中考数学总复习中考数学专项提升第09讲 函数与平面直角坐标系(练习)(解析版)

第三章函数第09讲函数与平面直角坐标系TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01函数的相关概念辨析👉题型02求自变量的取值范围👉题型03求自变量的值或函数值👉题型04函数图象的识别👉题型05从函数图象上获取信息👉题型06根据实际问题列函数解析式👉题型07动点问题的函数图象👉题型08根据坐标系内点的坐标特征求解👉题型09坐标与图形变化👉题型10点坐标规律的探索👉题型11求坐标系中的图形面积👉题型12与图形面积有关的存在性问题👉题型13坐标方法的简单应用👉题型14新考法：跨学科问题👉题型15新考法：新情景问题👉题型01函数的相关概念辨析1．（2024·贵州·一模）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（

）A．货运飞船的质量B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量【答案】B【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，如果变量A因为变量B的变化而变化，那么变量B叫做自变量，变量A叫做因变量，据此求解即可．【详解】解：由题意可知，随着高度的不断增加，燃料的体积不断减少，则自变量为火箭飞行的高度，故选：B．2．（2023观山湖区模拟）如图，下列图象能表示y是x的函数关系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定是否为函数．【详解】解：A、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；B、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；C、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；D、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查函数的定义．解题关键在于掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．3．（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有ym与旋转时间xmin之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（A．变量y不是x的函数，摩天轮的直径是65米B．变量y不是x的函数，摩天轮的直径是70米C．变量y是x的函数，摩天轮的直径是65米D．变量y是x的函数，摩天轮的直径是70米【答案】C【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数的定义可以判断变量y是x的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径．【详解】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数；由图象可得，摩天轮的直径为：70−5=65m故选C．4．（2023·北京丰台·一模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（

）①圆的周长C是半径r的函数；②表达式y=x中，y是x③下表中，n是m的函数；m−3−2−1123n−2−3−6632④下图中，曲线表示y是x的函数A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意；②表达式y=x中，y是x的函数；表述正确，故②由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；在④中的曲线，当x>0时的每一个值，y都有两个值与之对应，故故选C．【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．👉题型02求自变量的取值范围5．（2024·贵州黔东南·一模）若函数y=5x−5有意义，则自变量x的取值范围是（A．x≠5 B．x≥5 C．x≤5 D．x>5【答案】D【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可．【详解】解：∵函数y=5∴x−5≥0x−5∴x>5，故选：D．6．（2024·安徽蚌埠·三模）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（

）A．y=x2 B．y=x−1 C．y=【答案】A【分析】本题考查了求自变量的取值范围、代数式是整式自变量可取任意实数、分式有意义、分母不为0，二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】A．y=x2，B．y=x−1中x−1≥0解得x≥1C．y=x+1x中分母不能为0，所以D．y=1x+2中分母不能为0，所以x+2≠0，解得：故选：A．7．（2024·四川泸州·三模）函数y=14−x+x+30【答案】x<4且x≠−3【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的条件、分母不为0、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案．【详解】解：由题意得，4−x>0，x+3≠0，解得，x<4且x≠−3．故答案为：x<4且x≠−3．8．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）函数y=2x−1+x+2中，自变量【答案】x≥−2且x≠1【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．【详解】解：由题意得，x−1≠0,x+2≥0，解得，x≥−2且x≠1，故答案为：x≥−2且x≠1．👉题型03求自变量的值或函数值9．（2024·浙江·模拟预测）设函数y=x2,x≥1x,x【答案】4【分析】本题主要考查了求函数值，选择恰当的函数关系式是解答本题的关键．根据自变量的值选择恰当的函数关系式，代入计算即可．【详解】解：∵x=−2，∴−2∴当x=−2时，y=−2故答案为：4．10．（2024·江西南昌·模拟预测）已知华氏温度(℉)和摄氏温度(℃)的换算关系为：摄氏温度=59×（华氏温度−32)，在1个标准大气压下冰的熔点为0℃，则在1个标准大气压下冰的熔点为【答案】32【分析】本题考查求自变量的值，根据因变量和自变量的关系求解即可．【详解】解：∵摄氏温度=59×∴0=59×∴华氏温度=32．故答案为：32．11．（2024·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为cm3．【答案】80【分析】本题考查了一次函数的应用，设m=kV+bk≠0，将20,158，120,248代入解析式求得m=0.9V+140，进而可得烧杯的质量为140g，72g该种液体和烧杯的总质量为m=212g，求出【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量mg与液体的体积V设m=kV+bk≠0将20,158，120,248代入解析式得：20k+b=158120k+b=248解得：k=0.9b=140∴m=0.9V+140，当V=0时，m=140g，即烧杯的质量为当该种液体72g时，m=72+140=212(g)时，即解得：V=80cm故答案为：80．12．（2024·广西百色·二模）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．排碳计算公式：家居用电的二氧化碳排放量kg=耗电量开私家车的二氧化碳排放量kg=耗油量家用天然气二氧化碳排放量kg=天然气使用量家用自来水二氧化碳排放量kg=自来水使用量(1)设家居用电的二氧化碳排放量为ykg，耗电量为x(2)在上述关系式中，耗电量每增加1kW⋅h，二氧化碳排放量增加______；当耗电量从1(3)小明家本月家居用电大约110kW⋅h，天然气20m3【答案】(1)y=0.785x(2)0.785kg，0.785kg，(3)小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg，天然气的二氧化碳排放量是3.8kg，自来水的二氧化碳排放量是4.55【分析】本题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能正确理解问题间数量关系，并正确运用函数知识进行求解．（1）根据家居用电的二氧化碳排放量kg=耗电量kW（2）由家居用电的二氧化碳排放量kg=耗电量kW（3）分别按照表中提供信息分别进行求解．【详解】（1）解：由题意可得y=0.785x，故答案为：y=0.785x；（2）解：∵家居用电的二氧化碳排放量kg=耗电量kW∴耗电量每增加1kW⋅h当耗电量1kW⋅h时二氧化碳排放量为0.785kg；当耗电量故答案为：0.785kg，0.785kg，78.5（3）解：110×0.785=86.35kg0.19×20=3.8kg0.91×5=4.55kg2.7×75=202.5kg答：小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg，天然气的二氧化碳排放量是3.8kg，自来水的二氧化碳排放量是4.55👉题型04函数图象的识别13．（2024·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，1min后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：cm)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（

