2024-2025学年高一数学人教B版必修第四册教学课件 第十一章-11.1.5旋转体

11.1.5旋转体第十一章1.会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台、球，理解相关概念，了解用集合的观点定义球.2.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题.3.会构造与球的截面圆相关的直角三角形，了解球面距离，知道球的表面积计算公式.4.了解组合体的概念，培养通过分解、组合或割补等方法处理不规则几何体的能力.学习目标重点：对旋转体概念的再认识.难点：球面距离的概念和应用，应用旋转体的轴截面解决问题，组合体的分解与合成.圆柱可看成以

所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.一、圆柱、圆锥、圆台矩形的一边圆锥可看成以

所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.圆台可看成以

所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.直角三角形一直角边直角梯形垂直于底边的腰圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体，其中，旋转轴称为旋转体的

，在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的

，垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的

，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的

.而且，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为

.在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为

.轴高底面侧面母线轴截面圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的

（或全面积）.圆柱的侧面展开图是一个

，圆锥的侧面展开图是一个

，所以，如果知道它们的底面半径以及母线长，就可以算出它们的侧面积与表面积.圆台来说，侧面展开图如图所示，其面积可看成两个扇形的面积之差.矩形表面积扇形球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的

；球面围成的几何体，称为球.形成球面的半圆的圆心称为球的球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径.一个球可以用表示它的球心的字母来表示，如图中的球可表示为球O.二、球曲面平面α截球面所得到的交线是以O′为圆心，以

为半径的一个圆.球的截面是一个圆面（圆及其内部）.球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.如果球的半径为R，那么球的表面积为

.

例1一旋转体的结构特征如图所示的几何体中是圆台的为

（填序号）.

①

②

③【解析】

①符合圆台的结构特征，是圆台；②不是圆台，因为它的上、下两个底面不平行；③是由两个圆台组合而成的，不符合圆台的结构特征，不是圆台.【答案】①例2有下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线；②以直角三角形的一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥；③圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；④以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周形成的几何体是圆台；⑤在圆台上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线是圆台的母线.其中正确的有

个.【解析】

①不符合圆柱母线的定义，故①错.②只有绕直角三角形的一直角边所在的直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥.而当以斜边所在的直线为轴旋转一周时，旋转形成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个共底面的圆锥组成的几何体，故②错.③符合圆锥母线的定义，正确.④以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴旋转一周形成的几何体是圆台，故④错.⑤不符合圆台母线的定义，故⑤错.【答案】11.变式训练下列说法正确的是

.（填序号）①圆锥的母线长一定等于底面圆直径；②圆柱的母线与轴垂直；③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；④圆台的母线与轴平行；⑤圆锥可以看成圆柱的上底面收缩到圆心时形成的空间几何体；⑥等腰直角三角形绕底边中线所在的直线旋转半周形成的几何体是圆锥；⑦用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫圆台.③⑤⑥2.判断下列各命题是否正确.如果不正确，请说明理由.①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③到定点的距离等于定长的点的集合是球.变式训练【解】①不正确.理由：直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.②正确.③不正确.理由：到定点的距离等于定长的点的集合是球面.解题归纳圆柱、圆锥、圆台和球都是由一个平面图形绕其特定边（弦）所在直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.只有理解了各旋转体的形成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.例二

球在下列说法中，正确的是

（填序号）.①空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球；②空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面；③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球；④球的对称轴有无数条；⑤用平面截球，随着平面的角度不同，截面可能不是圆面.【解析】

①错，空间中到定点的距离小于或等于定长的点的集合构成球；②正确；③正确；④正确；⑤错.【答案】

②③④例三旋转体的结构特征图中的几何体可由一平面图形绕轴旋转360°形成，该平面图形是

（）

ABCD【解析】

由旋转体可知，上部是圆锥，下部是圆台，该几何体可由一平面图形绕轴旋转360°形成，此平面图形是A.【答案】A变式训练下列平面图形中，可以通过围绕定直线l旋转得到如图所示几何体的是

（）ABCDB例三简单组合体的结构特征如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的曲面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.【解题提示】关键是弄清简单组合体由哪几部分组成.【解】如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分形成的几何体.解题归纳简单组合体的判断方法对于不规则平面图形绕轴旋转的问题，首先要将原平面图形分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形，然后结合圆柱、圆台、圆锥、球的形成过程进行分析.变式训练描述如图所示的几何体的结构特征.【解】题图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；题图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的几何体；题图③所示的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的几何体.①②③四圆柱、圆锥、圆台的表面积例如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

解题归纳圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤（1）得到空间几何体的平面展开图.（2）依次求出各个平面图形的面积.（3）将各平面图形的面积相加.五旋转体中的计算问题例一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求圆台的高.

解题归纳旋转体中基本量的计算方法求解圆柱、圆锥、圆台中的基本量时，我们一般是作出旋转体的轴截面，通过构造直角三角形或直角梯形求解.变式训练圆台的两底面面积分别为π，49π，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.【解】画出圆台的轴截面，如图所