中考数学总复习中考数学专项提升第17讲 全等三角形(练习)(解析版)

第四章三角形第17讲全等三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01利用全等三角形的性质求解👉题型02添加一个条件使两个三角形全等👉题型03结合尺规作图的全等问题👉题型04以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程👉题型05补全全等三角形的证明过程👉题型06全等三角形证明方法的合理选择👉题型07利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题👉题型08与全等三角形有关的基础模型-平移模型👉题型09与全等三角形有关的基础模型-对称模型👉题型10与全等三角形有关的基础模型-旋转模型👉题型11与全等三角形有关的基础模型-一线三等角👉题型12与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型👉题型13添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法👉题型14添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法👉题型15添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线👉题型16添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线👉题型17利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题👉题型18利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题👉题型19利用全等三角形的性质与判定解决动点问题👉题型01利用全等三角形的性质求解1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE=55°，则∠BDE的度数为【答案】35°【分析】本题考查了全等三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵CA⊥AB，∴∠A=90°，又∵∠ACE=55°，∴∠AEC=90°−∠ACE=90°−55°=35°，又∵△CAE≌∴∠BDE=∠AEC=35°，故答案为：35°．2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查的是全等三角形的性质；掌握三角形全等的性质是解题的关键．根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．【详解】解：∵△ABC≌△AEF，∴BC=EF，∠BAC=∠EAF，故③正确；∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，故④正确；AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，故①、②错误；∴正确的有③④共2个．故选：B．3．（2024·上海·模拟预测）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=4，EF=2，点M，N分别在边AB和边DE【答案】5【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得△FEN∽△BCM成为解题的关键．由勾股定理可得AB=5，设AM=x，则BM=5−x，由全等三角形的性质可得AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，再证△FEN∽△BCM，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可．【详解】解：如图：∵∠C=90°，∴AB=A设AM=x，则BM=5−x，∵△ACM≌∴AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，∵∠FNE=180°−∠DNF,∠CMB=180°−∠CMA，∴∠FNE=∠CMB，∵∠B=90°−∠CAM,∠EFN=90°−∠DFN，∴∠B=∠EFN，∴△FEN∽△BCM，∴FNBM=FEBC,即经检验，x=53是方程∴AM=5故答案为534．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D，E分别是边AB，BC上的动点，且AD=BE，连接AE，CD，当AE+CD的值最小时，∠AEB的度数为（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．将△ADC拼接到△BEF，连接AF交BC于点G，推出AE+CD=AE+EF≥AF，当点E与点G重合时，AE+CD的值最小，据此求解即可．【详解】解：如图，将△ADC拼接到△BEF，连接AF交BC于点G，则△ADC≌△BEF，∴CD=EF，AC=BF，∠EBF=∠DAC=120°，∴AE+CD=AE+EF≥AF，∴当A，E，F三点共线，即点E与点G重合时，AE+CD的值最小，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴∠ABF=150°，AB=AC=BF，∴∠BAF=∠BFA=15°，∴∠AGB=135°即AE+CD最小时，∠AEB的度数为135°．故选：C．👉题型02添加一个条件使两个三角形全等5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（

）A．若∠ACD=∠ABE，则CD=BE B．若BD=CE，则BE=CDC．若CD=BE，则∠ACD=∠ABE D．若AD=AE，则∠CBE=∠DCB【答案】C【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由∠ABC=∠ACB，可得AB=AC，再分别利用全等三角形的判定和性质即可得出结论．【详解】解：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，若∠ACD=∠ABE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAEASA∴CD=BE，则原命题是真命题，故选项A不符合题意；若BD=CE，∴AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAESAS∴CD=BE，则原命题是真命题，故选项B不符合题意；若CD=BE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，不能证明△CAD与△BAE全等，则∠ACD与∠ABE不一定相等，则原命题是假命题，故选项C符合题意；若AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAESAS∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABC=∠ACB，∴∠CBE=∠DCB，则原命题是真命题，故选项D不符合题意；故选：C．6．（2024·北京·模拟预测）如图，AD，BE是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明△AEB≌△BDA（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是．（写出一个即可）【答案】BD=AE（答案不唯一）【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加BD=AE，通过“HL”即可证明△AEB≌△BDA．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键．【详解】解：添加BD=AE，∵AD，BE是∴∠BEA=∠ADB=90°，在Rt△AEB和RtBD=AEAB=BA∴Rt故答案为：BD=AE（答案不唯一）．7．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在△ABC和△ABD中，AD与BC相交于点O，BC=AD，添加一个条件可以证明AC=BD．(1)①∠1=∠2；②∠CAD=∠CBD；③OC=OD；④∠C=∠D，上面四个条件可以添加的是______（填序号）．(2)请你选择一个条件给出证明．【答案】(1)①③(2)详见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：（1）添加①或③，即可；（2）添加①，根据等腰三角形的判定可得OA=OB，从而得到OC=OD，可证明△AOC≌△BOD，即可；添加③，可得OA=OB，可证明△AOC≌△BOD，即可．