中考数学总复习中考数学专项提升第21讲 相似三角形及其应用(讲义2考点+3命题点24种题型(含7种解题技巧))(原卷版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第四章三角形第21讲相似三角形及其应用（思维导图+2考点+3命题点24种题型（含7种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一相似多边形考点二相似三角形04题型精研·考向洞悉命题点一相似三角形的性质与判定-基础►题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似►题型02选择合适的方法证明两个三角形相似►题型03补全判定相似三角形的证明过程►题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程►题型05利用相似三角形的性质求解►题型06利用相似的性质求坐标►题型07相似三角形在网格中的应用►题型08相似三角形的性质与判定综合命题点二相似三角形的性质与判定-拔高►题型01利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题►题型02利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像►题型03利用相似三角形的性质与判定求线段比值►题型04利用相似三角形的性质与判定求最值►题型05利用相似三角形的性质与判定解决动点问题►题型06利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题►题型07利用相似三角形列函数关系式►题型08利用三点定形法证明比例式或等积式►题型09尺规作图与相似三角形综合应用►题型10三角板与相似三角形综合应用►题型11平移与相似三角形综合应用►题型12利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题►题型13与相似三角形有关的新考法问题命题点三相似三角形的应用►题型01利用相似测量物体的高度►题型02利用相似测量物体（不易测量）的宽度►题型03其它问题01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求相似三角形的性质★★★了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性质定理.相似三角形的有关证明与计算★★★相似三角形的应用★★会利用图形的相似解决一些简单的实际问题【考情分析】本专题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似的性质求线段的长度、图形的面积等，试题形式多样，难度不一，相似三角形的判定方法较多，合理的选择方法是解题的关键，常见的相似模型有“A”字形、8”字形及“一线三等角”等，熟练掌握这些模型能提升解题速度.【命题预测】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段，需要考生在复习的时候给予加倍的重视!02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一相似多边形1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形.【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关.2.相似多边形及、性质与判定相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”.【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；；3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.1．（2024·宁夏银川·三模）如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（

）A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁3．（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'﹐已知OAA．4 B．6 C．16 D．184．（2024·云南昆明·模拟预测）如图▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形，若他们的位似比为2:3，则▱ABCD与▱AEFG的面积比为（

）A．4:9 B．1:9 C．2:3 D．1:35．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是我国自主研发的某汽车的广告文案．已知：将矩形对折后所得的矩形如果与原矩形相似，那么原矩形的长与宽之比称为白银比，则白银比的近似值是．（小数点后保留三位）它们的大气端庄，主要来源于对东方传统美学中，白银比例这一规律的运用，和黄金比例相比白银比例下的作品，更为端正平街也更符合东方审美.考点二相似三角形相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为.常见的基本图形：图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.相似三角形的判定方法：1）判定三角形相似的常用定理：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．②三边成比例的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④两角分别相等的两个三角形相似．2）直角三角形相似的判定方法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”.【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.1．（2024·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．2．（2024·青海·中考真题）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：，使△AOB∽△COD．3．（2024·云南·中考真题）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若OA+OC+ACOB+OD+BD=12

4．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45°，则EFBC5．（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽04题型精研·考向洞悉命题点一相似三角形的性质与判定-基础►题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似相似三角形的判定方法：判定三角形相似的常用定理直角三角形相似的判定方法1平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似2三边成比例的两个三角形相似有一个锐角相等的两个直角三角形相似3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两组直角边成比例的两个直角三角形相似4两角分别相等的两个三角形相似解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例.【拓展】特殊三角形相似的判定：1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.2）两个等腰直角三角形一定相似.1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC．3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，下列不正确的是（

）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APAB=AB4．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．当AD=时，△ABC∽△ACD．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02选择合适的方法证明两个三角形相似1．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D、D'分别在边BC、B'C'上，且2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE=BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，连接MA，CN.求证：△ABM∽△CBN.4．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在△ABC中，点D,E, F分别在边AB, AC, 证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①5．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点A−2,0，B12,0，CB所在直线的方程为

