中考数学总复习中考数学专项提升第27讲 圆的基本性质(练习)(解析版)

第六章圆第27讲圆的基本性质TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01圆的周长与面积问题👉题型02圆中的角度、线段长度的计算👉题型03利用垂径定理结合全等，相似综合求解👉题型04在坐标系中利用垂径定理求值或坐标👉题型05垂径定理在格点中的应用👉题型06垂径定理的实际应用👉题型07利用垂径定理求取值范围👉题型08利用弧，弦，圆心角的关系求解👉题型09利用弧，弦，圆心角的关系求最值👉题型10利用弧，弦，圆心角的关系证明👉题型11利用圆周角定理求解👉题型12利用圆内接四边形性质求角👉题型13利用圆的有关性质解决多结论问题👉题型14利用圆的有关性质解决翻折问题👉题型15利用圆的有关性质解决最值问题👉题型16与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距👉题型17与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角👉题型01圆的周长与面积问题1．（2024·四川成都·三模）魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计⊙O的面积，可得π的近似值为．【答案】3【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，圆的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．过A作AM⊥OB于M，求得∠AOB=360°÷12=30°，根据直角三角形的性质得到AM=12OA=12【详解】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，

过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB=360°÷12=30°，∴AM=1∴S∴正十二边形的面积为12×1∴3=1∴π=3，∴π的近似值为3，故答案为：3．2．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为r的⊙O沿着边长为a的正方形ABCD的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，⊙O自身转动的圈数是．（用含a，【答案】2aπr【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键．【详解】解：⊙O的周长为：2πr，正方形的周长为：4a，∴⊙O自身转动的圈数是4a2πr故答案为：2aπ3．（2024·河北秦皇岛·一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的n个同学均匀围成一个以O点为圆心，1m（1）若n=6，则相邻两人间的圆弧长是m．（结果保留π）（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这n+2个同学之间的圆弧长与原来n个同学之间的圆弧长相等．这n+2个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移b米，才能使得这n+3个同学之间的圆弧长与原来n个同学之间的圆弧长相同，则ba=【答案】π3【分析】本题考查圆的周长和弧长，（1）先计算出圆的周长，再计算出圆的弧长即可；（2）先计算出半径往后移a米的圆的周长，求出弧长，根据弧长相等建立等式即可求出a，再计算出b，即可得到答案．【详解】解：（1）当n=6时，圆的周长为：2π，∴相邻两人间的圆弧长是2π6故答案为：π3（2）又来了两个同学后圆的周长为：2π1+a∴2π1+a∴a=1当又有一个同学要加入队伍后，圆的周长为：2π1+a+b∴2π1+a+b∴b=1∴ba故答案为：12👉题型02圆中的角度、线段长度的计算4．（2024·四川成都·二模）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA=10，圆心O到弦AB的距离OC=6，则弦AB的长为()A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】根据垂径定理，得AC=BC=12AB本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．【详解】解：根据垂径定理，得AC=BC=1根据勾股定理，得AC=O故AB=2AC=16．故选：C．5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，CD是以O为圆心的半圆的直径，A是DC延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若AB=OD，∠EOD=45°，则∠BAO的大小为（

）

A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角的性质等知识点，连接OB，可推出∠BAO=∠BOA，∠OBE=∠BAO+∠BOA=2∠BAO，根据OB=OE，得∠OEB=∠OBE=2∠BAO，进而得∠EOD=∠BAO+∠OEB=3∠BAO=45°，即可求解；【详解】解：连接OB，如图所示：

∵AB=OD，OD=OB，∴AB=OB，∴∠BAO=∠BOA，∴∠OBE=∠BAO+∠BOA=2∠BAO，∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE=2∠BAO，∴∠EOD=∠BAO+∠OEB=3∠BAO=45°，∴∠BAO=15°，故选：B6．（2024·甘肃·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，若C是BD的中点，连接OC，∠OBC=50°，则∠ACD=．【答案】10°/10度【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，直角三角形两锐角互余等知识．如图所示，连接OD，首先由直径得到∠ACB=90°，然后求出∠A=90°−∠B=40°，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=80°，进而求出∠COD=∠BOC=80°，然后求出∠AOD=180°−∠COD−∠BOC=20°，最后利用圆周角定理求解即可．【详解】如图所示，连接OD∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵∠OBC=50°∴∠A=90°−∠B=40°∴∠BOC=2∠A=80°∵C是BD的中点∴BC∴∠COD=∠BOC=80°∴∠AOD=180°−∠COD−∠BOC=20°∴∠ACD=1故答案为：10°．👉题型03利用垂径定理结合全等，相似综合求解7．（2024·浙江宁波·二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，连结BC，AD，E为AB上一点，BE=BC，连结CE并延长交AD于点F，交⊙O于点(1)求证：∠G=2∠DCG．(2)若EF=2，FG=3，求(3)若EF=a，判断1EC+1【答案】(1)详见解析(2)10(3)不会改变，1【分析】（1）如图1，连接ED，根据EB=BC，得出∠BCE=∠BEC，由同弧所对的圆周角相等得∠BCE=∠BAG，根据垂径定理得出AB是CD的垂直平分线，得到CE=ED，证出∠BEC=∠BED=∠AEG=∠BCE=∠BAG，再结合三角形内角和定理证出∠DEG=∠G，根据三角形外角的性质即可证明∠G=2∠DCG；（2）根据EF=2,FG=3，求出EG=5，由（1）知：∠AEG=∠EAG，得出AG=EG=5，证明△AGF∽△DEF，根据相似三角形的性质即可求解．（3）设FG=b，则EG=AG=a+b，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】（1）证明：如图1，连接ED，∵EB=BC，∴∠BCE=∠BEC，由同弧所对的圆周角相等得∠BCE=∠BAG，∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB，∴CH=DH，∴AB是CD的垂直平分线，∴CE=ED，∴∠CEB=∠DEB,∠ECD=∠EDC，∵∠AEG=∠BEC,∠BCE=∠EAG，∴∠BEC=∠BED=∠AEG=∠BCE=∠BAG，∵∠EAG+∠AEG+∠G=180°,∠AEG+∠BED+∠DEG=180°，∴∠DEG=∠G，∵∠DEG=∠ECD+∠EDC=2∠DCG，∴∠G=2∠DCG；（2）解：∵EF=2,FG=3，∴EG=EF+FG=2+3=5，由（1）知：∠AEG=∠EAG，∴AG=EG=5，∵∠DEG=∠G，∴AG∥DE，∴△AGF∽△DEF，∴DE∴DE5∴DE=10∵DE=CE，∴CE=10（3）解：1EC设FG=b，则EG=AG=a+b，∵AG∥DE，∴△AGF∽△DEF，∴DE∴DEa+b∴DE=a(a+b)∴1∴1【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会用相似三角形的性质列比例式解决问题，属于中考常考题型．8．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，等腰三角形ABC和ACD无重叠地拼接在一起，且AB=AC=CD，△ABC的外接圆⊙O与边CD交于点E（点E不与点C，D重合），过点E作线段CD的垂线，交BC的延长线于点F，交线段AB于点H，连接AE．(1)求证△ABC∽△AED；(2)若⊙O的半径为5，①若tan∠BAC=43②连接BE，若BE平分∠ABC，求BC(3)若EDCE=m，对于CE任意长度，都有4E【答案】(1)见解析(2)①1655