A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了用图象表示变量之间是关系，能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键．根据图像分析不同时间段的水面上升速度，进而可得出答案．【详解】解：因为长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，且长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，且此时水面上升的高度也是随时间均匀升高，因此此时的图像也是直线，但水面上升的速度比开始时要慢，因此四个选项中只有D选项符合题意．故选：D．14．（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象，∴选项C图象适合表示y与x的对应关系．故选：C．15．（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了函数图象，根据题意、明确两个变量之间的关系是解题的关键．根据题意结合函数图像的实际意义逐项判断即可．【详解】解：根据题意，函数s表示车与大巴离仓库的路程，所用时间为t，A、该图象反映随着行驶时间增大，距离仓库越来越远，不符合题意；B、军车到达仓库后停留了一段时间，函数图象没有显示出来，不符合题意；C、图象准确反映了题意，符合题意；D、图象函数一直下降，不符合题意．故选：C．16．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为16℃的豆浆和牛奶，同时浸入100℃的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度T（℃）随加热时间tA．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据豆浆和牛奶初始温度均为16℃且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度T（℃）随加热时间【详解】解：根据豆浆和牛奶初始温度均为16℃且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度T（℃）随加热时间故选：D．👉题型05从函数图象上获取信息17．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数关系图象．则下列结论正确的是（

）A．后800m的速度为32m/C．后800m速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为【答案】A【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．利用速度=路程÷时间，可求出后800m的速度，判断A选项；利用中途停留的时间=25−20，可求出中途停留的时间，判断B选项；当25≤t≤50时，s关于t的函数图象是线段，可得出后800m速度不变，判断C选项；利用整个登山过程的平均速度=总路程÷【详解】解：A、后800m的速度为800÷B、中途停留了25−20=5minC、当25≤t≤50时，s关于t的函数图象是线段，即后800mD、整个登山过程的平均速度为2000÷50=40m故选：A．18．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能+”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为y1(cm)、y2(cm)，A．客人距离厨房门口450cm； B．慧慧比聪聪晚出发15C．聪聪的速度为10cm/s； 【答案】D【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解．【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，∴OD表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，设OD的解析式为y1=k∴450=45k解得，k1∴OD的解析式为y1由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为31−15=16s∴A、客人距离厨房门口450cmB、慧慧比聪聪晚出发15sC、∵k1∴聪聪的速度为10cmD、当0≤x≤15时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，∴当x=15s时，y当15<x≤31时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，当x=31时，y1∴y2当31<x≤45时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到0，∵150>140,∴D选项不正确，符合题意；故选：D．19．（2024·河北·模拟预测）某班级同学从学校出发去白鹿原研学旅行，一部分坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，5min后小轿车赶了上来，大客车随即开动，以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变，最终两车相继到达了景点入口，两车距学校的路程S(单位：km)和行驶时间(1)求大客车在途中等候时距学校的路程有多远？(2)在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远？【答案】(1)15(2)50【分析】本题考查从函数图象中提取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小轿车的速度，然后即可得到a的值，从而可以得到大客车在途中等候时距学校的路程有多远；（2）根据题意，可以计算出大客车开始的速度和后来的速度，从而可以计算出在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远．【详解】（1）解：由图象可得，小轿车的速度为：40÷60−20a=1×35−20即大客车在途中等候时距学校的路程有15km（2）解：大客车开始的速度为：15÷30=0.5km大客车后来的速度为：0.5×1040−15−5即在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有50720．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米/分，两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数图像在图2中分别表示．(1)求小明步行的速度．(2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧．①求图中a的值；②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远．【答案】(1)100(2)①a=6；②追上时兄妹俩离家1003【分析】本题考查一次函数的应用；（1）根据“速度=路程÷时间”计算即可；（2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可；②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．【详解】（1）由A(8,800)可知哥哥的速度为：800÷8=100(m（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，∴妹妹所用时间t为：800÷200=4(min∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，∴a=8+2−4=6；②由（1）可知：哥哥的速度为100mmin∴设BC所在直线为s1将B(17,800)代入得：800=100×17+b，解得b=−900.∴BC所在直线为：s1当s1=1900时，∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，∴妹妹的速度是160米/分.∴设妹妹返回时得解析式为s2∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时tF∴F(21,800)将F(21,800)代入得800=160×21+b，解得b=−2560，∴s2令s1=s解得t=83∴妹妹能追上哥哥，此时哥哥所走得路程为：800+83兄妹俩离家还有1900−5600即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家1003👉题型06根据实际问题列函数解析式21．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为50cm，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度y（cm）与生长月数x之间的函数关系式为（

A．y=50+5(x−1) B．y=50+5x C．y=50+10(x−1) D．y=50+10x【答案】D【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是10cm【详解】解：由题意得，树苗每个月增长的高度是10cm故该树苗的高度y（cm）与生长月数x之间的函数关系式为y=50+10x，故选：D．22．（2024·湖北武汉·模拟预测）预防高血压不容忽视，“千帕kPa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血压的单位，请你根据表格提供的信息判断，下列各组换算正确的是（