(1)求b的值；(2)求证：△AOC∽△COB．6．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形ABCD是某学校的一块种植实验基地，其中△ABC是水果园，△ACD是蔬菜园．已知AB∥CD，(1)求证：△ABC∽△CAD；(2)若蔬菜园△ACD的面积为80m2，求水果园△ABC►题型03补全判定相似三角形的证明过程1．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务：下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题：如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE相交于点P．求证：PEBE小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结DE．∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=1∵……；∴……．∴PE任务：(1)填空：材料中的依据是指：______．(2)将材料中的证明过程补充完整．(3)如图②，在△ABC中，AB=AC，AD为边BC的中线．点E，F分别为边AB，AC的中点，EF与AD交于点O，BF与AD交于点P．则S△POF2．（2024·福建泉州·模拟预测）在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线AO，其传播方向不变，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后通过焦点F'，凸透镜的两侧各有一个焦点F和F'，焦点到光心的距离称为焦距，记为【模型验证】如图2，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后与光线AO的交点为点A'，过点A'作主光轴MN的垂线A'B'，垂足为B已知OB=u，OB'=v，OF'=f，AB=ℎ1，A'B'=ℎ2，当证明：∵A'B'∴A'B'∥AB，∴△AOB∽△同理可得△COF'∽△A'∴uv=②______，∴uv−uf=vf，∴1f请结合上述材料，解决以下问题：(1)在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是___________；(2)请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含v, (3)如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC并交边BC于点D，设AD=n，求1AB+13．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E在BC上，连接BD、AE，相交于点G，作∠AEF=∠ABD，交BD于点F，设BE=x．【变中不变】（1）明明发现：连接AF，当点E的位置在BC上发生变化时，∠AFE的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．∵∠AEF=∠ABD，且①_______；∴△FGE∽△AGB；∴GFGA=GEGB即：GFGE∴∠3+∠AEF=∠4+∠ABD=∠ABE；在矩形ABCD中，∠ABE=90°；∴∠3+∠AEF=90°；∴∠AFE=③_______°，即∠AFE度数不变．【尝试应用】（2）若x=32，求【思维拓展】（3）将△EFG绕着点E顺时针旋转90°得到△EF'G'，是否存在这样的x，使得△EFQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容．题目测量河流宽度AB目标示意图测量数据BC=2m，BD=5m(1)下面是小亮借助小明的测量数据求河流宽度AB的过程，小亮检查自己的解题过程时发现有错误，开始出现错误的是第______步；解：由已知得CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC=∠ADE=90°．

……第一步又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，

……第二步∴ABBD=DE解得AB=6m．

(2)请你求出河流宽度AB的长．2．（22-23九年级上·河北保定·期中）【阅读与思考】如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．在△ABC中，AB=8，BC=5，AC=4，D是线段AB上一点，且DB=6，过点D作DE交AC于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E

∴DE

这个解答有两处错误，一处是比例式写错了，另一处是解答过程不完整，没有分类讨论．【解决问题】(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)请将另一种情况画出相应图形并解答．3．（2022·山西运城·一模）计算：(1)−(2)下面是小明作业中一个题目的解答过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务．如图，在▱ABCD中，点E是BC上一点，BE=13BC，连接BD，AE，AE与BD交于点F，已知▱ABCD解：作AG⊥BC于点G．∵S▱ABCD=BC⋅AG=24，∴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴△BEF∽∴BEAD=EF∴S△BEF∴S△BEF任务一：填空：①上面解答过程中，证明三角形相似的依据是______．②小明的作业经过老师批改在S△BEF任务二：请你经过正确计算直接写出△BEF的面积为______．QUOTE►题型05利用相似三角形的性质求解利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（

）A．125564 B．12564 C．64272．（2022·云南·中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2．则S2S1A．12 B．14 C．34 3．（2022·江苏连云港·中考真题）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（

）A．54 B．36 C．27 D．214．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，ADDB=23，DE＝6cm，则A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm5．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DEBC(1)若AB=8，求线段AD的长．(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．►题型06利用相似的性质求坐标1．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−4,0、0,4，点C3,n在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA=2∠CAO，则n=2．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数y=−3x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A，B1,m两点，点C在

