鲁京津琼专用2025版高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12.1随机事件的概率与古典概型教案含解析

PAGEPAGE1§12.1随机事务的概率与古典概型最新考纲1.在详细情境中，了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区分.2.通过实例，了解两个互斥事务的概率加法公式.3.通过实例，理解古典概型及其概率计算公式.4.会用列举法计算一些随机事务所含的基本领件数及事务发生的概率．1．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的频率．(2)对于给定的随机事务A，由于事务A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．2．事务的关系与运算定义符号表示包含关系假如事务A发生，则事务B肯定发生，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事务(和事务)若某事务发生当且仅当事务A发生或事务B发生，称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A＋B)交事务(积事务)若某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)互斥事务若A∩B为不行能事务(A∩B＝∅)，则称事务A与事务B互斥A∩B＝∅对立事务若A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务，那么称事务A与事务B互为对立事务A∩B＝∅，P(A)＋P(B)＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必定事务的概率P(E)＝1.(3)不行能事务的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事务的概率若事务A与事务B互为对立事务，则P(A)＝1－P(B)．4．基本领件的特点(1)任何两个基本领件是互斥的；(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成基本领件的和．5．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；(2)每个基本领件出现的可能性相等．6．假如一次试验中可能出现的结果有n个，而且全部结果出现的可能性都相等，那么每一个基本领件的概率都是eq\f(1,n)；假如某个事务A包括的结果有m个，那么事务A的概率P(A)＝eq\f(m,n).7．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数).概念方法微思索1．随机事务A发生的频率与概率有何区分与联系？提示随机事务A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事务A发生的频率稳定在事务A发生的概率旁边．2．随机事务A，B互斥与对立有何区分与联系？提示当随机事务A，B互斥时，不肯定对立，当随机事务A，B对立时，肯定互斥．3．任何一个随机事务与基本领件有何关系？提示任何一个随机事务都等于构成它的每一个基本领件的和．4．如何推断一个试验是否为古典概型？提示一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事务发生的频率与概率是相同的．(×)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(3)两个事务的和事务是指两个事务都得发生．(×)(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(×)(5)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．(×)题组二教材改编2．一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的对立事务是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶答案D解析“至少有一次中靶”的对立事务是“两次都不中靶”．3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5)D.eq\f(2,3)答案A4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．答案eq\f(5,6)解析掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).题组三易错自纠5．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面对上恰有5次”是()A．必定事务 B．随机事务C．不行能事务 D．无法确定答案B解析抛掷10次硬币，正面对上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面对上5次是随机事务．6．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从今袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事务发生的概率为________．答案eq\f(1,4)解析由题意知(a，b)的全部可能结果有4×4＝16(种)，7．(2024·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事务A＝{抽到一等品}，事务B＝{抽到二等品}，事务C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事务“抽到的产品不是一等品”的概率为______．答案0.35解析∵事务A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事务“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.题型一随机事务命题点1随机事务的关系例1(1)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事务“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事务是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡答案A解析“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事务，它是“2张全是移动卡”的对立事务．(2)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形态相同的小球，从中取出两个球，事务A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列推断中正确的序号为____________．①A与D为对立事务；②B与C是互斥事务；③C与E是对立事务；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．答案①④解析当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事务C与E都发生，③不正确；明显A与D是对立事务，①正确；C∪E为必定事务，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正确．命题点2随机事务的频率与概率例2(2024·全国Ⅲ)某超市安排按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购安排，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的全部可能值，并估计Y大于零的概率．解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的全部可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.命题点3互斥事务与对立事务例3一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事务求概率)记事务A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12).依据题意知，事务A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事务的概率公式，得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).方法二(利用对立事务求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事务为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事务为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)因为A1∪A2∪A3的对立事务为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).思维升华(1)推断互斥、对立事务的方法推断互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥事务；两个事务若有且仅有一个发生，则这两个事务为对立事务，对立事务肯定是互斥事务．(2)求困难事务的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事务是由哪些事务组成的，求解时通常有两种方法①将所求事务转化成几个彼此互斥的事务的和事务，利用概率加法公式求解概率．②若将一个较困难的事务转化为几个互斥事务的和事务时，须要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事务的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事务的概率．跟踪训练1(1)某保险公司利用简洁随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120①若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解①设A表示事务“赔付金额为3000元”，B表示事务“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.②设C表示事务“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司(2)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：①至多2人排队等候的概率；②至少3人排队等候的概率．解记“无人排队等候”为事务A，“1人排队等候”为事务B，“2人排队等候”为事务C，“3人排队等候”为事务D，“4人排队等候”为事务E，“5人及5人以上排队等候”为事务F，则事务A，B，C，D，E，F彼此互斥．①记“至多2人排队等候”为事务G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.②记“至少3人排队等候”为事务H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.题型二古典概型例4(1)(2024·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的状况如图：基本领件总数为25，第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的事务数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).(2)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质随意排成一列，设事务A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事务A发生的概率为________．答案eq\f(1,12)解析五种不同属性的物质随意排成一列的全部基本领件数为Aeq\o\al(5,5)＝120，满意事务A＝“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本领件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，其次个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当其次个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)＝10(种)可能，所以事务A出现的概率为eq\f(10,120)＝eq\f(1,12).思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本领件的总数和事务A包含的基本领件的个数，这就须要正确列出基本领件，基本领件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，详细应用时可依据须要敏捷选择．