）千帕kPa…101214…毫米汞柱mmHg…7590105…A．8kPa=70mmHgC．20kPa=145mmHg【答案】D【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，是基础题，比较简单．通过观察，我们不难发现，千帕每增加2，毫米汞柱升高15，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再对各选项进行验证即可得解．【详解】解：根据题意得每增加2千帕，增加15毫米汞柱，设x千帕，毫米汞柱为y，开始时毫米汞柱为b，故千帕与毫米汞柱的关系式为y=7.5x+b，将点代入得：75=7.5×10+b，解得：b=0，∴关系式为：y=7.5x；A、当x=8时，y=7.5×8=60，即8kPaB、当x=16时，y=7.5×16=120，即16kPaC、当x=20时，y=7.5×20=150，即20kPaD、当x=24时，y=7.5×24=180，即24kPa故选：D．23．（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为n，中心角度数为β，则β关于n的函数解析式及其定义域为【答案】β=【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数．【详解】解：由题意可得：边数为360°÷β=n，则β=360故答案为：β=36024．（2024·黑龙江大庆·一模）一个等腰三角形的周长是10，腰长是x，底边长是y，则y关于x的函数解析式为．【答案】y=10−2x【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式，正确求得函数关系式是关键．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式即可．【详解】解：由题意得：10=2x+y∴y=10−2x，故答案为：y=10−2x．👉题型07动点问题的函数图象25．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形ABCD中，∠D=60°，点E在边CD上，连接AE，动点P从点A出发，在菱形的边上沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，△PAE的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则DE的长为（