(3)1【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠B=∠D，再由圆内接四边形的性质可得∠B=∠AED，再由AB=AC，可得∠B=∠ACB=∠AED=∠D，即可求证；（2）①连接AO，并延长AO交BC于点M，连接BO，可得OA⊥BC，从而得到BC=2CM,∠BAM=12∠BAC，进而得到∠BOM=∠BAC，继而得到tan∠BOM=BMOM=43，设BM=4x，OM=3x，可求出x的值，从而得到BM=4，OM=3，再由勾股定理求出AC=AB=45，再由△ABC∽△AED，即可求解；②由BE平分∠ABC，得到AE=EC，由△ABC∽△AED，得到BCAB=EDAE，根据等量代换得到，BCAB=ABBC−1（3）过点A作AG⊥DE于点G，可得DE=2DG，再由平行四边形的性质可得AG=EH，根据题意可得DE=mCE，从而得到DG=12mCE，AC=AB=CD=CE+DE=(m+1)CE，再由ΔABC∽ΔAED，可得AD2=(本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠AEC+∠AED=180°，∴∠B=∠AED，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠AED=∠D，∴△ABC∽△AED；（2）解：①如图，连接AO，并延长AO交BC于点M，连接BO，∵AB=AC，∴AB=AC，∴OA⊥BC，∴BC=2CM，∠BAM=1∵∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，∵tan∠BAC=∴tan∠BOM=设BM=4x，OM=3x，∴OB=5x，∵⊙O的半径为5，∴5x=5，即x=1，∴BM=4，OM=3，∴BC=2BM=8，AM=OA+OM=8，∴AC=AB=B∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=8，∵△ABC∽△AED，∴ACAD=BCDE，即②∵BE平分∠ABC，∴AE=EC，∵△ABC∽△AED，∴BCAB又∵CD=AB，EC=AE=AD=BC，∴BCAB=设ABBC=t，则：1t=t−1，即：t2−t−1=0，解得：设BM=12BC=a在Rt△ABM中，AM=在Rt△OBM中，OM2+BM∴BC（3）如图，过点A作AG⊥DE于点G，∵∠AED=∠D，∴AD=AE，∴DE=2DG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB∥CD，∴AG⊥AB，∵EH⊥AB，∴AG=EH，∵EDCE∴DE=mCE，∴DG=1∴AC=AB=CD=CE+DE=(m+1)CE，∵△ABC∽△AED，∴ACAD=BC∴AD∴AG∴HE∴4E=4=∵对于CE的任意长度，都有4EH∴3m解得：m=1∴当m=13时，EH9．（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，半圆O的直径AB=6．点C在半圆O上，连接AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，AB于点E，D，连接AD交BC于点F．(1)求证：点D是BC的中点；(2)将点O绕点F顺时针旋转90°到点G．①当点G在线段AD上，求AC的长；②当点G在线段AC上，求sin∠ABC【答案】(1)见解析(2)①AC=2；②sin【分析】（1）先得到∠C=90°，由平行线的性质得到OD⊥BC，则由垂径定理即可证明结论；（2）①连接OF，在AF上取一点使得FG=OF，由旋转的性质可得∠OFG=90°，证明△ACF≌△DEFAAS得到AC=DE，再证明△BOE∽△BAC，得到AC=2OE，再根据线段之间的关系求解即可②如图，由旋转的性质可得FG=FO，∠OFG=90°，证明△CFG≌△EOFAAS得到OE=CF，证明△ACF∽△DEF，设OE=CF=x，则AC=2x，DE=3−x可得EF=3−x2，则CE=BE=3+x【详解】（1）证明：∵AB是半圆O直径，∴∠C=90°∵OD∥∴∠OEB=∠C=90°，即OD⊥BC∴BD=CD，即点D（2）解：①连接OF，在AF上取一点使得FG=OF，∵点O绕点F顺时针旋转90°到点G，∴∠OFG=90°，∴AF=DF，又∵OD∥∴∠D=∠CAD，∠C=∠DEC，∴△ACF≌△DEF∴AC=DE，∵O是AB中点，OD∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴OEAC∴AC=2OE，∵直径AB=6，∴OE+DE=OD=3，∴AC+1∴AC=2；②如图，由旋转的性质可得FG=FO，∵∠FCG=∠OEF=90°，∴∠CFG+∠EFO=90°=∠CGF+∠CFG，∴∠EFO=∠CGF，∴△CFG≌△EOF∴OE=CF，由①得，AC=2OE，∵AC∥∴△ACF∽△DEF，设OE=CF=x，则AC=2x，DE=3−x∴CF:AC=EF:DE=1:2∴EF=3−x∴CE=BE=CF+EF=∴在Rt△BOE中，由勾股定理得3+x解得：x1=1.8，∴sin【点睛】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，掌握相应的知识点是解本题的关键．10．（2024·上海普陀·三模）已知△ABC内接于⊙O，为的⊙O直径，N为AC的中点，连接ON交AC于点H．(1)如图①，求BCOH(2)如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB=DC，求证OD∥AC；(3)如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G．DG=CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF:DF=3:2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR=CM,AT=42，请直接写出圆O【答案】(1)BCOH(2)证明见解析；(3)13．【分析】（1）连接OC，根据N为AC的中点，可得AH=HC，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC，先证△DOB≌△DOC得∠BDO=∠CDO，再根据OB=OD得∠DBO=∠BDO，根据（3）连接AD，先证△DOB≌△DOC，再证四边形ADFE是矩形，过A作AS⊥DE垂足为S，先证出FR=AS，再能够证出△CAS≌△TCM从而CT=AC，得到等腰直角△ACT，利用三角函数求出AC，再根据【详解】（1）证明：如图，连接OC，∵N为AC的中点，∴AN=∴∠AON=∠CON，∵OA=OC，∴AH=HC，∵OA=OB，∴OH是△ABC的中位线，∴BCOH（2）证明：如图，连接OC，设∠BDC=2α，∵BD=DC，DO=DO，OB=OC，∴△DOB≌∴∠BDO=∠CDO=1∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO=α，∵∠ACD=∠ABD=α，∴∠CDO=∠ACD，∴OD∥（3）解：连接AD，∵FG⊥OD，∴∠DGF=90°，∵∠CHE=90°，∴∠DGF=∠CHE，∵∠FDG=∠ECH，DG=CH，∴△DGF≌∴DF=CE，∵AH=CH，∴OH⊥AC，∴CE=AE=DF，∵∠EAC=∠ECA=α，∠AED=∠EAC+∠ECA=2α，∴∠BDC=∠AED，∴DF∥∴四边形ADFE是平行四边形，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴四边形ADFE是矩形，∴∠EFD=90°，∴tan∠EDF=过点A作AS⊥DE垂足为S，∴sin∠AES=∵FR⊥DC，∴sin∠FDR=∵FD∥∴∠FDR=∠AES，∴sin∠FDR=∴FR=AS，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACS=90°，∵∠ASC=90°，∴∠CAS+∠ACS=90°，∴∠BCE=∠CAS，∵∠BCE=∠TCM，∴∠CAS=∠TCM，∵TM⊥DC，∴∠TMC=90°，∴∠TMC=∠ASC，∵FR=CM，∴AS=CM，∴△CAS≌∴CT=AC，∵∠ACT=180°−90°=90°，∴∠CAT=∠CTA=45°，∴AC=AT⋅sin∵∠EDF=∠BAC，∴tan∠EDF=∴BCAC∴BC=6，∴AB=A∴圆O半径的长13．【点睛】本题是圆的综合题，考查圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、垂径定理、三角函数、勾股定理、圆周角定理等知识，构造辅助线解决问题是解题关键．👉题型04在坐标系中利用垂径定理求值或坐标11．（2024·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，以AB为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为4,0，则点D的坐标为．【答案】5【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、正方形性质，垂径定理等知识点，过点D作DF⊥AB，交OC与点E，连接AD，设⊙D得半径为r，由正方形的性质及垂径定理可得EF=4，DF=EF−ED=4−r，BF=AF=2，在根据勾股定理即可求解．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．【详解】解：过点D作DF⊥AB，交OC与点E，连接AD，设⊙D得半径为r，∵A4,0∴在正方形OABC中，AB∥OC，OA=AB=BC=OC=4，∵以AB为弦的⊙D与y轴相切，AB∥OC，∴DE⊥CO，则EF是⊙D直径的一部分则EF=4，DF=EF−ED=4−r，由垂径定理可得BF=AF=2，在Rt△ADF中，AD2解得：r=5∴点D的坐标为52故答案为：5212．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C1,1为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C