跟踪训练2(1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的全部不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙获得“手气最佳”的全部不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．依据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)(2024·自贡模拟)已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是()A.eq\f(5,12)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)答案A解析∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴基本领件总数n＝3×4＝12.函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②当a≠0时，须要满意eq\f(b,a)≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝eq\f(5,12).题型三古典概型与统计的综合应用例5某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)依据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，依据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．解(1)由题意知，样本数据的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(4＋6＋12＋12＋18＋20,6)＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×eq\f(1,3)＝30(个)．(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能状况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事务M，则事务M包含的可能状况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，故所求概率P(M)＝eq\f(8,15).思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是干脆描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，精确从题中提炼信息是解题的关键．跟踪训练3从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，其次组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的全部男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9，(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190,195]的男生有两名，设为A，B.若x，y∈[180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种状况；若x，y∈[190,195]，只有AB1种状况；若x，y分别在[180,185)，[190,195]内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种状况，所以基本领件的总数为6＋8＋1＝15，事务|x－y|≤5包含的基本领件的个数为6＋1＝7，故所求概率为eq\f(7,15).概率与统计例(12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．规范解答解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.[6分](2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的全部基本领件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．[8分]每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本领件的出现是等可能的．记事务D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事务D包含的基本领件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝eq\f(4,15)，[11分]即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(4,15).[12分]求概率与统计问题的一般步骤第一步：依据概率统计的学问确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型；其次步：将全部基本领件列举出来(可用树状图)；第三步：计算基本领件总数n，事务A包含的基本领件数m，代入公式P(A)＝eq\f(m,n)；第四步：回到所求问题，规范作答．1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是()A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球答案D解析对于A，事务“至少有一个黑球”与事务“都是黑球”可以同时发生，∴A不正确；对于B，事务“至少有一个黑球”与事务“都是红球”不能同时发生，但肯定会有一个发生，∴这两个事务是对立事务，∴B不正确；对于C，事务“至少有一个黑球”与事务“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球，一个黑球，∴C不正确；对于D，事务“恰有一个黑球”与事务“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事务是互斥事务但不是对立事务，∴D正确．2．(2024·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲获胜的概率是eq\f(1,3)，则甲不输的概率为()A.eq\f(5,6)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)答案A解析事务“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事务，所以甲不输的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45答案D解析设[得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.4．(2024·钦州期中)依据某医疗探讨所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人须要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为()A．15%B．20%C．45%D．65%答案D解析因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.5．(2024·济南模拟)某商场实行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形态、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，随意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)答案C解析从装有形态、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，随意取出两球共Ceq\o\al(2,5)＝10种取法，取出的两球颜色相同共Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝4种取法，∴中奖的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故选C.6．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为()A.eq\f(11,36)B.eq\f(7,36)C.eq\f(7,11)D.eq\f(7,10)答案C解析先后两次出现的点数中有5的状况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的状况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事务的概率P＝eq\f(7,11).7．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为________．答案eq\f(1,12)解析从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，有n＝eq\f(9×8,2)＝36(种)情形，其中一个数是另一个数的3倍的事务有{1,3}，{2,6}，{3,9}，共3种情形，所以由古典概型的概率计算公式可得其概率是P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).8.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果不超过乙的平均成果的概率为________．答案0.3解析依题意，记题中被污损的数字为x，若甲的平均成果不超过乙的平均成果，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，解得x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成果不超过乙的平均成果的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3.9．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为________．答案eq\f(10,21)解析种)取法，所以所取的球恰有1个白球、1个红球的概率为eq\f(50,105)＝eq\f(10,21).10．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是________．答案eq\f(1,3)解析设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).11．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)方法一设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的全部基本领件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本领件的出现是等可能的．记事务D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事务D包含的基本领件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝eq\f(4,15)，即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(4,15).方法二这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(3＋1,15)＝eq\f(4,15).12.(2024·山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.嘉奖规则如下：①若xy≤3，则嘉奖玩具一个；②若xy≥8，则嘉奖水杯一个；③其余状况嘉奖饮料一瓶．假设转盘质地匀称，四个区域划分匀称，小亮打算参与此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解(1)用数对(x，y)表示儿童参与活动先后记录的数，则基本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本领件总数n＝16.记“xy≤3”为事务A，则事务A包含的基本领件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事务B，“3<xy<8”为事务C.则事务B包含的基本领件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事务C包含的基本领件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝eq\f(5,16).因为eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．13．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外爱好小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参与了不止一个小组，详细状况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．答案eq\f(