）A．2 B．23 C．4 D．【答案】A【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为a，过点A作AF⊥DC于F，根据图象可求出a=6，再根据菱形的性质求出AF=33，根据图象当点P到达点C时，y=【详解】解：设菱形的边长为a，过点A作AF⊥DC于F，如图，，则∠AFD=90°，∵∠D=60°，∴∠DAF=90°−∠D=30°，∴DF=12AD=由图可知，当点P在点B时，△PAE的面积最大，此时y=1解得：a=6或a=−6（舍去），∴AB=BC=CD=DA=6，AF=33当点P到达点C时，y=1∴CE=4，∴DE=2．故选：A．26．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于A．B．C． D．【答案】D【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，过C作CD⊥AB于点D，由勾股定理即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3<x≤6，，y与x的函数关系式是y=(x−6)2(3<x≤6)，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当6<x≤9时，则y=【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于点D，则AD=1.5cm，CD=①当点P在AB上时，0≤x≤3，AP=xcm，PD=∴y=PC该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=3由此可排除A，B，C．②当3<x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=(6−x)cm则y=(6−x)∴该函数的图象是在3<x≤6上的抛物线，且对称轴为x=6；③当6<x≤9时，即点P在线段CA上，此时，PC=(x−6)cm则y=(x−6)∴该函数的图象是在6<x≤9上的抛物线，且对称轴为直线x=6；故选：D．27．（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中ADC和ABC均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM=CN．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AM+CN+2R，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A，C，∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，保持不变，当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，故选：D．28．（2023·河南·三模）正方形ABCD与正方形BEFG按照如图所示的位置摆放，其中点E在AB上，点G、B、C在同一直线上，且AB=4，BE=2，正方形BEFG沿直线BC向右平移得到正方形B'E'F'G'，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形B'E'FA．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了动点函数图象问题，类似于这类要选择符合题意的函数图象时，不一定要写出函数关系式．根据面积的变化情况一一比较即可．【详解】解：由题可得：正方形BEFG面积为：2×2=4，∵AB>BE，∴最大重合面积为4，∴B选项，不符合题意；∵正方形BEFG沿直线BC向右平移得到正方形B'E'F'∴最后的重合面积为0，∴C、D不符合题意；A选项符合题意；故选：A．29．（2024·河北唐山·模拟预测）如图①所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图②（曲线（1）cos∠ABE=（2）当t=时，△ABE∽【答案】45/0.8【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了余弦的求解，相似三角形的性质，根据图象确定动点的运动位置是解题关键．（1）由图可知：5秒后，动点Q运动到点C，动点P运动到点E；7秒后，动点P运动到点D，据此即可求解；（2）若△ABE∽△QBP，则动点Q运动到点C的位置，动点P在CD段运动；根据【详解】（1）解：由图可知：5秒后，动点Q运动到点C，动点P运动到点E；7秒后，动点P运动到点D，∴BC=AD=BE=5，当动点Q运动到点C，动点P运动到点E时，△BPQ的高为AB（或CD）的长度，∴y=∴AB=4∴cos∠ABE=故答案为：45（2）∵∠A=90°∴若△ABE∽△QBP∴动点Q运动到点C的位置，动点P在CD段运动∵BE=5，AB=4∴AE=∴AE:AB=PQ:QB=3:4解得：PQ=∴t=4−故答案为：294👉题型08根据坐标系内点的坐标特征求解30．（2024·贵州遵义·三模）已知点P为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为2+2a,3a−2，且点P到两个坐标轴的距离相等，则a的值为．【答案】4【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据第一象限的点的横纵坐标均为正数，且点P到两个坐标轴的距离相等得出2+2a=3a−2，求解即可得出答案．【详解】解：∵点P为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为2+2a,3a−2，且点P到两个坐标轴的距离相等，∴2+2a=3a−2，解得：a=4，故答案为：4．31．（2024·福建福州·模拟预测）点M在第四象限，它到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，则点M的坐标为．【答案】4,−1【分析】本题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标．【详解】解：∵点M在第四象限，∴其横、纵坐标分别为正数、负数，又∵点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，∴点M的坐标为4,−1．故答案为：4,−1．32．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）坐标系中，点P(m−3,4−2m)在第三象限，则m的取值范围是.【答案】2<m<3【分析】本题考查了坐标系中象限中点的特征，以及解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，m−3<04−2m<0【详解】解：由题意得，m−3<04−2m<0解m−3<0得，m<3，4−2m<0得，m>2，原不等式组的解集为：2<m<3，故答案为：2<m<3．33．（2024·山东日照·一模）若实数m，n是一元二次方程x2−2x−5=0的两个根，且m<n，则点m,n在第【答案】二【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、判断点所在的象限，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知m<n，推出m<0，n>0，判断点m,n所在的象限即可，掌握“对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若x1【详解】解：∵实数m，n是一元二次方程x2∴mn=−5∴实数m，n异号，即一正一负，又∵m<n，∴m<0，n>0，∴点m,n在第二象限，故答案为：二．34．（2024·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，以方程组y=x+2y=−x+1的解为坐标的点Px,y位于第【答案】二【分析】此题考查了解二元一次方程组，直线的交点坐标，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法．利用加减消元法解出方程组的解，得到x与y的值，从而确定出点的坐标，根据平面上点坐标的特征，即可确定出所在的象限．【详解】解：y=x+2①+②得2y=3，即y=1.5，把y=1.5代入①得：x=−0.5，∴方程组的解为x=−0.5y=1.5∴坐点的标(−0.5,1.5)，则点Px,y故答案为：二35．（2024·广东广州·二模）已知P=(1)化简P；(2)若a−b=2，且点a，b【答案】(1)1b−a(2)P=1【分析】本题考查了分式的化简求值，点的坐标．（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果；（2）根据点的位置，求得a<0，b>0，推出a−b<0，求得a−b=−2，据此求解即可．【详解】（1）解：P===−=1（2）解：∵点a，∴a<0，b>0，∴a−b<0，∵a−b=2∴a−b=−2，∴P=1👉题型09坐标与图形变化36．（2024·辽宁·模拟预测）将点P−5,6先向右平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度得到点Q，则点Q所在的象限是（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】此题考查了点的平移，根据点坐标判断点所在象限，先确定点Q的坐标，再确定点Q所在的象限，熟练掌握点的平移规律是解题的关键【详解】解：将点P−5,6先向右平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度得到点Q，则点Q的坐标是所以点Q在第三象限，故选：C37．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为3n−4，m+1，点F的坐标为n2，2m，若点E到x轴的距离小于它到yA．−2，−3 B．2，−3 C．−1【答案】B【分析】本题考查了坐标系中的轴对称，直角坐标系中点的特征，二次函数的顶点坐标，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用轴对称求出m和n的值，再利用点E到x轴的距离小于它到y轴的距离排除不合题意的m和n的值，最后直接求二次函数的顶点坐标即可．【详解】解：∵点E，F关于y轴对称，点E3n−4，m+1∴3n−4=−n解得m=1n=1或m=1∴E−1，2∵点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，∴E−1∴m=1，n=−4，∴二次函数y=x∴其顶点坐标为2，故选：B．38．（2024·广东·模拟预测）如图，已知菱形OABC的顶点O0,0,B2,2，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第20秒时，菱形的对角线交点DA．1,−1 B．−1,−1 C．2,0 D．【答案】B【分析】此题考查坐标的变化规律、旋转的性质、菱形的性质等知识，找到每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1,1),由20÷8=2⋯⋯4,得到第20秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°=180°，即可可求出答案.【详解】解：∵菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2)，∴BO与x轴的夹角为45°,∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1,1),∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°,360°÷45°=8,∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1,1),∵20÷8=2⋯⋯4,∴第20秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°=180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第20秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(−1,−1)．故选：B39．（2024·江苏常州·一模）如图，点A坐标为−4,3，点B坐标为0,4，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段CD，若点C恰好落在x轴上，则点D到x轴的距离为（