(1)求出A，B两点的坐标；(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(2)y=−x2(3)D【分析】（1）作CE⊥AB于点E，连接OA,OB，根据C1,1，半径AC=BC=2，得到CE=1,利用勾股定理求出AE=BE=3，即可得到A，（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为1,3或1,−1，分别设出解析式代入点B的坐标求出解析式；（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，得到PC∥OD且PC=OD，由PC∥y轴，确定点D在y轴上，根据【详解】（1）作CE⊥AB于点E，连接OA,OB，∵C1,1，半径AC=BC=2∴CE=1，∴AE=BE=A∴A1−

（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为1,3或1,−1，当抛物线的顶点P的坐标为1,3时，设抛物线的解析式为y=ax−1将点B1+3,0∴y=−x−1当抛物线的顶点P的坐标为1,−1时，设抛物线的解析式为y=ax−1将点B1+3,0∴y=1（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，∴PC∥OD且∵PC∥∴点D在y轴上，当抛物线为y=−x∵PC=2，∴OD=2，即D0,2又D0,2满足y=−∴点D在抛物线上，存在D0,2使线段OP与CD当抛物线为y=1∵PC=3，∴OD=3，即D0,−3∵D0,−3不满足y=∴不存在D0,−3使线段OP与CD综上，存在D0,2使线段OP与CD【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，求二次函数的解析式，平行四边形的性质及判定，综合掌握各知识点是解题的关键．13．（2022·上海黄浦·二模）已知点P是直线y=2上一点，⊙P与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果AB=2，那么点P的坐标是．【答案】−【分析】根据题意作出图形，过点P作x轴的垂线，垂足为M，然后由垂径定理及勾股定理可得圆的半径，由此可得答案．【详解】解：根据题意，画出图形如下：∴ON=2，AB=2，过点P作x轴的垂线，垂足为M，∴PM=2，AM=BM=1，在Rt△PBM中，PB=∵⊙P与y轴相切，∴PN⊥y轴，PN=PB=5∵⊙P与x轴负半轴交于A、B两点，∴点P的坐标是−5故答案为：−5【点睛】此题考查的是切线的性质、垂径定理及坐标与图形的性质，正确作出图形是解决此题的关键．👉题型05垂径定理在格点中的应用14．（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径=．【答案】5【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．再利用网格与勾股定理求解即可．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，连接OA，∴OA=22故答案为：5．15．（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足【答案】2【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，得出边PM的长的最大值等于圆O的直径是解题的关键．作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=12MN，以O为圆心，OM为半径作圆，通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M经过圆心O，此时P'M最大，等于圆O的直径，得出【详解】解：作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=12MN，以O为圆心，OM∵OQ为MN垂直平分线且OQ=12MN∴OQ=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，∴弦MN所对的圆O的圆周角为45°，∴点P在圆O上，PM为圆O的弦，通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M∴此时P'M最大，等于圆∵BM＝4，BN＝2，∴MN=2∴MQ=OQ=5，∴OM=2MQ=∴P'即边PM的长的最大值为21016．（2024·江西景德镇·二模）如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，⊙O经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹：(1)在图1中，在圆上找一点D，使得BD=AC；(2)在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧BP的中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题通过作图考查了圆周角定理和垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是正确作图的关键．（1）连接BO交⊙O于D，可知BD为直径，则BD=AC，点D即为所求；（2）取格点E，F，连接BF交AC于G，交⊙O于P，点P即为所求．【详解】（1）解：由图可知，AB=3，BC=6，AC=3∴AC∴∠ABC=90°，又∵⊙O经过A，B，C三个格点，∴AC为⊙O的直径，连接BO交⊙O于D，可知BD为直径，则BD=AC，如图所示，点D即为所求；（2）取格点E，F，连接BF交AC于G，交⊙O于P，由图可知，AB=EF=3，BC=EB=6，AC=FB=3∴△ABC≌△FEBSSS∴∠ABG=∠ACB，∵∠ABG+∠CBG=90°，∴∠ACB+∠CBG=90°，则∠BGC=90°，∴直径AC⊥BP，∴AB=即：点P即为所求．👉题型06垂径定理的实际应用17．（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cmA．4.8cm B．5cm C．5.2cm【答案】B【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出BN，CM的长，设ON=x，由勾股定理得到3.5−x2+22=x2【详解】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，∴MN=3.5cm，∵AB∥∴MN⊥CD，∴CM=12CD=设ON=xcm∴OM=MN−ON=3.5−x∵OM2+M∴OM∴3.5−x∴x=2，∴ON=2cm∴OB=O∴纸杯的直径为2.5×2=5cm故选：B．18．（2024·广西贵港·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O直径长为6米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（