【详解】（1）解：上面四个条件可以添加的是①；故答案为：①③（2）若添加①∠1=∠2；∵∠1=∠2，∴OA=OB，∵BC=AD，∴OC=OD，在△AOC和△BOD中，∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；若添加③OC=OD；∵BC=AD，OC=OD，∴OA=OB，在△AOC和△BOD中，∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD．8．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF，(1)证明：△DAE∽△EGF(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF【答案】(1)见解析(2)添加∠FBG=45°，证明见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定；（1）证明有两对角相等即可判断；（2）假设△DAE≌△EGF，可以推出∠FBG=45°即可．【详解】（1）证明：∵FG⊥AB，∴∠FGE=∠EAD=90°，又∵DE⊥EF，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEG=90°，∵∠FEG+∠EFG=90°，∴∠AED=∠EFG，∴△DAE∽△EGF；（2）解：添加∠FBG=45°，如果△DAE≌△EGF，∴AE=GF,DA=EG=AB，∴AE+EB=EB+BG，∴AE=BG，∴GF=BG，∵FG⊥AB，∴Rt∴∠FBG=45°，故添加：∠FBG=45°，能证明△DAE≌△EGF．👉题型03结合尺规作图的全等问题9．（2022·北京海淀·一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形即可．【详解】解：满足条件的三角形有4个，如图所示：（只要画出一种即可）【点睛】本题考查作图——应用与设计图纸，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（2022·湖南长沙·二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．(1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下：由作图可知，在△MAN和△M'ON'中，，∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此处填理论依据），∴∠COE=∠OAB．(2)若AB=6，求线段OE的长．【答案】(1)MN=(2)OE=3【分析】（1）由作图可知△MAN≌△M'（2）由∠COE=∠OAB得OE//AB，由四边形ABCD为平行四边形得OC=OA，再由中位线定得OC的长．【详解】（1）由作图可知，在△MAN和△M'AM=OM∴△MAN≌△M'∴∠COE=∠OAB，故答案为：MN=（2）由（1）得∠COE=∠OAB，∴OE//AB∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC=OA，∴CE=BE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE=【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，平行四边形的性质及三角形中位线性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022·福建福州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=1(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=57【答案】(1)见解析(2)EF【分析】（1）以点A为圆心，AD为半径画弧，以点B为圆心，以BD为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、BE，则BE即为所求；（2）先证明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一知CD=12BC，进一步证明，△ABE≌△ABD（SSS），得到∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又AF＝AF，，得到△AEF≌△ADF（SAS），EF=DF，在Rt△BCF中，sin∠EBA=CFCB=57【详解】（1）解：如图1所示，点E即为所求．理由是：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC∴线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），旋转角为∠DAE，且BE=1（2）解：如图2，连接DF．在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴CD=1由（1）可知BE=12BC∴BE=BD，又∵AB=AB，∴△ABE≌△ABD（SSS），∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又∵AF=AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，∵CF⊥AB，∴在Rt△BCF中，sin∠EBA=设CF=5a，BC=7a，∵CD=1∴DF=1∴EF=7∴EFCF【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、锐角三角函数、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键12．（2022·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．题目背景：在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上．(1)作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE≌△CAD；小明：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE．则△CBE即为所求作的三角形．小军：如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，两条垂线相交于点E，则△CBE即为所求作的三角形．选择填空：小明得出△CBE≌△CAD的依据是，小军得出△CBE≌△CAD的依据是；（填序号）①SSS②SAS③ASA④AAS(2)测量发现：如图3，在（1）中△CBE≌△CAD的条件下，连接AE．兴趣小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段AC至F点，使CF=CA，连接EF．请你完成证明过程．(3)迁移应用：如图4，已知∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，BC=32，∠BCD=15°，若在射线BM上存在点E，使S△ACE=【答案】(1)①；③(2)证明见解析(3)3+【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得出结论；（2）由条件AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，可知△ABC≌△FBC，又△CBE≌△CAD，得到S△ABC=S△FBC，S△CBE=S△CAD，所以（3）过点C作CE⊥CD交BM于点E，连接AE，过点C作CG⊥AB交AB于点G，由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE=S△BCD且AD=BE；根据AC=BC，∠ACB=90°，有∠ABC=45°，由等腰三角形的三线合一的性质可知AG=BG，结合∠BCD=15°，可得∠ADC=60°，根据BC=32，由cos∠ABC=BCAB得到AB=6，所以AG=BG=3，然后在Rt△CBG和【详解】（1）解：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE，∴AD=BE，CD=CE又∵AC=BC，在△CBE和△CAD中BC=ACBE=AD∴△CBE≌△CAD（SSS）如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，∴∠DCE=90°，∠DBE=90°，即∠DCB+∠BCE=90°，∠CBA+∠CBE=90°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD，在△CBE和△CAD中∠CBE=∠CADBC=AC∴△CBE≌△CAD（ASA）故选：①；③（2）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，∴∠ACB=∠FCB=90°，在△ABC和△FBC中CA=CF∠ACB=∠FCB∴△ABC≌△FBC（SAS）∴S△ABC即S△CAD又∵△CBE≌△CAD，∴S△CBE∴S△CDB又∵在△AEF中，CF=CA，∴S△CAE∴S△CAE（3）解：如图，过点C作CE⊥CD交BM于点E，连接AE，过点C作CG⊥AB交AB于点G，又∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ABC，△CBG，△CDG都是Rt△，∴∠ABC=45°，AG=BG，∵∠BCD=15°，∴∠ADC=60°，在Rt△ABC中，BC=32∴cos∠ABC=∴AB=BC∴AG=BG=1在Rt△CBG中，tan∠ABC=∴CG=BG·tan在Rt△CDG中，tan∠CDG=∴DG=CG又由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE∴AD=BE，∴BE=AD=AG+DG=3+3∴BE的长为3+3【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定与性质，三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数解直角三角形等知识以及知识迁移应用的能力．通过作适当的辅助线从而达到能够应用前面两问的结论和全等三角形的性质的应用是解答本题的关键．👉题型04以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程13．（2023·贵州六盘水·一模）如图，BA=BE，AC=DE，且AB∥ED，∠A=∠ABE，∠C=∠D．求证：∠ABE=∠CBD．下面是小亮的解答过程：证明：在△ABC和△EBD中，BE=BA∠C=∠DAC=ED∴△ABC≌△EBDSAS，

∴∠ABC=∠EBD，

第三步∴∠ABE=∠CBD．

第四步(1)小亮的证明过程是从第________步开始出现错误的．(2)请你写出正确的证明过程．【答案】(1)一(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．（1）根据全等三角形的判定条件即可得出结论；（2）根据平行线的性质推出∠A=∠E，再根据SAS证明△ABC≌△EBD即可得出结论．【详解】（1）解：小亮的证明过程是从第一步开始出现错误的；（2）证明：∵AB∥ED，∴∠E=∠ABE．∵∠A=∠ABE，∴∠A=∠E．

在△ABC和△EBD中，BE=BA∠A=∠E∴△ABC≌△EBDSAS，∴∠ABC=∠EBD，∴∠ABE=∠CBD．14．（2024·江苏南通·一模）如图，P是△ABC内一点，PB=PC，∠ABP=∠ACP．求证：∠APB=∠APC．小虎的证明过程如下：证明：在△ABP和△ACP中，∵PB=PC，∠ABP=∠ACP，AP=AP，∴△ABP≌△ACP．（第一步）∴∠APB=∠APC．（第二步）(1)小虎同学的证明过程中，第步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．【答案】(1)一(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）由全等三角形的判定方法可得出结论；（2）证明△ABP≌△ACPSSS，得出∠APB=∠APC【详解】（1）解：全等的判定方法用错了，第一步出现错误；故答案为：一；（2）解：∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∵∠ABP=∠ACP，∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC，在△ABP和△ACP中，AB=ACAP=AP∴△ABP≌△ACPSSS∴∠APB=∠APC．15．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知点D在射线AE上BD=CD，AE平分∠BAC与∠BDC，求证AB=AC．小明的证明过程如下：证明：∵AE平分∠BAC．∴∠BAD=∠CAD．∵AD=AD，BD=CD．∴△ABD≌△ACD∴AB=AC．小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．【答案】小明的证明不正确；正确的证明见解析【分析】由平分，证明∠BDE=∠CDE，再由邻补角，推出∠BDA=∠CDA，根据SAS可证明△BDA≌△CDA，即可证明AB=AC．【详解】解：小明利用的是SSA，是不能证明△ABD与△ACD全等，故小明的证明不正确；正确的证明如下，∵AE平分∠BDC，∴∠BDE=∠CDE，∴∠BDA=∠CDA，∵AD=AD，BD=CD，∴△BDA≌△CDASAS∴AB=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．👉题型05补全全等三角形的证明过程16．（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空：如图，正方形ABCD中，点F、E、G分别在AB、BC、CD上，且AE⊥FG．(1)尺规作图：过点G作AB垂线交AB于点H．（只保留作图痕迹）(2)证明AE=FG，将下面的过程补充完整．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB，∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=①∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴②=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四边形BCGH为矩形，∴BC=GH，∴③=GH．∴△ABE≌△GHF（④____）∴AE=FG．【答案】(1)见解析(2)①∠GHF；②∠AEB；③AB；④AAS【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握基本作图方法和特殊四边形的判定和性质是解题关键．（1）根据尺规作图作垂线的方法画图即可；（2）由正方形的性质结合题意可证明∠B=∠GHF，又易证∠AEB=∠AFG和四边形BCGH为矩形，即可间接得出AB=GH，即可证△ABE≌△GHFAAS，得出AE=FG【详解】（1）解：如图，GH即为所作；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB．∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=∠GHF．∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四边形BCGH为矩形，∴BC=GH，∴AB=GH，∴△ABE≌△GHFAAS∴AE=FG．17．（2023·重庆巴南·一模）已知：如图，矩形ABCD中，点E是边BC上一点，且AE=AD．(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；(2)求证：DC=DF，请将下面证明过程补充完整：证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=①；∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=②；又∵AE=AD，∴△EBA≌△AFD（③∴AB=④．∵AB=DC，∴DC=DF．【答案】(1)见解析(2)∠AFD；∠BEA；AAS；DF.【分析】（1）利用基本作图.过D点作AE的垂线即可；（2）先根据矩形的性质得到AB=CD，AD∥BC，则∠DAF=∠BEA，则可根据“AAS”判断△ADF≌△DEC,得到AB=DF，从而得到【详解】（1）如图（2）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=∠AFD；∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=∠BEA；又∵AE=AD，∴△EBA≌△AFD∴AB=DF，∵AB=DC，∴DC=DF．故答案为:∠AFD；∠BEA；AAS；DF.【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质和矩形的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.18．（2023·广西柳州·二模）综合与实践

