2019湘教版 选必第1册《第4章 计数原理》大单元整体教学设计2020课标

湘教版选必第1册《第4章计数原理》大单元整体教学设计[2020课标]一、内容分析与整合二、《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》分解三、学情分析四、大主题或大概念设计五、大单元目标叙写六、大单元教学重点七、大单元教学难点八、大单元整体教学思路九、学业评价十、大单元实施思路及教学结构图十一、大情境、大任务创设十二、单元学历案十三、学科实践与跨学科学习设计十四、大单元作业设计十五、“教-学-评”一致性课时设计十六、大单元教学反思一、内容分析与整合（一）教学内容分析《第4章计数原理》是高中数学选必第1册的重要内容，它涵盖了计数原理、排列、组合和二项式定理等多个方面。这一章的内容不仅是数学学科的基础知识，也是培养学生逻辑思维、抽象思维和解决实际问题能力的重要途径。1.两个计数原理两个计数原理，即加法原理和乘法原理，是计数问题的基础。加法原理指出，如果一件事情可以分成两个子任务，且这两个子任务是互斥的（即完成第一个子任务就不能完成第二个子任务，反之亦然），那么完成这件事情的方法数等于完成这两个子任务的方法数之和。乘法原理则指出，如果一件事情可以分成两个子任务，且这两个子任务是相互独立的（即完成第一个子任务的方法数不受第二个子任务的影响），那么完成这件事情的方法数等于完成这两个子任务的方法数之积。这两个原理看似简单，但在解决实际问题时却具有广泛的应用。通过学习和掌握这两个原理，学生可以更好地理解计数问题的本质，提高解决问题的能力。2.排列排列是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的所有可能的方法数。排列问题与人们的日常生活密切相关，如密码设置、比赛排名等。通过学习和掌握排列的计算方法，学生可以更好地理解和解决这类实际问题。排列的计算公式为A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)，这个公式可以通过乘法原理推导出来。在学习排列的过程中，学生还需要掌握一些特殊的排列问题，如全排列（m=n）、错位排列等。3.组合组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的方法数，不考虑取出的元素的顺序。组合问题与排列问题密切相关，但又有本质的区别。组合问题更侧重于“选择”而不是“排列”，因此在计算时需要考虑重复的情况。组合的计算公式为C_n^m=n!/[m!(n-m)!]，这个公式可以通过加法原理和排列的计算公式推导出来。在学习组合的过程中，学生还需要掌握一些特殊的组合问题，如组合数的性质、组合数的求和公式等。4.二项式定理二项式定理是代数中的一个重要定理，它给出了(a+b)^n的展开式的系数规律。二项式定理不仅在代数学中具有广泛的应用，还在概率论、组合数学等领域发挥着重要作用。二项式定理的展开式为(a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^(n-1)b^1+C_n^2a^(n-2)b^2+...+C_n^na^0b^n。在学习二项式定理的过程中，学生需要掌握二项式系数的性质、二项式定理的证明方法以及二项式定理的应用。5.数学文化：中国古代的排列组合数学文化是人类文化的重要组成部分，它反映了人类在数学领域的探索历程和成就。在本章中，我们将介绍中国古代在排列组合方面的成就，如《周髀算经》中的“河上丈人”问题、《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题等。通过学习和了解这些数学问题，学生可以更好地感受数学的魅力和价值。6.数学文化：杨辉三角杨辉三角是中国古代数学的重要成果之一，它揭示了二项式系数之间的内在联系和规律。杨辉三角不仅在代数学中具有重要应用，还在组合数学、概率论等领域发挥着重要作用。通过学习杨辉三角，学生可以更好地理解二项式定理的本质和内涵。（二）单元内容分析本章内容涵盖了计数原理、排列、组合和二项式定理等多个方面，这些内容之间存在着密切的联系和内在的逻辑关系。两个计数原理是计数问题的基础，它们为后续的排列、组合和二项式定理的学习提供了理论支持。