）A．1米 B．2米 C．3−5米 D．3+【答案】C【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD=BD=12AB=2（米），再由勾股定理得OD=【详解】解：连接OC，OC交AB于D，由题意得：OA=OC=3米，OC⊥AB，AB=4米，∴AD=BD=12AB=2∴OD=O∴CD=OC−OD=3−即点C到弦AB所在直线的距离是3−5故选：C．19．（2024·河北邯郸·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，⊙O是粒子真空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过CD时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切．已知：AB=16km，粒子注入路径与AB夹角α=53°，CD所对的圆心角是60°(1)求∠ABE的度数；(2)通过计算，比较CD与AB的长度哪个更长；(3)直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到AB的最远距离．（相关数据：tan37°≈【答案】(1)∠ABE=53°(2)AB的长度更长，见解析(3)粒子J到AB的最远距离是16【分析】（1）如图，延长AF，BE交于（2）根据弧长公式求出CD的长，再进行比较即可；（3）如图，当粒子J运动到P点时，离AB的距离最远，根据切线的性质得到∠FAO=90°，再根据垂径定理和三角函数得出AO的长，进而解答即可【详解】（1）解：如图，延长AF，BE交于由题意得，AF，BE是∴AG=BG，∴∠ABE=∠FAB=α=53°；（2）解：AB的长度更长，∵CD所对的圆心角为60°，OC=OA=10km∴CD的长度约为60π∵10.5<16，∴AB的长度更长；（3）解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交⊙O于点P，连接AO，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAO=90°，∵α=53°，∴∠EAO=90°−53°=37°，∵AB是⊙O的弦，OE是弦心距，OE⊥AB，∴AE=BE=12AB=8∴tan∠EAO=∴OE≈3∴AO=A如图，当粒子J运动到P点时，离AB的距离最远，∴EP=OE+OP=6+10=16km即粒子J到AB的最远距离是16km【点睛】本题是圆的综合题，涉及圆周角定理，圆切线的性质，垂径定理，解直角三角形，弧长公式，正确作出辅助线是解题关键．👉题型07利用垂径定理求取值范围20．（20-21九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x−6与x轴、y轴分别交于点D、E，若△CDE面积为S，则S的范围是【答案】8≤S≤28【分析】连接OC，如图，根据垂径定理得到OC⊥AB，则利用圆周角定理可判断点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如图，先利用一次函数解析式确定E（0，-6），D（8，0），则DE=10，接着证明△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH=185，则MP=285，NH=85，由于当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，然后计算出SΔNED【详解】解：连接OC，如图，∵点C为弦AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠ACO=90°，∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如图，当x=0时，y=34x-6=-6，则E当y=0时，34x-6=0，解得x=8，则D∴DE=62∵A（4，0），∴P（2，0），∴PD=6，∵∠PDH=∠EDO，∠PHD=∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE=DP：DE，即PH：6=6：10，解得PH=185∴MP=PH+2=285，NH=PH-2=8∴SΔNED=当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，∴S的范围为8≤S≤28．故答案为：8≤S≤28．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质．21．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系xOy中，对于直线l:y=kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为−1,0，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为22，则b的值为【答案】±1【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合，如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作MD⊥BC于E，连接MB，先证明当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小，再由BC最小=22，求出MD=2【详解】如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作ME⊥BC于E，连接MB，∴BC=2BE，在Rt△MBE中，由勾股定理得BE=∴当ME最大时，BE最小，即此时BC最小，∵ME≤MD，∴当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小，∵直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为22，即B∴BD=1∴MD=M∵D0∴1+b解得b=±1，故答案为：±1．22．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:y=kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1，b=1时，直接写出直线l关于(2)点M的坐标为(−1,0)，①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于455，求②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为22，直接写出b【答案】(1)2(2)①0<k<12或k>2；【分析】（1）先求出⊙O与一次函数的交点坐标即为1，（2）①求出当直线l经过点A0，1，B−2，0时，k=12，解直角三角形求出此时BC=455；求出当直线l经过点0，1，−1，−1时，k=−2，由对称性可知此时直线l关于⊙M的“圆截距”为455，两种情况结合函数图象求解即可．②如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作MD⊥BC【详解】（1）解：当k=1，b=1时，则一次函数解析式为∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为1，∵1，∴1，0，0，1都在∴“圆截距”=1（2）解：①如图2-1所示，当直线l经过点A0∴−2k+b=0b=1∴k=1∵OA=1，∴AB=O∴cos∠ABO=设AB与⊙M的另一个交点为C，连接OC，可知∠OCB=90°．∴BC=OB⋅cos∠ABO=455．即此时直线l结合图形可知0<k<1如图2-2所示，当直线l经过点0，1，由对称性可知此时直线l关于⊙M的“圆截距”为45结合图形可知k>2．综上，当0<k<12或k>2时直线l关于⊙M的“圆截距”小于②如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作ME⊥BC于E，连接MB，∴BC=2BE，在Rt△MBE中，由勾股定理得BE=∴当ME最大时，BE最小，即此时BC最小，∵ME≤MD，∴当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小，∵直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为22，即B∴BD=1∴MD=M∵D0∴1+b解得b=±1．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．👉题型08利用弧，弦，圆心角的关系求解23．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为（A．13cm B．16cm C．17cm【答案】A【分析】本题主要考查了垂径定理、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，设⊙O的半径OA为Rcm，并根据勾股定理列出关于R先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm，再设⊙O的半径OA为Rcm【详解】解：∵D是AB的中点，∴AD=∴∠AOD=∠BOD,∵OA=OB,AB=24cm∴OD⊥AB，设⊙O的半径OA为Rcm，则OC=OD−CD=在Rt△OAC中，∠OCA=90°∴OA∴R2=122+R−82，解得：R=13故选：A．24．（2024·云南昆明·一模）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE．若∠BOC=34°，则A．68° B．78° C．88° D．112°【答案】B【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到∠DOE=∠COD=∠BOC=34°，再根据平角的定义可得答案．【详解】解：∵BC=CD=∴∠DOE=∠COD=∠BOC=34°，∴∠AOE=180°−∠DOE−∠COD−∠BOC=78°，故选：B．25．（2024·上海长宁·二模）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，下列说法错误的是()A．弧AB=弧BC B．∠AOD=3∠BOC C．AC=2CD D．OC⊥BD【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系；根据题意和垂径定理，可以得到AC=BD，AB=BC，【详解】解：∵OB⊥AC，∴，AB=BC，故A正确；∴AD=3BC，∴∠AOD=3∠BOC，故B正确；AC=∴AC=BD<BC+CD=2CD，故C错误；∵CD=∴OC⊥BD，故D正确；故选：C．👉题型09利用弧，弦，圆心角的关系求最值26．（2023·山西阳泉·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中点，连接MN，P是直径AB上的动点，若弦MN=2，则△PMN周长的最小值为．

