2023届高考数学复习(新教材)第13讲-函数与方程

课前基础巩固课堂考点探究第13讲函数与方程教师备用习题作业手册1.结合学过的函数图像,了解函数零点与方程解的关系.

2.结合具体连续函数及其图像的特点,了解函数零点存在定理.课标要求1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的

叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.

(2)等价关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图像与

有交点⇔函数y=f(x)有

.

课前基础巩固◈知识聚焦◈实数xx轴零点(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,且有

,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内

零点,即存在c∈(a,b),使得

,这个c也就是方程f(x)=0的解.

课前基础巩固f(a)f(b)<0至少有一个f(c)=02.二分法(1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上图像

且

的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间

,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点

的方法叫作二分法.

课前基础巩固连续不断f(a)f(b)<0一分为二近似值

课前基础巩固[a,b]中点c③计算f(c),并进一步确定零点所在的区间.(i)若

(此时x0=c),则c就是函数的零点;(ii)若f(a)·f(c)<0,则零点x0∈

,此时令b=c;(iii)若f(c)·f(b)<0,则零点x0∈(c,b),此时令a=c.这一步的目的在于缩小零点所在的区间,也就是所谓的“二分”.

④判断是否达到精确度ε,即若

,则得到零点近似值a(或b),否则重复第②③④步.

课前基础巩固f(c)=0(a,c)|a-b|<ε题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数是

.

2.[教材改编]若函数f(x)=ex-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n=

.

课前基础巩固◈对点演练◈

0[解析]由题知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)<0,f(3)>0,故函数f(x)存在唯一的零点.[解析]由题知,函数f(x)在R上单调递增,且f(0)<0,f(1)>0,故函数f(x)的零点在区间(0,1)内,则n=0.13.[教材改编]二分法求方程2x-x-4=0的一个近似解时,已经将一解锁定在区间(2,3)内,则下一步可断定该根所在的区间为

.

课前基础巩固

题组二常错题索引:误解函数零点的定义;忽略限制条件致误.4.函数f(x)=x2-3x的零点是

.

课前基础巩固0,3[解析]由f(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3.5.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是

.

课前基础巩固(-8,1][解析]二次函数f(x)图像的对称轴方程为x=1.若f(x)在区间(0,4)上存在零点,则f(1)≤0且f(4)>0,即-1+m≤0且8+m>0,解得-8<m≤1.6.已知函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下的对应值表:则下列判断正确的是

.(填序号)

①函数f(x)在区间(-1,0)内有零点;②函数f(x)在区间(2,3)内有零点;③函数f(x)在区间(5,6)内有零点;④函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点.课前基础巩固

[解析]f(-1)·f(0)<0,f(2)·f(3)<0,f(5)·f(6)<0,因为f(x)的图像是连续不断的,所以函数f(x)在(-1,0),(2,3),(5,6)三个区间上均有零点,但不能断定有几个零点,故①②③正确,④不正确.x-2-1012345678f(x)-136-2161913-1-8-242998例1

(1)已知a是函数h(x)=2x-8的零点,则函数f(x)=ax+lnx-5的零点所在的区间为(

)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)课堂考点探究探究点一函数零点所在区间的判断[思路点拨]根据题意求得函数f(x)=3x+lnx-5,结合函数的单调性和函数零点存在定理,即可求解;[解析]由题意,a是函数h(x)=2x-8的零点,即2a-8=0,解得a=3,所以函数f(x)=3x+lnx-5,由f(x)=3x+lnx-5在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-2<0,f(2)=1+ln2>0,可得f(1)·f(2)<0,根据零点存在定理,可得函数f(x)=3x+lnx-5的零点所在的区间为(1,2).故选B.B

课堂考点探究

A

课堂考点探究

A[总结反思]判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)函数零点存在定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上的交点的横坐标来判断.课堂考点探究变式题设x0是函数f(x)=2x+3x的零点,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=(

)A.0 B.1 C.-1 D.2课堂考点探究[解析]易知函数f(x)=2x+3x在R上单调递增,且f(-1)<0,f(0)>0,所以由函数零点存在定理可知x0∈(-1,0),因此k=-1.故选C.C例2(1)函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈(-2,2]时,f(x)=x2-1,则f(x)在[0,2020]上零点的个数为(

)A.1009 B.1010 C.2019 D.2020课堂考点探究探究点二函数零点个数的讨论

B

课堂考点探究

C[总结反思]求解函数零点个数的基本方法有:(1)直接法,令f(x)=0,方程有多少个解则f(x)有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.课堂考点探究课堂考点探究

C

课堂考点探究(2)函数f(x)=log3|x|-|sinπx|在[-2,0)∪(0,3]上零点的个数为(

)A.5 B.6 C.7 D.8B[解析]令f(x)=0,得log3|x|=|sinπx|,在同一平面直角坐标系下分别作出函数g(x)=log3|x|和h(x)=|sinπx|在[-2,0)∪(0,3]上的图像,如图所示,观察图像得,两函数的图像在[-2,0)上有2个交点,在(0,3]上有4个交点,所以函数f(x)=log3|x|-|sinπx|在[-2,0)∪(0,3]上零点的个数为6.故选B.课堂考点探究