）A．85 B．165 C．817【答案】B【分析】连接OA、OD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T，由旋转的性质和勾股定理可得AT=4，OT=3，OB=4，【详解】解：如图，连接OA、OD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T，，∵点A坐标为−4,3，点B坐标为0，4∴AT=4，∴OA=A∵线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段CD，若点C恰好落在x轴上，∴OA=OC=5，∵S∴1∴1∴DH=16故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．40．（2024·安徽合肥·三模）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．(1)将△ABC向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，请在图中画出(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C(3)无刻度尺作图，在AB上取一点P使得AP:BP=2:3（保留作图痕迹）．【答案】(1)见详解，点A1的坐标为(2)见详解，点A2的坐标为(3)见详解【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移作图、旋转作图、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握平移的性质和旋转的性质是解题关键．（1）根据平移的性质确定点A1、B（2）根据旋转的性质确定点A2、B（3）在平面直角坐标系中确定点M，使AM=5，连接BM，设BM中点为L；取点N，Q，使NL=BQ=2，连接NQ并交AB于点P，结合BQ∥NL，易知四边形BQNL为平行四边形，所以【详解】（1）解：如下图，△A由图形可知，点A1的坐标为2,5（2）如下图，△A由图形可知，点A2的坐标为−5,−3（3）如下图，点P即为所求．👉题型10点坐标规律的探索41．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点A1；再向正北方向走4m到达点A2；再向正东方向走6m到达点A3；再向正南方向走8m到达点A4；再向正西方向走10【答案】2024,−2024【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每4个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点A4n−1（n为正整数）的坐标可表示为4n,4n【详解】解：由题知，点A1的坐标为−2,0点A2的坐标为−2,4点A3的坐标为4,4点A4的坐标为4,−4点A5的坐标为−6,−4点A6的坐标为−6,8点A7的坐标为8,8…，∴A4n−1（n为正整数）的坐标可表示为4n,4n当n=506时，4n−1=2023，4n=2024，∴点A2023的坐标为2024,2024∴点A2024的坐标为2024,−2024故答案为：2024,−2024．42．（2024·湖北恩施·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−1.5,0，B0,2，将△ABO顺着x轴的正半轴无滑动的滚动，第一次滚动到①的位置，点B的对应点记作B1；第二次滚动到②的位置，点B1的对应点记作B2；第三次滚动到③的位置，点B2的对应点记作B3【答案】4046,0【分析】本题主要考查了勾股定理，点的坐标规律探索，先求出OA=1.5,OB=2,AB=OA2【详解】解；∵A−1.5,0，B∴OA=1.5,OB=2,AB=O由翻转的性质得：OB1由翻转过程可知，点B1,B点B3的横坐标为2+2.5+1.5=6，纵坐标为2，即同理可得：点B4,B5重合，点即B48,0点B6的横坐标为8+2.5+1.5=12，纵坐标为2，即归纳类推得出以下规律：（其中，n为正整数）（1）点B1,B（2）点B2,B（3）点B3,B∵2024=3×675−1∴点B2024则点B2024的横坐标为6×675−4=4046，纵坐标为0，即故答案为：4046,0．43．（2024·宁夏银川·二模）如图，△A1A2A3,△A4A5A6,△A

【答案】10,−103【分析】此题考查了点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质和解直角三角形求出点A1、A4、A7【详解】解：∵△A1A2A3，△A4A5A6，过点A1作A1B⊥x轴于点B

∵点O是所有等边三角形的中心，∴∠A∵A1∴OB=1∴A1∴A1的坐标为−1,−同理可得，A4则第二个三角形的顶点A4的坐标为−2,−则第三个三角形的顶点A7的坐标为−3,−∵32÷3=10…2，∴点A32∴点A32的坐标为：10,−故答案为：10,−1044．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C【答案】0,22【分析】本题主要考查了规律型−点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．根据已知条件和勾股定理求出OB2的长度即可求出B2的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以2，所以可求出从B【详解】解：∵四边形OABC是正方形，OB=2∴OB∴OB∴B2的坐标是根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以2，∴旋转8次则OB旋转一周，∵从B到B20242024÷8=253，∴从B到B2024与B都在x∴点B2024的坐标是2故答案为：(0，22)；45．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A(1,0)同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点的坐标为，则第2024次相遇地点的坐标为．

【答案】−12【分析】本题考查正六边形的性质和寻找规律，解题关键是找出P、Q两点相遇的循环规律．如下图，分析可知P、Q两点依次在点M、N、A三处循环相遇，然后利用余数定理便可求得第2024次相遇的位置．【详解】解：由题意可得：OA=OB=AB=1，∴正六边形的周长为1×6=6．∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，∴第一次相遇的时间为6÷1+2此时点P的路程为1×2=2，点P，Q第一次相遇的地点为点C，依次类推，得出：点P，Q第二次相遇的地点为点E，点P，Q第三次相遇的地点为点A，点P，Q第四次相遇的地点为点C，…，∴点P，Q两点的相遇是3次一循环，

∵2024=3×674+2，∴第2024次相遇的地点为点E，∵OC=OA=1，∠COM=1∴CM=12OC=∴C−12故答案为：−12,👉题型11求坐标系中的图形面积46．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在△ABC中，AC=6.5，AB=10.5，BC=10，求A．25 B．37.5 C．50 D．31.5【答案】D【分析】本题主要考查了建立直角坐标系、两点间距离公式等知识点，正确建立直角坐标系成为解题的关键．建立如图坐标系，则A0,0,B10.5,0，设Cx,yx>0,y>0，根据两点间距离公式可得x2+y【详解】解：建立如图坐标系，则A0,0设Cx,yx>0,y>0则有：x2解得：x=2.5y=6∴△ABC的AB边上的高为6，∴△ABC的面积为12故选D．47．（2023·湖北武汉·中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L−1，其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A0,30，B20,10A．266 B．270 C．271 D．285【答案】C【分析】首先根据题意画出图形，然后求出△ABO的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．【详解】如图所示，

∵A0,30，B∴S△ABO∵OA上有31个格点，OB上的格点有2,1，4,2，6,3，8,4，10,5，12,6，14,7，16,8，18,9，20,10，共10个格点，AB上的格点有1,29，2,28，3,27，4,26，5,25，6,24，7,23，8,22，9,21，10,20，11,19，12,18，13,17，16,14，15,15，16,14，17,13，18,12，19,11，共19个格点，∴边界上的格点个数L=31+10+19=60，∵S=N+1∴300=N+1∴解得N=271．∴△ABO内部的格点个数是271．故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．48．（2023潮南区模拟）已知A(a,0)和点B(0,5)两点，则直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（