(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．

3．（2024·江苏盐城·三模）如图，以点C0,1为位似中心，将△ABC按相似比2:1放大，得到△DEC，则点A2,−1的对应点D的坐标为4．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线W：y=ax2+bx+ca≠0交x轴于点A−1，0(1)求出抛物线W的解析式；(2)已知抛物线的对称轴为直线l，点P为抛物线W上一点，过点P作l的垂线，垂足为Q，连接PD，若△PQD∽△AOC，求出点P的坐标．►题型07相似三角形在网格中的应用1．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则C1C22．（2020·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是．3．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）(1)在图①中，在线段AB上画出点M，使AM=3BM.(2)在图②中，在线段AB上画出点N，使AN=2BN(3)在图③中，在线段AB上画出点Q，使PQ⊥AB.►题型08相似三角形的性质与判定综合由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小.1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若∠ACD=2∠OEC，OFFE=56，则菱形2．（2024·宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：参考小丽的思考过程，完成推理．3．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴ABAC请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE4．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD=∠C，则AB（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的长；（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE=4，DG=6，求FG的长．命题点二相似三角形的性质与判定-拔高►题型01利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A'，B'处，EF，A'F分别交AC于点G，H．若GH=2，HC=8，则A．2029 B．2039 2．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F

若CF=4cm3．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是．

4．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E,F，连接BM．

(1)求证：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的长．5．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．►题型02利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像1．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，在△DEF中，DE=DF=5，EF=8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

A．

B．

C．

D．

2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（A．B．C．D．3．（2022·青海西宁·中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=3，BC=4，AD=5，动点P从点A出发，按A→B→C的方向在AB，BC边上移动，记PA=xx>0，点D到直线PA的距离为y，则y关于xA．B．C．D．QUOTE►题型03利用相似三角形的性质与判定求线段比值1．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交AD于点F．(1)求OEAE(2)求证：△AEB∽△BEC；(3)求证：AD与EF互相平分．2．（2024·安徽·中考真题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．(1)求证：OE=OF；(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD3．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．(1)【操作判断】如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为______度；(2)【问题探究】如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM+ON=2PA；(3)【拓展延伸】点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON=3OM，求OPOF4．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连接PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌【变式求异】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连接PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC=8，AC=10，AD=2DB，求PQ【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连接PQ，以Q为顶点作∠PQM=∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC=mAB，CQ=nAC（m，n是常数），求PQQM的值（用含m，

►题型04利用相似三角形的性质与判定求最值1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，△ACD中，AD=10,CD=2,BC⊥AC于点C,AC=2BC，则2．（2023·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为2,23，点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF．设OD=x,△DEF的面积为S

(1)求S关于x的函数解析式；(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．3．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A−3,0,B

(1)求此抛物线的解析式；(2)已知抛物线上有一点Px0,y0，其中y(3)若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB=2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．(1)如图1，若BE=10，EF=12，求点M与点B之间的距离；(2)如图1，若BE=10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；(3)如图2，若BF=22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为_______．►题型05利用相似三角形的性质与判定解决动点问题对于动态相似图形问题，一般是已知结论，求使结论成立的条件，可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件.1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE=DF．当AE+CF的值最小时，则CE=

2．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=35，点C为平面内一动点，BC=32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．当线段OM

A．35,65 B．3553．（2023·四川泸州·中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是

4．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接(1)当EQ⊥AD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．►题型06利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．2．（2024·广东·中考真题）【知识技能】（1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A'DC'．当点E的对应点E【数学理解】（2）如图2，在△ABC中(AB<BC)，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A'DC'，连接A'B，C【拓展探索】（3）如图3，在△ABC中，tanB=43，点D在AB上，AD=325．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE=3，CE=323►题型07利用相似三角形列函数关系式解决几何图形中的函数关系的问题，往往要用到几何图形的特征和相似的性质，尤其是利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来.1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE=x，AF=y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（

）A．y=9x B．y=12x C．2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP=2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ=x，PQ=y．当x=y时，CD=；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为．3．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，点D在AC上，CD=3，连接DB，AD=DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP=x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．(1)求AC的长；(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．►题型08利用三点定形法证明比例式或等积式1．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．【操作发现】小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：【实践探究】连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB=310．BC=6时，CF【问题解决】在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始终相等．请予以证明．2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC,AD,BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O,B重合），连接OF．