(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．①求证：AD=BE；将下列解答过程补充完整．证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+________，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE；②若∠ACB=50°，则∠AEB的度数为________．(2)类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断AE、BE与CM三条线段的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若BE=2，CM=1，请直接写出四边形ABEC的面积．【答案】(1)①∠ECB；②50°；(2)AE=BE+2CM，理由见解析；(3)6【分析】（1）①根据∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠ECB，即可得到答案；②根据∠ACB=50°可得∠DCE=50°，求出∠CDE=∠CED=65°，根据全等三角形的性质，得出∠CEB=∠ADC=115°，即可求出结果；（2）由△ACD≌△BCE得出AD=BE，再判断出DM=CM，即可得出结论；（3）根据（2）的结论求得AE=4，再根据四边形ABEC的面积＝△ACE的面积＋△ABE的面积，进行计算即可求解．【详解】（1）解：①证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠ECB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE，故答案为：∠ECB；②∵∠ACB=50°，∴∠DCE=∠ACB=50°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=1∴∠ADC=180°−∠CDE=115°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB=∠ADC=115°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=50°，故答案为：50°；（2）∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°∴∠DCM=∠CDM=45°，∴DM=CM，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM；（3）解：由（2）得：AE=BE+2CM=2+2×1=4，∵CM为△DCE中DE边上的高，∴S【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质是解本题的关键．19．（2022·河南新乡·二模）（1）在△ABC中，AB=nAC，∠BAC=α，∠DAE=12α，且点D，E别不与点B，C重合，且点D在点E左侧）．①初步探究如图1，若n=1，α=120°，BD=CE，试探究BD，DE，CE之间的数量关系．下面是小东的探究过程（不完整），请补充完整．解：∵n=1，α=120°，∴AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°．∴∠ABD=∠ACE=30°．如图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°，得到△ACG，连接GE．由旋转的性质，可知△AGC≌∴BD=CG，AD=AG，∠ACG=∠ABD=30°．∴CE=CG，∠GCE=60°．∴△CGE为等边三角形．（依据：_________________）∴CG=______=______．∵∠DAG=120°，∠DAE=60°，∴∠DAE=∠EAG=60°，又∵AE=AE，∴△ADE≌∴DE=GE．∴BD=CE=DE．②类比探究如图2，若n=1，α=90°，BD≠CE，请写出BD，DE，CE之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．（2）问题解决如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AM⊥BC于点M，BM=3，CM=2，点N为线段BC上一动点，当点N为BC的三等分点时，直接写出AN的长．【答案】（1）①有一个角为60°的等腰三角形，CE，GE；②结论是：DE2=CE2+BD2．证明见详解（2）AN的长为2385【分析】（1）①将△ABD绕点A逆时针旋转120°，得到△ACG，连接GE．由旋转的性质，可知△AGC≌△ADB，得出CE=CG，∠GCE=60°．可证△CGE为等边三角形．（依据：有一个角为60°的等腰三角形），得出CG=CE=②结论是：DE2=CE2+BD2,将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ACG，连结CG，得出AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，再证∠DAE=∠GAE，然后证明△DAE≌△GAE（SAS）即可；（2）将△AMC绕点A顺时针旋转90°到△AHC′，延长HC′与MB的延长线交于S，先证四边形AHSM为正方形，∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=BS，再证△AC′B≌△ACB（SAS），得出C′B=CB=BM+CM=5，根据勾股定理得'2+SB【详解】（1）①将△ABD绕点A逆时针旋转120°，得到△ACG，连接GE．由旋转的性质，可知△AGC≌∴BD=CG，AD=AG，∠ACG=∠ABD=30°．∴CE=CG，∠GCE=60°．∴△CGE为等边三角形．（依据：有一个角为60°的等腰三角形）∴CG=CE=GE．∵∠DAG=120°，∠DAE=60°，∴∠DAE=∠EAG=60°，又∵AE=AE，∴△ADE≌∴DE=GE．∴BD=CE=DE．故答案为：有一个角为60°的等腰三角形，CE，GE；②结论是：DE2=CE2+BD2．证明：将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ACG，连接EG，则AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=90°，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠BAD+∠EAC=90°-∠DAE=45°，∴∠DAE=∠GAE，在△DAE和△GAE中，AD=AG∠DAE=∠GAE∴△DAE≌△GAE（SAS），∴DE=GE，在Rt△GCE中，GE2=EC2+GC2即DE2=EC2+BD2；（2）解：将△AMC绕点A顺时针旋转90°到△AHC′，延长HC′与MB的延长线交于S，则∠HAM=90°，∵AM⊥BC，∴∠AMC=∠AMB=90°，根据三角形旋转90°得AH=AM，HC′=MC=2，AC′=AC，∠HAC′=∠MAC，∠H=∠AMC=90°，∴∠H=∠AMC=∠HAM=90°，∴四边形AHSM为矩形，∵AH=AM，∴四边形AHSM为正方形，∴∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=MS，在△AC′B和△ACB中，AC∴△AC′B≌△ACB（SAS），∴C′B=CB=BM+CM=5，在Rt△C′SB中,C′S=AM-HC′=AM-2，BS=AM-BM=AM-3，根据勾股定理得SC'2解得AM=6或AM=-1（舍去），当点N在BM上，NB=53∴MN=3-BN=43∴AN=MN当点N在CM上，CN=53∴MN=2-CN=13∴AN=MN综合AN的长为2385或【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，正方形判定与性质，一元二次方程，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，正方形判定与性质，一元二次方程是解题关键．👉题型06全等三角形证明方法的合理选择20．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