【答案】8【分析】如图所示，作点N关于AB的对称点N'，连接MN'交AB于P，△PMN周长为PM+PN+MN=2+PM+PN，由对称性知△PMN周长为=2+PM+PN=2+PM+PN'【详解】解：作点N关于AB的对称点N'，则点N'在⊙O上，连接MN'交

由对称性知PN=PN∴△PMN周长为PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN根据两点之间线段最短可知△PMN周长的最小为2+MN∵点N是MB的中点，∠MAB=20°，∴MN=∴∠BAN'=10°，∴∠MAN'=20°+10°=30°，∴∠MON'=60°，∴△MON'是正三角形，∴OM=ON'=MN'=1∵MN=2，∴△PMN周长的最小值为2+6=8，故答案为：8．【点睛】本题考查动点最值问题，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．27．（2022·河南洛阳·一模）如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，CD=2CB，E是直径AB上一个动点，已知AB=2cm，则图中阴影部分周长的最小值是【答案】3【分析】取点C连关于AB对称的点C'，连接DC'交AB于点E，当D、E、C【详解】解：作图如下：∵CD∴∠COD=2∠BOC=60°∴取点C连关于AB对称的点C'，连接DC'交AB∴DE+CE=DE+C即为DE+CE的最小值，过点D作DH⊥CC'∴CP=OC·sinOP=OC·cos∴CH=OD−CP=1−1HC∵DH=OP=3∴DC∴图中阴影部分周长的最小值是3+故答案为：3+【点睛】本题考查的核心原理在于两点之间的线段最短和垂线段最短，通常在求最值的时候我们会借助于几何三大变化，轴对称、平移、旋转变换进行线段的转移，从而转换成两大核心原理进行求解．28．（2022·福建泉州·模拟预测）如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，BC=2AC，点D是半径OB的中点，点E从点D出发，沿D→O→A的方向运动到A的过程中，线段BE、CE与BC所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为【答案】2【分析】分两种情况讨论求解，①当点E在线段OB上时，易得当点E与点D重合时，阴影部分面积最小，连接OC、BC，如图1，②当点E在线段OA上时，易得当点E与点A重合时，阴影部分面积最小，连接OC、BC，过点C作CF⊥OA于点F，如图2，分别求出最小阴影部分面积比较即可得到阴影部分最小面积．【详解】解：①当点E在线段OB上时，易得当点E与点D重合时，阴影部分面积最小，连接OC、BC，如图1，∵扇形OAB是圆心角为90°的扇形，BC=2∴∠BOC=23×90°∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，∠EBC=60°，∵点D是半径OB的中点，∴CE⊥OB，OE=BE=1，∴CE=O∴S阴=S扇形BOC-S△COD②当点E在线段OA上时，易得当点E与点A重合时，阴影部分面积最小，连接OC、BC，过点C作CF⊥OA于点F，如图2，∵∠AOC=1∴CF=1∴S阴=S扇形BOC+S△AOC∵23∴线段BE、CE与BC所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为23故答案为23【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆心角定理以及三角形及扇形的面积求法，分类讨论动点的位置作辅助线把不规则图形转化为规则图形求面积是解题的关键．👉题型10利用弧，弦，圆心角的关系证明29．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是BF的中点，连接CF交OB于点G，连接BC．(1)求证：GE=BE；(2)若AG=6，BG=4，求CD的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）利用ASA证明△CEG≌△CEB，即可得到GE=BE；（2）连接OC，求出直径AB的长，即得半径OC=OB=5，求出OG，由（1）知GE=BE=12BG=2，再求出OE，利用勾股定理求出CE【详解】（1）证明：∵D是BF的中点，∴∠FCD=∠BCD，即∠GCE=∠BCE，∵CD⊥AB，∴∠CEG=∠CEB=90°，又∵CE=CE，∴△CEG≌△CEBASA∴GE=BE；（2）解：如图，连接OC，∵AG=6，BG=4，∴AB=6+4=10，∴OC=OB=1∴OG=OB−BG=5−4=1，由（1）知GE=BE=1∴OE=OG+GE=1+2=3，∴CE=O∵直径AB⊥CD，∴CD=2CE=2×4=8．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆的基本性质、三角形全等的判定定理是解题的关键．30．（2024·湖北·模拟预测）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点M，且AB=CD．(1)求证：AD=(2)连接OM，BD，若BD是⊙O的直径，AB=2AD=8，求OM的长．【答案】(1)证明见解析(2)OM=【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，（1）由AB=CD，推出AB=CD，推出（2）根据圆周角定理得出∠BAD=90°，因为AB=2AD=8，所以得出AD=4，BD=45，再得出∠ABD=∠BDC，运用勾股定理列式得出DM=5，运用等腰三角形的三线合一得出OM⊥BD【详解】（1）证明：∵AB=CD，∴AB=∴AB−∴AD=（2）解：如图，BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵AB=2AD=8，∴AD=4，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=∴OD=OB=25设AM=x，则BM=8−x，∵AD=∴∠ABD=∠BDC，∴DM=BM=8−x，在Rt△ADM中，由勾股定理得4解得x=3，∴DM=5，∵DM=BM，OD=OB，∴OM⊥BD，∴在Rt△ODM中由勾股定理得OM=31．（2024·广东·模拟预测）综合运用如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CAD，CA平分∠BCD．(1)求证：∠CDE=2∠ECD．(2)若cos∠CBA=12(3)求证：BC【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由点B平分CAD，可知∠BCD=∠CDE，由CA平分∠BCD，可知∠ECD=∠BCE=1（2）结合题意可知∠CBA=60°，∠BDC=∠BCD，∠BDC=∠BCD=2∠BCA，设∠CBD=x，∠BCA=y，则∠ABD=∠ACD=y，∠BAC=∠BDC=2y，结合∠BCA+∠BAC=3y=180°−∠CBA=120°，求得y=40°，再求得∠CBD=∠CBA−∠DBA=20°，即可证明结论；（3）如图，过点B作BH⊥AC，在HC上取点F，使FH=AH，连接BF，则BF=BA，可知∠BCD=∠BDC=∠BAF=∠BFA，得∠FBA=∠CBD，可证△CBF≌△DBASAS，得CF=AD，可知BH2【详解】（1）证明：∵点B平分CAD，∴BC=BD，则∴∠BCD=∠CDE，∵CA平分∠BCD，∴∠ECD=∠BCE=1∴∠CDE=∠BCD=2∠ECD；（2）证明：∵cos∠CBA=∴∠CBA=60°，∵点B平分CAD，∴BC=BD，则∴∠BDC=∠BCD．∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠ACD=12∠BCD设∠CBD=x，∠BCA=y，则∠ABD=∠ACD=y，∠BAC=∠BDC=2y，∴∠CBA=60°∴∠BCA+∠BAC=3y=180°−∠CBA=120°，则y=40°，∴∠CBD=∠CBA−∠DBA=20°．∵∠BCD=∠BDC=2y=80°，∴∠BDC=4∠CBD．（3）如图，过点B作BH⊥AC，在HC上取点F，使FH=AH，连接BF，则BF=BA．∴∠BAF=∠BFA．∵点B平分CAD，∴BC=BD，则∴∠BCD=∠BDC=∠BAF=∠BFA．∴∠FBA=∠CBD，在△CBF和△DBA中，BC=BD∴△CBF≌△DBASAS∴CF=AD．∴BH∴BC【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．👉题型11利用圆周角定理求解32．（2023·辽宁锦州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为（