(1)若BE=1，求GE的长．(2)求证：BC(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．3．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，直线y=34x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD=∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E(1)证明：CDDB(2)当△BDE为直角三角形时，求DE(3)点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）4．（2024·山东·模拟预测）如图，点C是⊙O上的一个动点，点A、B是圆外任意两点，连接BC、AB、OA、OB，作△ABO的外接圆，OB恰好为外接圆的直径，且外接圆过点A，点M是BC的中点，A、E、M共线．(1)作△ABO的OB边上的高，垂足为点H，证明：①AH2=OH⋅BH(2)若⊙O的半径为3，AO=5，AB=12，求线段AM的长度的最小值．►题型09尺规作图与相似三角形综合应用1．（2021·山东济宁·中考真题）如图，已知△ABC．（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．（2）分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点（3）作射线AP交BC于点D．（4）分别以A，D为圆心，以大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于G，（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．依据以上作图，若AF=2，CE=3，BD=32，则A．510 B．1 C．942．（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图，①分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，交AB于点F．点F即为AB的一个三等分点（即学习任务：(1)填空：四边形ADBC的形状是；你的依据是；(2)证明：AF=3．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______(2)求证：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知等腰△ABC，AB=AC，作△ABC的外接圆为⊙O，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交AC于点M，③以点M为圆心，以AC，BC两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作AC的垂线交射线AN于点D，AE为∠(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AB=AC=3，BC=2，求►题型10三角板与相似三角形综合应用1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB2．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1放置，O是边BC(DF)的中点，BC=12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是cm3．（2024·内蒙古包头·三模）如图，将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O测得AC=8cm，AB=4cm，则⊙O的半径长为（

）A．3 B．23 C．5 D．4．（2024·山西运城·一模）综合与实践数学活动课上，王老师带领学生利用手头的三角板进行了如下的探究：

(1)问题发现：如图1，将一个足够大的30°,60°,90°三角板的直角顶点D放在45°,45°,90°三角板的斜边BC中点处转动，该三角板的两直角边与等腰直角三角板的两直角边AB，AC分别交于E、F两点，则线段DE与DF的数量关系是______；(2)拓展探究：如图2，将一个足够大的30°,60°,90°三角板的60°角（∠EDF=60°）顶点D放在30°,60°,90°三角板的斜边BC中点处转动，且∠ACB=60°，该三角板的两边与BA，CA的延长线分别交于E、F两点，当DE=DF时，试确定AE与AF的数量关系，并说明理由；(3)类比提升：如图3，将一个足够大的45°,45°,90°三角板的直角顶点D放在30°,60°,90°三角板的斜边BC中点处转动，且∠ACB=60°，该三角板的两直角边与AB，AC分别交于E、F两点，请直接写出线段DE与DF的数量关系（无需证明）．►题型11平移与相似三角形综合应用1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点A0,−2，B1,0，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是3．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.64．（2021·四川雅安·中考真题）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC:EC=3:1．S△ADG=16．则S△CEGA．2 B．4 C．6 D．8►题型12利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①CFBF=32；②tan∠H=3−1其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当

3．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④4．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=3，AD=1．以下结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC=3−④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为12其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个►题型13与相似三角形有关的新考法问题1．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图【阅读理解】任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点．

操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点．理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以DMBN=AMAN，EMCN=AMAN．所以，DMEM=BNCN．同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得DMCN=MPNP，EMBN【实践操作】请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．（1）如图3，l1∥l2，点E、①作线段EF的中点；②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得PF=EF（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P【探索发现】请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．（3）如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QE=12．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°222图③130°__________________请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB⋅AC之间的数量关系：______．【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析1BM3．（2021·山西·中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F=95C+32得出，当C=10再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式1R=1R1+图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式1R=1R1+1②如图，在△AOB中，∠AOB=120°，OC是△AOB的角平分线，OA=7.5，OB=5，用你所学的几何知识求线段OC的长．4．（2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC，下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中，若边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，类比探究（2）如图2，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高AD与边BC的数量关系，并说明理由．拓展延伸（3）①如图3，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则ADBC②如图4，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的nm≥3相同大小的正方形零件，求AD命题点三相似三角形的应用►题型01利用相似测量物体的高度利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得.1．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用同样方法，测得C'2．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