(1)AF=CG；(2)CF=2DE．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）根据题意，则∠ACG=∠BCG=45°，∠CAF=∠CBF=45°，等量代换，则∠CAF=∠BCG，根据全等三角形的判定和性质，即可；（2）延长CG交AB于H，连接AG，根据题意，垂直平分线的性质，证明得到CH是AB的垂直平分线，则AH=BH，AG=BG，根据平行线的判定和性质，则AD∥CG，∠D=∠EGC，根据∠GBA+∠D=∠BAG+∠DAG=90°，推出∠D=∠DAG，根据全等三角形性质，则△AFC≌△CGB，得到CF=BG，根据E为AC边的中点，全等三角形的判定和性质，则△ADE≌△CGEAAS【详解】（1）证明，如下：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∵CG平分∠ACB交BD于点G∴∠ACG=∠BCG=45°，∴∠CAF=∠BCG，∵AC=BC，∠ACF=∠CBG，∴△AFC≌△CGBASA∴AF=CG．（2）证明，如下：延长CG交AB于H，连接AG，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH是AB的垂直平分线，∴AH=BH，AG=BG，∴∠ABG=∠GAB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∠DAB=90°，∴∠D=∠EGC，∵∠GBA+∠D=∠BAG+∠DAG=90°，∴∠D=∠DAG，∴DG=AG=GB，∵△AFC≌△CGB，∴CF=BG，∴DG=CF，∵E为AC边的中点，∴AE=CE，∵∠AED=∠CEG，∴△ADE≌△CGEAAS∴DE=GE，∴DG=2DE，∴CF=2DE．

21．（2024·青海玉树·三模）[证明体验](1)[思考探究]如图1，在△ABC中，点D在边BC上，点F在边AC上，AB=AD，FB=FC，AD与BF相交于点E．求证：∠ABF=∠CAD．(2)[拓展延伸]如图2，在（1）的条件下，过点D作AB的平行线交AC于点G，若DE=2AE，AB=6，求DG的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．（1）根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，∠C=∠FBC，进而根据三角形的外角的性质，等量代换即可得证；（2）证明△ADG≌△BAE(ASA)【详解】（1）证明：∵AB=AD，FB=FC∴∠ABD=∠ADB，∠C=∠FBC，∵∠ADB=∠C+∠CAD，∠ABD=∠ABF+∠FBC，∴∠ABF=∠CAD；（2）解：∵∠ABF=∠CAD，∴∠ABE=∠DAG，∵DE=2AE，AB=6，∴AD=AB=6，AE=1∵DG∥AB，∴∠BAE=∠ADG，在△ADG与△BAE中，∠DAG=∠ABEAD=BA∴△ADG≌△BAE(ASA)∴DG=AE=2；22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长AF交边BC于点G．

(1)求证：CG=FG；(2)若正方形的边长为2，求BG的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查了翻折变换，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键．（1）连接EG，证明Rt△EFG≌（2）设GC=FG=x，在Rt△ABG中，利用勾股定理求出x的值，再根据BG=BC−CG【详解】（1）解：连接EG，如图，

∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠C=90°∵点E是CD中点，∴DE=EC，由折叠可知：△ADE≌△AFE，则AF=AD，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴EF=EC，在Rt△EFG和RtEF=ECEG=EG∴Rt∴FG=GC；（2）由（1）知：CG=FG，AF=AD，设GC=FG=x，∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=BC=CD=AD=2，则BG=BC−CG=2−x，AG=AF+FG=2+x，在Rt△ABG∵AB∴2解得：x=1∴BG=BC−CG=2−123．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，P是菱形对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F．(1)如图1，求证：△APB≌△APD；(2)如图2，连接EF、BD，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边AD和【答案】(1)详见解析(2)△AEF，△PEF，△PDB，△CBD【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键．（1）利用菱形的性质和全等三角形的判定（SAS）可得结论；（2）利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的判定可得出结论．【详解】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAP=∠DAP，AB=AD，CD=BC，在△APB和△APD中，AB=AD∠BAP=∠DAP∴△APB≌△APDSAS（2）解：如图2，∵CD=BC，∴△CDB是等腰三角形，由（1）知△APB≌△APD，∴PB=PD，∠ABP=∠ADP，则△PDB是等腰三角形，在△PBE和△PDF中，∠EBP=∠FDPPB=PD∴△PBE≌△PDFASA∴BE=DF，PE=PF，则△PEF是等腰三角形；∴AB−BE=AD−DF，即AE=AF，则△AEF是等腰三角形，综上，所有的等腰三角形为△AEF，△PEF，△PDB，△CBD．👉题型07利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题24．（2024·内蒙古包头·三模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=6；④S正方形ABCD【答案】①②④【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理等知识点．根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；利用勾股定理解三角形求正方形的边长和面积可以判断③和④的正误．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和RtAB=ADAE=AF∴Rt∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC−BE=CD−DF，∴CE=CF，①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，②说法正确；∵EF=2，∴CE=CF=2设正方形的边长为a，在Rt△ADFAD2+D解得a=2∴BE=DF=2∴BE+DF=6−2∵a=2则a2S正方形ABCD=2+故答案为：①②④．25．（2024·四川广元·二模）如图，点P是正方形ABCD内部的一个动点，且ABP是以AB为底边的等腰三角形，连接AC，PD，PC，有下列结论：①PD=PC;②PA+PC>AC;③当PB=BC时，∠BPC=60°;④当AB=AP时，S其中结论正确的是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．由正方形的性质和等边三角形的性质可得AD=BC，∠ABC=∠DAB=90°，可得△DAP≌△CBP，①正确，再根据△ABP是等边三角形，即可得出③不正确，④正确【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ABC=∠DAB=90°，∵△ABP是等腰三角形，∴AP=BP∴∠ABP=∠PAB∴∠CBP=∠PAD∴△DAP≌△CBP(∴DP=CP故①正确；当A,P,C三点在同一条直线上时，PA+PC=AC故②不正确；当PB=PC时，∵AB=BC∴AB=BP=AP∴△ABP是等边三角形，∠ABP=60°，∴∠DAP=∠CBP=30°，∴∠BCP=∠BPC=75°，故③不正确；当AB=AP时，设AB=a∵AP=BP∴AB=BP=AP∴△ABP是等边三角形，过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥AD于点H，∴AG=GB=12∵∠BAD=∠AGP=90°，∴四边形AGPH是矩形，∴PH=AG，∵SΔABCS∴S∴S∴SABC=3综上所述：①④．故选：C．26．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，点M，N分别在AB，CD边上，且AM=CN，将△ADM，△BCN分别沿DM，BN折叠，点A的对应点为A'，点C的对应点为C'，点A，A'在BD甲：当A'C'乙：当A'C'则下列正确的是（

