指标（往返运球上篮、一分钟投篮、四角移动、比赛）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．（1）由频率分布直方图，求出图中t值，并估计考核得分的第40百分位数；（2）为了提升同学们的篮球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少一人来自的概率．16.已知等比数列的各项满足，若，且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．17.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下图．（Ⅰ）求证：A1OBD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；18.已知的圆心在轴上，且经过点和．（1）求的标准方程；（2）过点的直线与交于两点．①若，求直线的方程；②求弦最短时直线的方程．19.已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值；（3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点．参考答案1-8【答案】C【答案】B【答案】A【答案】A【答案】B【答案】D【答案】C【答案】D9.【答案】BCD10.【答案】AD11.【答案】AC12.【答案】213.【答案】14.【答案】##15.【答案】（1），77.5．（2）．16.【答案】（1）（2）17.（Ⅰ）因为，分别为中点，故可得，故为等腰三角形，又为中点，故可得，又因为平面A1DE平面BCED，且交线为，又平面，故平面，又平面，故.即证.（Ⅱ）过作，由（Ⅰ）可知平面，又平面，故可得，又因为//，故可得.综上所述：两两垂直，故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：故可得，则设平面的法向量为，故可得，即，取，可得.故.又，故可得设直线A1C和平面A1BD所成角为，故可得.则直线A1C和平面A1BD所成角正弦值为.18.【小问1详解】设圆心坐标为，依题意可得：，解得；则该圆的圆心为，半径为；故的标准方程为：；【小问2详解】①由过点的直线与交于两点，设圆心到直线的距离为,由，可得，；当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，解得，故直线的方程为，即.综上可知，直线的方程为或；②依题意可知点在圆内，如下图所示：设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，显然当取得最大值时，即时，此时，即当时，弦最短，易知，因此直线的斜率为，可得直线的方程为，即.19.【小问1