）A．−4 B．4 C．±4 D．±5【答案】C【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．【详解】解：假设直角坐标系的原点为O，则直线AB与坐标轴围成的三角形是以OA、OB为直角边的直角三角形，∵A(a,0)和点B(0,5)，∴OA=|a|，OB=5，∴SΔ∴|a|=4，∴a=±4．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．49．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上．(1)画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，点A、(2)求（1）中得到的△A【答案】(1)见解析(2)4.5【分析】本题考查了利用轴对称变换在坐标系中作图，利用网格求面积：（1）直接利用关于y轴对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点即可；（2）利用割补法求解即可．【详解】（1）如图所示，△A（2）△A1B👉题型12与图形面积有关的存在性问题50．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知一平面直角坐标系内有点A−4,3，点B1,3，点C−2,5，若在该坐标系内存在一点D，使CD∥y轴，且S【答案】−2,7或−2,−1/−2,−1或−2,7【分析】将点A−4,3，点B1,3，点C−2,5的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标可知，AB∥x轴，从而可求得AB的长；再由点C的坐标及CD∥y轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据S【详解】解：将点A−4,3，点B1,3，点

∵点A−4,3，点B∴AB∥x轴，∴AB=1−−4∵点C−2,5，CD∴点D的横坐标为−2，设点D的纵坐标为m，∵S△ABD∴12∴m=−1或7．∴点D的坐标为−2,7或−2,−1．故答案为：−2,7或−2,−1．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形结合是解题的关键．51．（2023石景山区一模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知A0,a，Bb,0，其中a，b满足a−2+b−12=0，点(1)分别求出点A、B、C的坐标．(2)如果在第二象限内有一点Pm,1，是否存在点P，使得△ABP的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点P(3)在平面直角坐标系是否存在点E，使△ABE与△ABC全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A0,2，B1,0(2)P(3)E−2,1，−1,−1或【分析】（1）根据a−2+b−12=0可得a=2，b=1，从而得到再根据∠ABC=90°，AB=BC构造全等三角形，即可得到点C的坐标；（2）根据△ABC三个顶点坐标可求S△ABC=12×1+2×3−2×（3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E，由（1）求点C的坐标的方法可求出点E1坐标，点E1与点E2关于点A对称，点C与点E3关于点【详解】（1）解：∵a−2+∴a−2∴a=2，b=1，∴A0,2，B∴OA=2，OB=1过点C作CD⊥x轴于点D，则∠BDC=∠AOB=90°∵∠1+∠2+∠ABC=180°，∠ABC=90°∴∠1+∠2=90°，在Rt△BCD中，∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∵AB=BC，∴Rt∴BD=OA=2，∴CD=OB=1，∴OD=2+1=3，∵点C在第一象限内，∴C3,1（2）存在．过点P作PM⊥x轴于点M，则∠PMO=90°∵S△ABC∴S∵S△ABP∴12∴m=−2，∴P（3）E−2,1，−1,−1或理由：如图所示，当△ABE1≌△ABC由（1）同理得E当△ABE2≌△ABC点E1与点E2关于点∴E当△ABE3≌△ABC点C与点E3关于点B∴E综上所述，E−2,1，−1,−1或故答案为：E−2,1，−1,−1或【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定．52．（2021·湖北襄阳·模拟预测）在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是a,0b,0，a，b满足方程组2a+b=−53a−2b=−11，C为y轴正半轴上一点，且(1)求A、B、C三点的坐标；(2)是否存在点Pt,t，使S△PAB=(3)若点C沿x轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点D，当运动时间t为多少秒时，四边形ABCD的面积S为15个平方单位？求出此时点D的坐标．(4)连接AD、CD，若P为CB上一动点（不与C、B重合）连接DP、AP，探究点P在运动过程中，∠CDP、∠BAP、∠DPA之间的数量关系并证明．【答案】(1)A(2)存在，P1,1或(3)t=6，点D的坐标为−6,3(4)∠CDP+∠BAP=∠DPA，证明见解析【分析】（1）解二元一次方程组求得A,B的坐标，根据C为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6即可求得点（2）设P(t，t)，且S△PAB（3）四边形ABCD的面积S=△ABC的面积+△ACD的面积=6+12t×3=15（4）作PM∥AB，则PM∥AB∥【详解】（1）方程组2a+b=−53a−2b=−11解得：a=−3b=1∴A(−3，0)，B1∴OA=3，OB=1，∴AB=4，∵C为y轴正半轴上一点，S△ABC∴OC=3，∴C(0，3)；（2）存在点P(t，t)，使S△PAB∵P(t，t)，且S△PAB∴1解得：t=±1，∴P1,1或（3）如图1所示：由题意得：CD∥AB，CD=t，∴四边形ABCD的面积S=△ABC的面积+△ACD的面积=6+1∴t=6，即运动时间t为6秒时，四边形ABCD的面积S为15个平方单位；∵点C沿x轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点D，∴点D的坐标为−6,3；（4）∠CDP+∠BAP=∠DPA，理由如下：作PM∥AB，如图则PM∥∴∠CDP=∠DPM，∠BAP=∠APM，∵∠DPM+∠APM=∠DPA，∴∠CDP+∠BAP=∠DPA．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、方程组的解法、三角形面积公式、平移的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，难度适中．53．（2022天心区一模）如图，在平面直角坐标系中，点Aa，0，Ba，b，点C在y轴上，且BC∥x轴，a−3+b−4=0(1)直接写出点A，B的坐标；(2)点P在运动过程中，连接PO，若PO把四边形ABCO的面积分成1:2的两部分，求点P的坐标(3)点P在运动过程中，是否存在点P到x轴的距离为12t个单位长度的情况，求出点【答案】(1)A3，(2)点P的坐标为3,83(3)点P的坐标为3，8【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答；（2）不难证明四边形ABCO为长方形，则S长方形ABCO=3×4=12，再分两种情况：当S（3）分两种情况：点P在AB上运动和点P在OC上运动，根据点P到x轴的距离为12【详解】（1）解：由题意知，a，b满足a−3+∵a−3≥0，b−4∴a−3=0，b−4=0，∴a=3，b=4，∴A3，0（2）解：由题意可知，AB⊥x轴，BC=OA，∵BC∥∴四边形ABCO为长方形，∵B3∴S长方形∵PO把四边形ABCO的面积分成1:2的两部分，∴一部分面积为4，另一部分面积为8，∴可分两种情况讨论：当S△POA=4时和当①当S△POA此时点P在AB上，点P的坐标为3，2t−3，∴S△POA解得：t=17∴2t−3=2×17∴点P的坐标为3,8②当S△POC此时点P在BC上，点P的坐标为10−2t,4，CP=10−2t，∴S△POC解得：t=4，∴10−2t=10−2×4=2，∴点P的坐标为2，综上，点P的坐标为3,83或（3）解：存在，理由如下：①当P在AB上运动时，AP=1由（2）可知，AP=2t−3，∴2t−3=1∴t=2，∴点P的坐标为3,1；②当P在OC上运动时，OP=14−2t，∴14−2t=1∴t=28∴点P的坐标为0,14综上，存在，点P的坐标为3,1或0,14【点睛】本题主要考查非负数的性质、坐标与图形的性质、矩形的判定与性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，先根据题意分不同情况，再找准等量关系列出方程是解题关键．54．（2023·贵州遵义·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点Aa,0，Bb,0且a、b满足a+4+b−3=0．若四边形ABCD为平行四边形，CD∥AB(1)直接写出a、b的值；(2)如图①，动点P从C点出发，以每秒2个单位长度沿y轴向下运动，当时间t为何值时，三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一；(3)如图②，当P从O点出发，沿y轴向上运动，连接PD、PA，∠CDP、∠APD、∠PAB存在什么样的数量关系，请说明理由（排除P在O和C两点的特殊情况）．【答案】(1)A(2)t=1或t=3(3)∠APD=∠CDP+∠PAB或∠APD=∠PAB−∠CDP．【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，解题的关键是掌握坐标和图形的关系，将坐标与线段长进行转化，同时适当添加辅助线，构造平行线．（1）由非负数的性质求出a，b，得到A、B两点的坐标即可；（2）由A、B两点的坐标得到AB的长，结合点C坐标求出平行四边形ABCD的面积，再根据△ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的14（3）分点P在线段OC上和点P在OC的延长线上，两种情况，过P作PQ∥AB，利用平行线的性质求解．【详解】（1）解：∵a+4+∴a=−4，即A−4,0（2）∵A−4,0∴AB=3−−4=7，又∴OC=4，∴平行四边形ABCD的面积=4×7=28，由题意可知：PC=2t，则OP=4−2t∵△ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的14∴12解得：t=1或t=3；（3）如图，当点P在线段OC上时，过P作PQ∥AB，