在学习排列和组合时，学生需要运用加法原理和乘法原理来解决问题；在学习二项式定理时，学生需要运用组合数的性质来计算二项式展开的系数。排列和组合是本章内容的重点和难点。排列和组合问题具有高度的抽象性和复杂性，需要学生具备较强的逻辑思维和抽象思维能力。在学习排列和组合时，学生需要掌握排列和组合的计算公式和性质，并能够灵活运用这些知识来解决实际问题。二项式定理是本章内容的深化和拓展。二项式定理不仅揭示了二项式展开式的系数规律，还为后续的概率论、组合数学等领域的学习提供了重要支持。在学习二项式定理时，学生需要掌握二项式系数的性质和二项式定理的应用，并能够运用这些知识来解决实际问题。（三）单元内容整合为了使学生更好地掌握本章内容，我们需要将各个知识点进行有机整合，形成一个完整的知识体系。我们可以通过实例引入两个计数原理的概念和性质，并引导学生运用这些原理来解决实际问题。然后，我们可以引入排列和组合的概念和计算公式，并通过实例来加深学生对这些知识点的理解和记忆。我们可以介绍二项式定理的概念和展开式系数规律，并通过实例来展示二项式定理的应用价值。在整合知识点的过程中，我们还需要注重培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。我们可以通过设置一些具有挑战性的问题来引导学生进行深入思考和探究，从而提高学生的思维能力和解决问题的能力。我们还可以将数学文化融入本章内容的教学中。通过介绍中国古代在排列组合方面的成就和杨辉三角等数学成果，学生可以更好地感受数学的魅力和价值，并增强对数学学科的兴趣和热爱。二、《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》分解（一）数学抽象数学抽象是数学学科核心素养的重要组成部分，它要求学生能够从具体情境中抽象出数学概念、命题和模型等数学对象，并用数学语言进行表达和交流。在本章内容的教学中，我们需要注重培养学生的数学抽象能力。1.从具体情境中抽象出数学概念我们可以通过实例引入两个计数原理、排列、组合和二项式定理等数学概念，并引导学生从具体情境中抽象出这些概念的本质特征。例如，在引入排列和组合的概念时，我们可以通过生活中的实例（如密码设置、比赛排名等）来帮助学生理解这些概念的实际背景和应用价值。2.运用数学语言进行表达和交流在掌握数学概念的基础上，我们还需要引导学生运用数学语言进行表达和交流。例如，在解决排列和组合问题时，我们可以要求学生用排列和组合的计算公式和性质来解决问题，并用数学语言来表达解题思路和过程。3.抽象出数学问题的本质特征除了从具体情境中抽象出数学概念外，我们还需要引导学生抽象出数学问题的本质特征。例如，在解决二项式定理的应用问题时，我们可以要求学生通过分析问题的本质特征来选择合适的解题方法和策略。（二）逻辑推理逻辑推理是数学学科核心素养的重要组成部分，它要求学生能够运用数学原理和方法进行推理和论证，从而得出正确的结论。在本章内容的教学中，我们需要注重培养学生的逻辑推理能力。1.运用数学原理和方法进行推理和论证我们可以通过实例来引导学生运用数学原理和方法进行推理和论证。例如，在证明二项式定理时，我们可以要求学生根据组合数的性质和代数运算规则来推导二项式展开的系数规律，并通过逻辑推理来验证结论的正确性。2.分析和解决数学问题在培养学生逻辑推理能力的过程中，我们还需要注重引导学生分析和解决数学问题。例如，在解决排列和组合问题时，我们可以要求学生通过分析问题的条件和要求来选择合适的解题方法和策略，并通过逻辑推理来得出正确的结论。3.培养批判性思维和创新能力除了运用数学原理和方法进行推理和论证外，我们还需要注重培养学生的批判性思维和创新能力。例如，在解决一些具有挑战性的问题时，我们可以鼓励学生提出不同的解题方法和策略，并通过逻辑推理来验证这些方法和策略的正确性。我们还可以引导学生对解题过程进行反思和总结，从而提高学生的批判性思维和创新能力。（三）数学建模数学建模是数学学科核心素养的重要组成部分，它要求学生能够将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识和方法来解决实际问题。在本章内容的教学中，我们需要注重培养学生的数学建模能力。1.