B[解析]作出函数f(x)的图像,如图所示,设f(x)=m(m>0),则方程f[f(x)]-t=0转化为f(m)=t,结合图像可得,①当t>3时,方程f(m)=t有2个根m1,m2,m1>0,m2<0,当m1∈(0,3)时,f(x)=m1只有1个根,当m1∈[3,+∞)时,f(x)=m1有2个不同的根,f(x)=m2没有根,故方程f(x)=m有1个根或2个根;课堂考点探究

B

课堂考点探究探究点三函数零点的应用[思路点拨]由g(x)=0得f(x)=-x+b,分别作出函数y=f(x)和y=-x+b的图像,根据图像交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可;B课堂考点探究[解析]由g(x)=0得f(x)=-x+b,作出函数f(x)和y=-x+b的图像如图所示,当直线y=-x+b的纵截距b≤1时,两个函数的图像有2个交点,即函数g(x)存在2个零点,故实数b的取值范围是(-∞,1],故选B.

B课堂考点探究[思路点拨]求出当x≥0时f(x)的最大值,画出函数的图像,根据图像得当0<t<1时,函数y=f(x)-t有三个零点,由零点的性质推导得出结果.

D课堂考点探究

[总结反思]1.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,然后数形结合求解.课堂考点探究2.函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数的方法求解.课堂考点探究课堂考点探究

D课堂考点探究(2)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,其中a<b,α<β,则实数a,b,α,β的大小关系为(

)A.a<α<b<β B.a<α<β<b C.α<a<b<β D.α<a<β<b[解析]方法一:由f(x)=0得x2-(a+b)x+ab-2=0,由题可知,α,β是方程(x-a)(x-b)-2=0的两根,∴α+β=a+b,f(α)=0,f(β)=0,f(a)<0,f(b)<0.又函数f(x)的图像开口向上,由f(x)的图像(图略)可知,α,β,a,b的大小关系为α<a<b<β.故选C.C课堂考点探究(2)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,其中a<b,α<β,则实数a,b,α,β的大小关系为(

)A.a<α<b<β B.a<α<β<b C.α<a<b<β D.α<a<β<b方法二:令g(x)=(x-a)(x-b),作出g(x)=(x-a)(x-b)的图像如图所示,则该图像与x轴的交点的横坐标分别为a,b.又f(x)=(x-a)(x-b)-2的图像是将g(x)的图像向下平移2个单位得到的,则α,β是函数f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.由图可知,α<a<b<β.故选C.C【备选理由】例1考查对函数零点所在区间的判断;例2考查函数零点个数的问题;例3考查函数的综合应用,涉及函数的对称性,函数的零点;例4考查复合函数与分段函数零点的相关问题,难度较大.例5考查了函数的综合应用,涉及函数图像变换的应用,函数图像的对称性,利用导数研究函数的单调性,考查了逻辑推理能力与化简运算能力.教师备用习题例1[配例1使用][2021·上海杨浦区模拟]设函数f(x)=xlgx满足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),f(x)的零点为x0,则下列选项中一定错误的是()

A.x0∈(a,c) B.x0∈(a,b) C.x0∈(b,c) D.x0∈(c,+∞)教师备用习题C[解析]由题意,函数f(x)=xlgx的定义域为(0,+∞),且f(x)的零点为x0,即f(x0)=0,解得x0=1,又由f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),可得f(a),f(b),f(c)中有1个负数、2个正数或3个都是负数,若f(a),f(b),f(c)中有1个负数、2个正数,则f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0,即0<a<1<b<c,根据零点存在定理,可得x0∈(a,b)或x0∈(a,c);若f(a),f(b),f(c)中3个都是负数,则满足f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,即0<a<b<c<1,此时函数的零点x0∈(c,+∞).故选C.

教师备用习题C

教师备用习题

A

教师备用习题

A

教师备用习题A

教师备用习题A

教师备用习题ACD[解析]设f(x)=2x-2-x,则f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,将函数f(x)的图像向右平移一个单位,可得y=2x-1-21-x的图像,所以y=2x-1-21-x的图像关于点(1,0)对称.直线y=ax+b与曲线y=2x-1-21-x相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),因为|AB|=|BC|,且A,B,C三点在同一直线y=ax+b上,所以点B为线段AC的中点,所以|x2-x1|=|x2-x3|,教师备用习题

教师备用习题

基础热身

A

1234567891011121314151617

C

1234567891011121314151617

A

1234567891011121314151617

ACD1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

C

1234567891011121314151617

1

1234567891011121314151617综合提升

A

1234567891011121314151617

A

1234567891011121314151617

D

123456789101112