∵AB∥则PQ∥CD，∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，∴∠APD=∠DPQ+∠APQ=∠CDP+∠PAB，即∠APD=∠CDP+∠PAB；当点P在OC的延长线上时，过P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，∴∠APD=∠APQ−∠DPQ=∠PAB−∠CDP．即∠APD=∠PAB−∠CDP，综上可知，∠APD=∠CDP+∠PAB或∠APD=∠PAB−∠CDP．👉题型13坐标方法的简单应用55．（2024·山西临汾·二模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等多种图形．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点A的坐标为(−2,1)，点B的坐标为(0,−1)，则点C的坐标为（

）A．(−3,0) B．(−2,3) C．(2,−4) D．(−3,−2)【答案】D【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示：∴点C的坐标为(−3,−2)，故选：D．56．（2024·贵州六盘水·一模）如图，小黔与小红在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盘坐标的1,−2上，则小红下的白色第三子的棋盘坐标是．【答案】6,2【分析】本题考查的是坐标与图形，根据1,−2建立坐标系，再确定小红下的白色第三子的棋盘坐标即可.【详解】解：如图，小红下的白色第三子的棋盘坐标是6,2，故答案为：6,2．57．（2024·河北廊坊·一模）某位同学先向北偏东45°方向走20m，然后向南偏东方向走20m，她现在所站位置在起点的（A．正北 B．正东 C．正西 D．正南【答案】B【分析】本题主要是考查根据方向和距离确定物体的位置，根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以该同学起点的位置为观测点向北偏东45°方向走20m，以此时所处的位置为观测点向南偏东方向走20【详解】解：如图：∴同学先向北偏东45°方向走20m，然后向南偏东方向走20故选：B．58．（2022·河北保定·一模）在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知∠C=70°，此时营地A在C的(