）A．π4 B．π3 C．2π【答案】A【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接OE，OD，证明S△AOD=S△AED，可得【详解】解：连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∵AB=AC，∴BE=CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥∴S△AOD∴S阴影∵∠AEC=90°，∴∠AEB=90°，∵∠BED=45°，∴∠AED=45°，∴∠AOD=90°，∴S扇形∴S阴影故选：A．33．（2025·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF【答案】(1)见解析(2)CF=【分析】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理．（1）由垂径定理，得AD=BD，AC=BC，由圆周角定理，得（2）可证△ACF∽△ECA得ACEC=CFCA；Rt△ADC【详解】（1）证明：∵OC⊥AB，OC是⊙O的半径，∴AD=BD，AC=∴∠BAC=∠E（同弧或等弧所对的圆周角相等）；（2）解：∵∠BAC=∠E，又∵∠ACF=∠ECA，∴△ACF∽△ECA，∴ACEC∵AB=8，∴AD=BD=4，在Rt△ADC中∠ADC=90°，AD=4，CD=2∴AC=A即25∴CF=234．（2025·山东临沂·一模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，直径AD⊥BC于E，过点A作⊙O的切线AF与∠ABC的平分线交于点F，BF交AC于点G，交AD于点H，交⊙O于点M，连接AM．(1)求证：∠ACB=2∠ABF；(2)若tan∠AMB=2，BC=2，求CG【答案】(1)见解析(2)CG=10−4【分析】（1）证明BE=CE，∠AEB=∠AEC=90°，可得△AEB≌△AECSAS，可得∠ABC=∠ACB，结合BF（2）求解BE=CE=1，结合tan∠AMB=tan∠ACB=AECE=2，可得AB=AC=5，证明AF【详解】（1）证明：∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC，∴BE=CE，∠AEB=∠AEC=90°，又∵AE=AE，∴△AEB≌∴∠ABC=∠ACB，又∵BF平分∠ABC，∴2∠ABF=∠ABC=∠ACB．（2）解：∵BC=2，由（1）得BE=CE，∴BE=CE=1，又∵∠AMB=∠ACB，∴在Rt△ACE中，∴AE=2，∴AC=A∴AB=AC=5又∵AF是⊙O的切线，∴DA⊥AF即∠DAF=90°，又∵∠AEC=90°，∴AF∥∴∠F=∠FBC=∠ABF，∴AB=AC=AF=5∵AF∥∴△AGF∽∴AGCG∴5−CG解得：CG=10−45【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，垂径定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．👉题型12利用圆内接四边形性质求角35．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以AB为直径的半圆O中，弦AC∥OD，若∠CAB=70°，则∠ACD的度数为（A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质以及圆内接四边形的性质，连接BD，根据平行线的性质求出∠BOD，利用三角形内角和求出∠B，再利用圆内接四边形的性质即可求解．【详解】解：连接BD，∵AC∥OD，∴∠BOD=∠CAB=70°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=55°，∵∠ACD+∠B=180°，∴∠ACD=180°−∠B=125°．故选：D．36．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．(1)求证：AB=AC；(2)若BD=12，DE=2，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=6【分析】（1）证明∠ADF=∠ADB，可得∠ADF=∠ABC，结合∠ACB=∠ADB，从而可得结论；（2）过点A作AG⊥BD，垂足为点G．证明Rt△AED≌Rt△AGDHL．可得GD=ED=2．再证明Rt△AEC≌Rt△AGB【详解】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB．∵∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠ADF=180∴∠ADF=∠ABC．∵∠ACB=∠ADB，∴∠ABC=∠ACB．∴AB=AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°．在Rt△AED和RtAD=AD∴Rt△AED≌∴GD=ED=2．在Rt△AEC和RtAC=ABAE=AG，∴Rt△AEC≌∴BG=CE．∵BD=12，∴BG=BD−GD=12−2=10．∴CE=BG=10．∴CD=CE−DE=10−2=8．∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°．∴在Rt△BCD中，BC=【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．37．（2024·湖南·模拟预测）如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过C作∠DCE，使∠DCE=2∠BCD，其中CE交AB的延长线于点(1)求证：CE是☉O(2)如图2，点F是☉O上一点，且满足∠FCE=2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD=4，tan∠BCE=12【答案】(1)见解析(2)①CF=2CD，理由见解析；②4【分析】（1）如图1，连接OC，根据等边对等角得∠OBC=∠OCB，由垂直定义得∠OBC+∠BCD=90°，根据等量代换可得∠OCB+∠BCE=90°，即OC⊥CE，可得结论；（2）①如图2，过O作OH⊥CF于点H，证明△COH≌△COD，则CH=CD，得CF=2CD；②过点C作CP⊥FG，连接BF，过点C作CH⊥BF，先根据勾股定理求BC=CD2+BD2=25，则CF=2CD=8，设OC=OB=x，则【详解】（1）证明：连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵CD⊥AB，∴∠OBC+∠BCD=90°，∵∠DCE=2∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠OCB+∠BCE=90°，即OC⊥CE，∵OC为☉O∴CE是☉O（2）解：①线段CF与CD之间满足的数量关系是CF=2CD，理由如下：过O作OH⊥CF于点H，连接CO，∴CF=2CH，∵∠FCE=2∠ABC=2∠OCB，且∠BCD=∠BCE，∴∠OCH=∠OCD，∵OC为公共边，∴△COH≌△CODAAS∴CH=CD，∴CF=2CD；②过点C作CP⊥FG，连接BF，过点C作CK⊥BF，∵AB是☉O∴∠AFB=90°，∵∠BCD=∠BCE，tan∠BCE=∴tan∠BCD=∵CD=4，∴BD=CD·tan∴BC=C由①得：CF=2CD=8，设OC=OB=x，则OD=x−2，在Rt△ODC中，O∴x2解得：x=5，即OB=5，∵OC⊥GE，∴∠OCF+∠FCG=90°，∵∠OCD+∠COD=90°，∴∠GCF=∠COB，∵四边形ABCF为☉O∴∠GFC=∠ABC，∴△GFC∽△CBO，∴FGCB∴FG2∴FG=1655∵CP⊥FG，∴PF=1∴PC=C∵∠CPF=∠PFB=∠CKF=90°，∴四边形PFKC是矩形，∴FK=PC=1655∴BK=C∴BF=FK+BK=16∴AF=A【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明△GFC∽△CBO是关键．👉题型13利用圆的有关性质解决多结论问题38．（2024·山东滨州·模拟预测）阅读材料：在平面直角坐标系中，点Px0,y0和直线Ax+By+C=0（其中A、B不全为0），则点P到直线Ax+By+C=0的距离d可用公式d=Ax0+By0+CA2+B2根据以上材料，有下列结论：①点M0,3到直线y=②若以点M0,3为圆心，以4为半径的圆与直线y=3x+9③直线y=3x与直线y=3④若点P是抛物线y=−x2+23x−3上的点，则点P正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式，判断①，垂径定理，勾股定理求出弦长，判断②，求出原点到直线y=3x+9的距离判断③，设Pm,−【详解】解：∵y=3x+9可变形为3x−y+9=0由公式可得d=3∴点M0,3到直线y=3x+9由①可知：圆心到直线的距离d=3，圆的半径r=4，∵d<r∴直线与圆相交，设弦长为n由图可知：n=2×42−∵直线y=3x与直线y=3x+9平行，且点∴点0,0到直线y=3x+9的距离，即为直线y=3∵y=3x+9可变形为3x−y+9=0∴点0,0到直线y=3x+9的距离为d=3设Pm,−m2+23则点P到直线y=3x∵m−3∴m−3∴d的最小值为：94÷2=9故选B．【点睛】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，直线与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理等知识点，理解并掌握点到直线的距离公式，是解题的关键．39．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，DG⊥AB于点G，交AC于点E，BD交AC于点F，下列结论一定正确的是（把所有正确结论的序号都填上）．①∠DAE=∠GAE，②AE=DE，③AC=2DG，④若tan∠BAC=34【答案】②③【分析】①假设∠DAE=∠GAE，则CD=BC，再根据点D是弧AC的中点得AD=CD，则AD=CD=BC，即点D，C将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点D，C将半圆三等分，由此可对结论①进行判断；②延长DG交⊙O于H，连接AH，根据垂径定理得AD=AH=CD，则∠ADH=∠DAC，即∠ADE=∠DAE，据此可对结论②进行判断；③由AD=AH=CD得DH=AC，则DH=AC，再根据垂径定理得DH=2DG，据此可对结论③进行判断；④连接BC，在Rt△AEG中由tan∠BAC=EG【详解】解：①假设∠DAE=∠GAE，则CD=∵点D是AC的中点，∴AD=∴AD=∴点D，C将半圆三等分，根据已知条件无法证明点D，C将半圆三等分，∴假设∠DAE=∠GAE是错误的，故结论①不正确；②延长DG交⊙O于H，连接AH，如图1所示：∵AB为⊙O直径，DH⊥AB，∴AD=又∵AD=∴AD=∴∠ADH=∠DAC，即∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，故结论②正确；③∵AD=∴DH=∴DH=AC，∵AB为⊙O直径，DH⊥AB，∴DH=2DG，∴AC=2DG，故结论③正确；④连接BC，如图2所示：在Rt△AEG中，tan∴可设EG=3a，AG=4a，由勾股定理得：AE=A由结论②正确得：AE=DE=5a，∴DG=DE+EG=5a+3a=8a，在Rt△ADG中，由勾股定理得：AD=∵AD=∴∠ADG=∠CBD，∵DG⊥AB，AB是⊙O直径，∴∠AGD=∠FCB=90°，∴△AGD∽△FCB，∴AGCF∴BFCF=AD综上所述：正确的结论是②③，故答案为：②③．【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键．40．（2024·安徽安庆·三模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=2BF；④S△AEF为定值；⑤SA．①③④ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④【答案】C【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题；证明A、B、F、P四点共圆，推出∠PAG=∠PBF=45°，可得结论，故①正确；将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，利用全等三角形的性质证明即可，②正确；连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PM⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，证明FQ=QC，由PB=2BQ，PD=2PW=2CQ=2FQ，推出PB−PD=2BQ−FQ=2BF，【详解】解：如图，取AF的中点T，则AT=TF，连接PT，BT，∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，∴∠ABF=∠APF=90°，∠ABD=∠CBD=45°，∴BT=AT=TF=PT，∴A、B、F、P四点共圆，∴∠PAF=∠PBF=45°，∠PBA=∠PFA=45°，∴∠PAF=∠PFA，∴PA=PF，故①正确；将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，∵∠ADE=∠ABM=90°，∠ABC=90°，∴∠ABC+∠ABM=180°，∴C、B、M共线，∵∠EAF=45°，∴∠MAF=∠FAB+∠BAM=∠FAB+∠DAE=45°，∴∠FAE=∠FAM，在△FAM和△FAE中，FA=FA∠FAM=∠FAE∴△FAM≌△FAESAS∴FM=EF，∵FM=BF+BM=BF+DE，∴EF=DE+BF，故②正确；连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，在△PBA和△PCB中，FB=FB∠PBA=∠PBC∴△PBA≌△PBCSAS∴PA=PC，∵PF=PA，∴PF=PC，∵PQ⊥CF，∴FQ=QC，∵PB=2BQ，∴PB−PD=2故③正确；∵△FAM≌△FAE，∴S∵FM的长度是变化的，∴△AEF的面积不是定值，故④错误，∵A、B、F、P四点共圆，∴∠APG=∠AFB，∵△FAM≌△FAE，∴∠AFE=∠AFB，∴∠APG=∠AFE，∵∠PAG=∠EAF，∴△PAG∽△FAE，∴S∴S四边形故⑤正确．故选：C．👉题型14利用圆的有关性质解决翻折问题41．（2023·海南海口·模拟预测）如图，⊙O的半径为4．将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为（