）A．甲错，乙对 B．甲对，乙错 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误【答案】C【分析】本题考查了矩形与折叠，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判断与性质等知识，当A'C'∥AD时，延长A'C'交DC于点H，延长C'A'交AB于点K，利用SAS证明△DAM≌△BCN，可得出∠A'MK=∠C'NH，A'M=C'N，利用AAS证明△A'KM≌△C'HN，求出【详解】如解图①，当A'C'∥AD时，延长A'C'交DC于点∵A'∴HK∥∴∠A由折叠的性质可知△ADM≌△A'DM∵AM=CN，∠A=∠C，AD=BC，∴△DAM≌△BCN，∴∠DMA=∠BNC．∴∠A'MK=∠∴△A∴A'K=∴AK=BK=CH=2，∴C∴C∴A'C如解图②，当A'C'⊥BD于点O时，连接在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4∴BD=5cm∵AM=CN，∴A'M=C'∴△A∴A又∵A∴四边形A'∴BO=DO=52cm∴A故选：C．27．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形ABC中，有一点P，连接PA、PB、PC，将BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接PD、AD，有如下结论：①△BPC≌△BDA；②△BDP是等边三角形；③如果∠BPC=150°，那么PA²=PB²+PC²．以上结论正确的是（A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】①根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=60°，根据旋转的性质得出BD=BP,∠DBP=60°，即可求证；②根据旋转的性质得出BD=BP,∠DBP=60°，即可证明△BDP是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出∠BDP=60°根据全等三角形的性质得出∠ADB=150°，则∠ADP=∠ADB−∠BDP=90°，即可推出PA²=PB²+PC²．【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，∴BD=BP,∠DBP=60°，∴∠ABC−∠ABP=∠DBP−∠ABP，即∠ABD=∠CBP，∵AB=BC,∠ABD=∠CBP,BD=BP，∴△BPC≌△BDA，故②∵BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，∴BD=BP,∠DBP=60°，∴△BDP是等边三角形，故②正确，符合题意；③∵△BDP是等边三角形，∴∠BDP=60°∵△BPC≌△BDA，∴∠ADB=150°，∴∠ADP=∠ADB−∠BDP=90°，∴PA²=PB²+PC²，故③正确，符合题意；综上：正确的有①②③，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．👉题型08与全等三角形有关的基础模型-平移模型28．（2024·云南昆明·一模）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，且点B，E、C、F在同一条直线上．求证：

【答案】证明见解析【分析】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质；首先利用平行线的性质∠B=∠DEF，再证明△ABC≌△DEF，即可证明．【详解】证明：∵AB∥∴∠B=∠DEF，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，又∵AB=DE，∴△ABC≌△DEFSAS∴∠ACB=∠DFE．29．（2024信阳市模拟预测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD=CE，AB∥DF，AB=DF．(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)连接CF，若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求∠DFE的度数．【答案】(1)见解析(2)∠DFE=74°【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质．（1）先证明∠A=∠EDF，AC=DE，再利用SAS证明△ABC≌△DFE即可；（2）先求得∠DOC=∠BCF+∠DFC=74°，证明∠B=∠DOC=74°，再利用全等三角形的性质可得答案．【详解】（1）证明：∵AB∥DF，∴∠A=∠EDF，∵AD=CE，∴AD+CD=CE+CD，即AC=DE，在△ABC和△DFE中，AB=DF∠A=∠FDE∴△ABC≌△DFE；（2）解：∵∠BCF=54°，∠DFC=20°，∴∠DOC=∠BCF+∠DFC=54°+20°=74°，∵AB∥DF，∴∠B=∠DOC=74°，∵△ABC≌△DFE，∴∠DFE=∠B=74°．👉题型09与全等三角形有关的基础模型-对称模型30．（2024·广东·模拟预测）（1）解不等式组：3x+1<4（2）如图，已知A，F，C，D四点共线，AF=CD，AB=DE，∠A=∠D，连接BC，EF，求证：BC=EF．【答案】（1）−2<x<1；（2）证明见解析【分析】本题考查了解不等式组，全等三角形的判定和性质．（1）根据解不等式组的方法进行求解即可；（2）根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等先证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可证明．【详解】（1）解：3x+1<4①解不等式①得：x<1，解不等式②得：x>−2，故不等式的解集为：−2<x<1．（2）证明：∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AC=DF∠A=∠∴△ABC≌△DEFSAS∴BC=EF．31．（2024中山市模拟预测）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【答案】见解析【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【详解】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=BC∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△CBDSAS∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．32．（2024·青海·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．(1)求证：AC=AE；(2)若BC=4，AB=5，求BE的长．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，（1）由角平分线的性质得到DC=DE，证明Rt△ADC≌（2）由勾股定理求出AC，由（1）知AC=AE，由BE=AB−AE=AB−AC，即可得解；掌握角平分线的性质和勾股定理是解题的关键．【详解】（1）证明：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DC=DE，在Rt△ADC和RtDC=DEAD=AD∴Rt△ADC≌∴AC=AE；（2）解：∵∠C=90°，BC=4，AB=5，∴AC=A由（1）知：AC=AE，∴BE=AB−AE=AB−AC=5−3=2，∴BE的长为2．👉题型10与全等三角形有关的基础模型-旋转模型33．（2024九年级下·浙江·专题练习）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：(1)在图2中，∠GAF的度数是______．(2)如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°,DE=4，求BE的长度．(3)如图4，△ABC中，AC=4,BC=6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB的度数为多少时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．【答案】(1)45°(2)BE=(3)当∠ACB=135°时，线段CD【分析】（1）根据旋转的性质得出∠GAE=90°，∠GAB=∠DAE，根据∠EAF=45°，利用角的和差关系得出∠BAG+∠BAF=45°即可得答案；（2）如图，过点A作AH⊥BC，交CB延长线于H，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△AGF，可证明四边形AHCD是正方形，可得点H与点G重合，根据旋转的性质，结合（1）的结论，利用SAS证明△AFB≌△AEB，可得BF=BE，根据线段的和差关系得出BC=14−BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列方程求出BE（3）如图，将AC绕点A逆时针旋转90°得线段AF，连接BF、CF，可得△CAF是等腰直角三角形，∠ACF=45°，利用勾股定理可求出CF=42，利用SAS证明△CAD≌△FAB，得出CD=BF，可得BF有最大值时，CD有最大值，利用三角形三边关系求出BF的最大值，并根据平角的定义求出∠ACB【详解】（1）解：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴∠GAE=90°，∠GAB=∠DAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠DAE+∠BAF=90°−45°=45°，∴∠BAG+∠BAF=45°，∴∠GAF=45°．