)．A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上【答案】C【分析】过点C作CH∥BE，CG∥AF，根据两直线平行，内错角相等，再根据三角形的内角和进行解答即可．【详解】解：过点C作CH∥BE，CG∥AF，由题意点C在点B的北偏西20°方向，∴∠CBE=20°，∵CH∥BE，∴∠HCB=∠CBE=20°，∵∠ACB=70°，∴∠ACH=70°-20°=50°，∴点A在点C的南偏西50°方向．故选：C．【点睛】本题考查的是方向角的概念，从运动的角度，根据方位角的度数，再结合三角形的内角和与平行线的性质求解是解答此题的关键．👉题型14新考法：跨学科问题59．（2024·吉林·二模）《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑默写该诗如图所示．如果用1,4表示“杨”字的位置，那么图中错别字的位置表示为．【答案】2,3【分析】这是一道与语文知识的综合题，知道原诗作是解题的关键，根据题意，杨花落尽子规啼，闻道龙标过五溪．我寄愁心与明月，随君直到夜郎西．确定错别字是“到”，位于2,3位置上，解答即可．本题考查了与语文综合，点的位置表示，熟练掌握点的位置表示是解题的关键．【详解】根据题意，得原诗作为“杨花落尽子规啼，闻道龙标过五溪．我寄愁心与明月，随君直到夜郎西．”确定错别字是“到”，位于2,3位置上，故答案为：2,3．60．（2024锦州市模拟）某校组织九年级学生．以“运用函数知识探究坰锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动．已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应．锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物．小明按实验操作规程，在放有10g铜锌混合物样品（不含其它杂质）的烧杯中．逐次加入等量等溶度的20（i）收集数据：加入稀盐酸的累计总量x（单位：g）020406080100…充分反应后剩余固体的质量y（单位：g）108.77.46.14.83.5…（ii）建立模型：在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这一个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）（iii）求解模型：为便得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程（ii）所选的函数类型，求出该函数的表达式：（iv）解决问题：根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量．阅读以上材料．回答下列问题：(1)完成小明的研究过程（ii）（描点，并指出函数类型）：(2)完成小明的研究过程（iii）；(3)设在研究过程（iv）中，发现最后剩余固体的质量保持2.2g【答案】(1)见解析，一次函数(2)y=−0.065x+10(3)120【分析】本题考查了跨学科知识综合，图象的画法，一次函数性质．（1）根据描点法画出图象，结合点的走势，函数特点解答即可．（2）设该函数表达式是y=kx+b（（3）当时y=2.2，即2.2=−0.065x+10，解答即可．【详解】（1）描点如下：结合图象的特点，这一个函数的类型最有可能是一次函数，故答案为：一次函数．（2）设该函数表达式是y=kx+b（k≠0），将0,10，20,8.7解得k=−0.065b=10故函数表达式是y=−0.065x+10．（3）根据题意，当剩余固体的质量保持2.2g不再变化时，剩余固体均为铜，由（2）可得，当y=2.2时，即2.2=−0.065x+10解得x=120，所以当加入稀盐酸的总量至少为120g61．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校组织九年级学生以研究某种化学试剂的挥发情况为主题，开展跨学科主题学习活动．某研究小组从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】记录的数据如下表：时间x（分钟）5101520…剩余质量y（克）2015105…【探索应用】(1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示时间x（分钟），纵轴表示剩余质量y（克），描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；(3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂经过多长时间剩余质量恰好为3克？【答案】(1)见解析(2)在同一条直线上，y=−x+25(3)该化学试剂经过22分钟剩余质量恰好为3克【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意、熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据表格中数据为坐标，描出各点即可；（2）观察数据发现“观察表格数据得：时间每过5分钟，剩余质量减少5克”，判断各点在同一条直线上，设y=kx+b（k≠0），把5,20，10,15代入求解即可；（3）根据题意“剩余质量恰好为3克”，则y=3时，−x+25=3，求解即可．【详解】（1）解：如图，描出以表格中数据为坐标的各点，（2）解：∵观察表格数据得：时间每过5分钟，剩余质量减少5克，∴y和x满足一次函数关系，即各点在同一条直线上，设y=kx+b（k≠0），把5,20，10,15代入得：5k+b=2010k+b=15解得：k=1b=25∴y=−x+25；（3）解：y=3时，−x+25=3，解得：x=22，答：该化学试剂经过22分钟剩余质量恰好为3克．62．（2024·山东青岛·一模）活动·探究运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）（1）该等高线地形图的等高距为米；（2）已知图上BC=2cm，若该图的比例尺是1：700000，则BC实际相距（3）估计王家庄的实际面积可能是；A．2m2B．20m2C．200m2D．2000m2E．20000m2F（4）E点在点A的偏方向；探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）有两组没有标签的化学试剂：第一组稀HCl稀HNaOH溶液Na第二组稀HN澄清石灰水CuSONaCl溶液还有一小瓶紫色石蕊试液；与化学小组提供的实验信息：已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：酸性稀HCl稀H稀HN碱性澄清石灰水NaNaOH溶液中性CuSONaCl溶液请你解决以下问题：（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等：（1）根据图示和等高线的定义求解即可；（2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可；（3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可；（4）根据点A和点E的位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可；（5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为38，化学小组获胜的概率为2【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米，故答案为：100；（2）2×700000=1400000cm故答案为：14000；（3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为2000×1000=2000000m故选：G；（4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向，故答案为：南；东；（5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液，画树状图如下：由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种，∴数学小组获胜的概率为38，化学小组获胜的概率为2∵38∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，∴不公平，化学小组被坑了；、设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下：设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液，画树状图如下：由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种，∴化学小组获胜的概率为38，数学小组获胜的概率为2∵38∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率．👉题型15新考法：新情景问题63．（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A,C两点的坐标分别为2,1,0,2，则点B【答案】−1,−2【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标．【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为2,1,∴建立坐标系如图所示：∴点B的坐标为−1,−2．故答案为：−1,−2．64．（2023·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）的图形，放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为2,−3，则顶点C的坐标为（

）A．2−23,3 B．2−43,3 C．【答案】D【分析】本题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．设正六边形ABCDEF的中心为点H，连接HA、HF、HE，连接AE交HF与点G，则AE⊥HF．利用正多边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等可求AE=2AG，AG=HA2−HG【详解】解∶设正六边形ABCDEF的中心为点H，连接HA、HF、HE，连接AE交HF与点G，则AE⊥HF．∵正六边形ABCDEF的边长为4，∴HE=HA=4，∠AHE=360°6=120°∴AE=2AG，∠HAG=30°，∠AHG=1∴HG=1∴AG=H∴AE=2AG=43∵∠AHG=60°，AH=FH，∴△