）．A．43π B．π C．83【答案】C【分析】本题考查弧长公式，垂径定理，翻折变换等知识，连接OB，OA，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D．证明△OBD是等边三角形，求出【详解】解：如图，连接OB，OA，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点由题意，AB垂直平分线段OD，∴BO=BD∵OB=OD，∴OB=BD=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD=60°，同法可证∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，∴AB的长=120π×4180故选：C．42．（2023·浙江金华·三模）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径AB向上对折得到图②，再沿弦BC向下翻折得到图③，最后沿弦BD向上翻折得到图④．（1）若点E是弧BD的中点，则∠ABC=（2）若CE:EB＝1:n，则sin∠ABC=．（用关于n【答案】22.5°/45°n+1【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．（1）利用弧、弦、圆心角之间的关系得到∠AOC=∠COD=（2）连接AC，CD，DE，OC，作DF⊥CE，交于点F，根据平行线分线段成比例得到CFCB=ADAB=【详解】解：（1）如图：连接AC，CD，DE，EB，OC，OD，OE，可得：AC=∴AC=CD=DE=EB，∴∠AOC=∵∠AOB=180°，∴∠AOC=180°∴∠ABC=1故答案为：22.5°．（2）如图：连接AC，CD，DE，OC，作DF⊥CE，交于点F，由题意，AC=CD=DE，∴CF=EF，∵∠DFE=∴AC∥DF，∴CFCB=AD∵∠A=∴△ACD∽△AOC，∴ACAD=OA∴sin∠ABC=故答案为：n+12n+243．（2024·浙江台州·三模）如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，把CB沿着弦CB翻折交AB于点D，再把CDB沿着AB翻折交BC于点E．当E是DB的中点时，tan∠ABC的值是（