故答案为：45°（2）如图，过点A作AH⊥BC，交CB延长线于H，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△AGF，∴∠FAB=90°，AE=AF，∠AGF=∠D=90°，FG=DE=4，∵直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，∴∠AHC=∠D=∠C=90°，∴四边形AHCD是正方形，AD=AH=CH，∠DAH=90°，∴点H与G重合，F、H、B三点共线，∵∠BAE=45°，∴由（1）可知∠FAB=∠EAB=45°，在△AFB和△AEB中，AF=AE∠FAB=∠EAB∴△AFB≌△AEB，∴BF=BE，∴BH=BF−FH=BE−4，∴BC=CH−BH=10−(BE−4)=14−BE，∵AD=CD=10，DE=4，∴CE=CD−DE=6，∵在Rt△BCE中，B∴BE解得：BE=58（3）如图，将AC绕点A逆时针旋转90°得线段AF，连接BF、CF，∴△CAF是等腰直角三角形，∠ACF=45°，∵AC=4，∴CF=A∵四边形ADEB是正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB，∴∠FAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC，即∠FAB=∠CAD，在△FAB和△CAD中，AC=AF∠CAD=∠FAB∴△CAD≌△FAB，∴CD=BF，∴当BF有最大值时，CD有最大值，∵BC+CF≥BF，BC=6，∴当B、C、F三点共线时，BF有最大值，BF=BC+CF=6+42∵∠ACF=45°，∴此时∠ACB=180°−45°=135°，∴当∠ACB=135°时，线段CD有最大值，最大值为【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点的应用是解题的关键．34．（2024·贵州遵义·三模）如图①，已知正方形ABCD和等腰直角△AEF，∠BAD=∠EAF=90°，连接DF，BE．(1)【问题发现】如图①，线段BE与DF的数量关系为______，位置关系为______；(2)【问题探究】如图②，将△AEF绕点A旋转，再将DF绕点F顺时针方向旋转90°至FM，连接BM，探究线段EF与线段BM的数量及位置关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】将△AEF绕点A旋转至AF∥BE，延长DF交直线AB于H、交BE于G，若FH=4，DF=9，求出【答案】(1)BE=DF，BE⊥DF；(2)EF=BM，EF∥BM，理由见解析；(3)3或15．【分析】（1）延长DF交BE于点N，证明△ABE≌△ADFSAS，∠ADF+∠AEB=90°，∠DNE=180°−∠ADF+∠AEB，（2）延长DF交BE于N，交AB于H，推出△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，△AEB≌△AFD，∠BNH=∠HAD=90°，FM=BE，∠DEM=∠FNB，则FM∥BE，推出四边形BEFM为平行四边形，即可作答；（3）分两种情况讨论，分别作答即可．【详解】（1）解：延长DF交BE于点N，∵△AEF为等腰直角三角形，四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠EAF=90°，AE=AF，AB=AD，∴△ABE≌△ADFSAS∴∠ABE=∠ADF，BE=DF，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠ADF+∠AEB=90°，∴∠DNE=180°−∠ADF+∠AEB∴DN⊥BE，即DF⊥BE，故答案为：BE=DF，BE⊥DF；（2）解：EF=MB，EF∥BM，理由如下：如图，延长DF交BE于N，交AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，∴AE=AF，∴∠EAB=∠DAF，∴△AEB≌△AFDSAS∴DF=BE，∴∠ADF=∠NBA，∴∠NHB=∠AHD，∴∠BNH=∠HAD=90°，∵DF=FM，∠DFM=90°，∴FM=BE，∠DEM=∠FNB，∴FM∥BE，∵四边形BEFM为平行四边形，∴EF=MB，EF∥BM；（3）解：分两种情况，情况一：如图，∵AF∥BE，∠EAF+∠AEG=180°，∴∠EAF=∠AEG=90°，由（1）得∠FGE=90°，∴四边形AEGF为正方形，∴∠AFD=90°，EG=AF，∵∠HAD=90°，∴∠HAF=∠ADF，∴△AFH∽△DFA，∴AFDF∴AF∵FH=4，DE=9，∴AF=6，∴BG=BE−EG=DF−AF=3；情况二：如图，同理得EG=AF，AF=6，∴BG=BE+EG=DF+AF=15，综上所述：BG的长为3或15．【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题．35．（2024·山东济南·模拟预测）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D是△ABC内部任意一点．连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接BD,CE，则线段BD与CE（2）如图2，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转DE<AB，且∠EDF=90∘，DE=DF，连接AE,CF，直线AE与直线CF相交于点①求证：AE⊥CF；②如图3，当点G在FC的延长线上时，连接BG，已知AB=5,DE=4，在△DEF旋转的过程中，求线段BG的最小值．【答案】（1）BD=CE（2）①见解析②3【分析】（1）直接证明△BAD≌△CAESAS（2）①证明△ADE≌△CDFSAS，得∠DAE=∠DCF，即可求得∠CGP=②过点B作BM⊥AG于点M，作BN⊥FC，交FC的延长线于点N，过点D作DH⊥AG于点H．先证明△ABM≌△CBNAAS，得到BM=BN．从而得证四边形BMGN是正方形，得到BM=MG．再证明△ABM≌△DAHAAS，得到BM=AH．再根据勾股定理得AH=AD2−DH2=52【详解】解：（1）由旋转可得：∠EAC+∠CAD=∠EAD=90°，AE=AD，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC,∠ADC=90°，又∵∠EDF=90°，∴∠ADC−∠EDC=∠EDF−∠EDC，即∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，DA=DC∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDFSAS∴∠DAE=∠DCF．∵∠DAE+∠APD=90°,∠APD=∠CPG，∴∠DCF+∠CPG=90°，∴∠CGP=90°∴AE⊥CF．②解：如图，过点B作BM⊥AG于点M，作BN⊥FC，交FC的延长线于点N，过点D作DH⊥AG于点H．由①知AE⊥CF，∴∠BMG=∠MGN=∠BNG=90°，∴四边形BMGN是矩形，∴∠MBN=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABC−∠MBC=∠MBN−∠MBC，即∠ABM=∠CBN．在△ABM和△CBN中，∠ABM=∠CBN∠AMB=∠CNB=90°∴△ABM≌△CBN∴BM=BN．∴四边形BMGN是正方形，∴BM=MG．∵∠DAH+∠MAB=90∠ADH+∠DAH=∴∠MAB=∠ADH．在△ABM和△DAH中，∠MAB=∠ADH∠AMB=∠DHA=90°∴△ABM≌△DAH∴BM=AH．∵AH=A∴当DH最大时，AH最小，此时DH=DE=4，∴AH∴BG【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质的应用是解题的关键．36．（2024·贵州贵阳·二模）小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转α0<α<180°得到矩形EFGC[探究1]（1）如图①，当α=30°时，点E在AD上，连接BE，求∠AEB的度数；[探究2]（2）如图②，连结BD，FC，过点E作EM∥FC交BD于点M．