A．2−1 B．33 C．5−1【答案】A【分析】连接DE、CD、AC，过点D作DH⊥BC于点H，设∠ABC=α，首先根据E是DB的中点，易得DE=BE，进而可得∠EDB=∠EBD=α，∠DEC=2α，再结合DE=CD=AC，易得DE=CD=AC，进而可得∠DCE=∠DEC=2α，∠CAD=∠CDA=3α，根据“直径（半圆）所对的圆周角为直角”可得∠ACB=90°，即可解得α=22.5°，设DH=x，证明△DEH为等腰直角三角形，易得【详解】解：如下图，连接DE、CD、AC，过点D作DH⊥BC于点H，设∠ABC=α，∵E是DB的中点，∴DE=∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠DEC=∠EBD+∠EDB=2α，∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有DE，CD，AC，∴DE=∴DE=CD=AC，∴∠DCE=∠DEC=2α，∴∠CAD=∠CDA=∠ABC+∠DCE=3α，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAD=3α+α=4α=90°，解得α=22.5°，∴∠DCE=∠DEC=45°，设DH=x，∵DH⊥BC，∠DEC=45°，∴∠EDH=90°−∠DEC=45°=∠DEC，∴EH=DH=x，∴DE=D∴BE=DE=2∴在Rt△BDH中，tan故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角、三角形外角的定义和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识，综合性强，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键．👉题型15利用圆的有关性质解决最值问题44．（2024·浙江宁波·一模）如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE=DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE=1，DE=7，连接AG，则

【答案】130【分析】本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点G的运动轨迹，当找到点G的运动轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出AG的最小值．连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F，构造正方形，计算圆的半径，然后作OE的中点M，连接MG，连接OH，推导出点G的运动轨迹是以M为圆心的圆，连接AM与圆M的交点就是【详解】解：如图所示，连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点

∵CE=1，∴CD=CE+DE=1+7=8，∵OF⊥CD，∴CF=DF=1∴EF=CF−CE=4−1=3，∵AE=DE，∴△AOE≌△DOESSS∴∠AEO=∠DEO=1∵OK⊥AE，∴OK=OF，∵∠AED=90°，∴四边形OKEF是正方形，∴OK=KE=EF=OF=3，∴OA=OD=O如图所示，作OE的中点M，连接MG，连接OH，

∵点M是OE的中点，G为HE中点，∴MG=1∴点G在以点M为圆心，以52连接AM交⊙M于点G'，过点M作MN⊥AE∴当点A，G，M三点共线时，即点G和点∵点M是OE的中点，EM=1∵MN⊥AE，∴∠NME=45°，∴△NME是等腰直角三角形，∴MN=EN=2∴AN=AE−NE=7−3∴AM=A∴AG=AM−GM=130∴AG的最小值为1302故答案为：130245．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E是菱形ABCD的对称中心，点F、M、N分别是边AB、AD、CD的中点，连接MN，点P是线段MN上的动点，连接PE、PF，求PE+PF的最小值；【问题解决】（2）如图2，某市有一块未开发的四边形绿地ABCD，经测量，AD=3km，CD=33km，∠BAD=120°，AD∥BC，AD⊥CD，点D处有一个水塘，绿地中有两条弧形小路劣弧AC和劣弧GH，点G、H分别在边AB、CB上，GH所对的圆心角为60°，BH=BG=4 km．现计划沿MP、PD修建景观水渠，并沿△EFM的三边乔木类的树木方便市民纳凉，点E、F、M、P分别是BG、BH、GH、AC上的动点．为节约成本要求PD+PM值最小，同时要求【答案】（1）27；（2）PD+PM的最小值为37−4km，此时【分析】（1）连接AC,ED,PD,FD,DE交MN于点G，如图1．根据点E是菱形ABCD的对称中心，得出点E为AC的中点，AD∥BC,AD=CD=AB=4，DE⊥AC，证明MN为△ACD的中位线，得出MN∥AC，根据平行线分线段成比例得出DGEG=DMAM，即可得DG=EG，MN垂直平分DE，PE=PD，得出PE+PF的最小值为DF的长．过点F作FH⊥AD交DA的延长线于点H，如图1．在Rt△AFH中，算出AF（2）过点B作BQ⊥AD交DA的延长线于点Q，连接BM，如图2．证明四边形BCDQ是矩形，得出BQ=CD=33 km．根据∠B