证明：BM=EM；[探究3]（3）在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系．【答案】（1）∠AEB=75°；（2）证明见解析；（3）MN【分析】（探究1）根据题意，证明AD∥BC，即可解答．（探究2）连接BE，证明△CFE≌△BDC(SAS)，得到（探究3）连接CM，证明△CEM≌△CBM(SSS)，【详解】[探究1]解：矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形EFCG，∴∠BCE=30°，∵BC=CE，∴∠EBC=∠BEC=75°，矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC=75°[探究2]证明：如图，连接BE，∵EM∥CF，∴∠MEC=∠FCE，在△CFE和△BDC中，CE=CB∠CEF=∠DCB=90°∴△CFE≌△BDC(SAS∴∠FCE=∠DBC，∴∠MEC=∠DBC，∵CE=BC，∴∠BEC=∠EBC，∴∠MEB=∠MBE，∴EM=BM；[探究3]解：关系式为MN如图，连接CM，在△CEM≌△CBM中，EM=BMCE=CB∴△CEM≌△CBM(SSS∴∠MCE=∠MCB，∵∠CMN=∠MBC+∠MCB，∠NCM=∠MCE+∠NCE，∴∠NMC=∠NCM，∴MN=CN，在△NCP和△NBC中，∵∠CNP=∠BNC，∴△NCP∽△NBC，∴PN∴CN∴M【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键．👉题型11与全等三角形有关的基础模型-一线三等角37．（2024太原市模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，(1)△CDA≌(2)BE=AD−DE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用AAS证明三角形全等是解题的关键．（1）根据已知条件可得∠CAD=∠BCE、∠ADC=∠E=90°以及AC=BC，运用AAS即可证明结论；（2）由全等三角形的性质可得BE=CD,AD=CE，然后运用等量代换即可证明结论．【详解】（1）证明∶∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ABC=90°，∴∠BCE+∠ACE=90°,∠CAD+∠ACE=90°，∴∠CAD=∠BCE，又∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠ADC=∠E=90°．在△CDA与△BEC中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠E∴．△CDA≌（2）解：∵△CDA≌∴BE=CD,AD=CE，∴BE=CD=CE−DE=AD−DE，即BE=AD−DE．38．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE，AB，(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB，BD，DE，AE之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；(3)如图3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，则线段AE长度的最大值是．【答案】(1)AE=AB+DE(2)AE=AB+DE+1(3)18【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，即可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=1（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．同（2）可得△CFG是等边三角形，则FG=FC=CG=BC=8．当A，F，G，E共线时，AE有最大值=AF+FG+GE，即可求解．【详解】（1）解：在AE上取一点F，使AF=AB，连接CF．如图（1），∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB=AF∠BAC=∠FAC∴△ACB≌△ACFSAS∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD边的中点．∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，CF=CD∠ECF=∠ECD∴△CEF≌△CEDSAS∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE；故答案为：AE=AB+DE．（2）解：结论：AE=AB+DE+1证明：在AE上取一点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．如图（2），∵C是BD边的中点，∴CB=CD=1∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB=AF∠BAC=∠FAC∴△ACB≌△ACFSAS∴CF=CB，∠ACB=∠ACF．同理可证：CD=CG，∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF，∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°−120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=CG=1∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+1（3）解：将△ABC沿AC翻折得△AFC，将△ECD沿EC翻折得△ECG，连接FG，如图3，由翻折可得AF=AB=3，GE=ED=7，FC=BC=8，CG=CD，∠BAC=∠FAC，∠DEC=∠GEC，∵C是BD边的中点，∴CD=CB=8，∴CG=CD=8∵∠ACE=120°，由（2）可得△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BC=8．∵AE≤AF+FG+GE当A，F，G，E共线时，AE有最大值=AF+FG+GE=3+8+7=18．故答案为：18．【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．39．（2024·青海西宁·三模）类比探究题：【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△ACD≌【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为0,1，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为直角边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．【拓展拔高】（3）如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则y与x的函数关系是_______，BE最大值为______．【答案】（1）见解析；（2）y=x+1x>0；（3）y=−1【分析】（1）证明∠ACD=∠CBE即可证明△ACD≌（2）过C作CM⊥y轴于点M，证明△ACM≌△DAO，即可得到CM=OA=1，AM=OB=x，再根据（3）证明△BPE∽△CDP即可得到y与x的函数关系，然后根据关系式求BE最大值即可．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵BE⊥ED，AD⊥ED，∴∠D=∠E=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵CB=CA，∴△ACD≌△CBEAAS（2）过C作CM⊥y轴于点M，∵点A的坐标为0,1，点B是x轴正半轴上的一动点，点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，∴y=OM，x=OB，OA=1，x>0∵以AB为直角边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，∴∠BAC=∠BOA=∠AMC=90°，AB=AC，∴∠MAC=∠ABO=90°−∠AOB，∴△ACM≌∴CM=OA=1，AM=OB=x，∴y=OM=OA+AM=x+1，∴y与x的函数关系为y=x+1x>0（3）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=5，∴AB=CD=3，∠B=∠C=90°，∴∠CPD+∠CDP=90°，∵BP=x，BE=y，∴C