将实际问题转化为数学问题我们可以通过实例来引导学生将实际问题转化为数学问题。例如，在解决一些与计数原理、排列、组合和二项式定理相关的实际问题时，我们可以要求学生将问题中的条件和要求转化为数学语言和表达式，并运用数学知识和方法来解决问题。2.运用数学知识和方法解决实际问题在将实际问题转化为数学问题后，我们还需要引导学生运用数学知识和方法来解决实际问题。例如，在解决排列和组合问题时，我们可以要求学生运用排列和组合的计算公式和性质来计算问题的解；在解决二项式定理的应用问题时，我们可以要求学生运用二项式定理的展开式系数规律来求解问题。3.培养实践能力和创新意识除了将实际问题转化为数学问题并运用数学知识和方法来解决实际问题外，我们还需要注重培养学生的实践能力和创新意识。例如，在解决一些具有实际应用价值的问题时，我们可以鼓励学生进行实地考察和调研，从而获取更多的信息和数据；我们还可以引导学生对解题过程进行反思和总结，从而提高学生的实践能力和创新意识。（四）直观想象直观想象是数学学科核心素养的重要组成部分，它要求学生能够通过直观感知和想象来把握事物的本质和规律。在本章内容的教学中，我们需要注重培养学生的直观想象能力。1.通过直观感知来把握事物的本质和规律我们可以通过实例来引导学生通过直观感知来把握事物的本质和规律。例如，在介绍二项式定理时，我们可以通过展示二项式展开的图形和动画来帮助学生直观地理解二项式系数之间的内在联系和规律。2.运用图形和表格来辅助理解和解决问题在培养学生直观想象能力的过程中，我们还需要注重引导学生运用图形和表格来辅助理解和解决问题。例如，在解决排列和组合问题时，我们可以要求学生通过绘制图形和表格来展示问题的条件和要求，并通过直观感知来把握问题的本质和规律。3.提高空间想象能力和几何直观能力除了通过直观感知来把握事物的本质和规律外，我们还需要注重提高学生的空间想象能力和几何直观能力。例如，在解决一些与几何图形相关的问题时，我们可以要求学生通过观察和分析几何图形的性质来把握问题的本质和规律；我们还可以引导学生运用几何直观来解决实际问题，从而提高学生的空间想象能力和几何直观能力。（五）数学运算数学运算是数学学科核心素养的重要组成部分，它要求学生能够准确地进行数学运算和推导，并得出正确的结论。在本章内容的教学中，我们需要注重培养学生的数学运算能力。1.准确地进行数学运算和推导我们可以通过实例来引导学生准确地进行数学运算和推导。例如，在解决排列和组合问题时，我们可以要求学生运用排列和组合的计算公式和性质来进行精确的运算和推导；在解决二项式定理的应用问题时，我们可以要求学生运用二项式定理的展开式系数规律来进行精确的运算和推导。2.提高运算速度和准确性在培养学生数学运算能力的过程中，我们还需要注重提高学生的运算速度和准确性。例如，在解决一些需要进行大量运算的问题时，我们可以要求学生运用一些有效的运算技巧和策略来提高运算速度和准确性；我们还可以引导学生进行反复的练习和巩固，从而提高学生的运算能力和水平。3.培养严谨的数学态度和求实的科学精神除了准确地进行数学运算和推导外，我们还需要注重培养学生的严谨的数学态度和求实的科学精神。例如，在解决一些需要进行精确计算的问题时，我们可以要求学生认真对待每一个计算步骤和结果，并进行仔细的核对和验证；我们还可以引导学生对运算过程进行反思和总结，从而培养学生的严谨的数学态度和求实的科学精神。（六）数据分析数据分析是数学学科核心素养的重要组成部分，它要求学生能够运用统计方法和工具对数据进行收集、整理、分析和解释，从而得出合理的结论。在本章内容的教学中，我们可以结合排列和组合问题的实际应用来培养学生的数据分析能力。1.运用统计方法和工具对数据进行收集、整理和分析我们可以通过实例来引导学生运用统计方法和工具对数据进行收集、整理和分析。例如，在解决一些与计数原理、排列和组合相关的实际问题时，我们可以要求学生通过实地考察和调研来收集数据，并运用统计方法和工具对数据进行整理和分析；我们还可以引导学生根据分析结果来制定合理的决策和方案。2.解释数据分析结果并得出合理的结论在培养学生数据分析能力的过程中，我们还需要注重引导学生解释数据分析结果并得出合理的结论。例如，在解决一些需要进行数据分析的问题时，我们可以要求学生根据数据分析结果来制定合理的决策和方案，并对决策和方案进行解释和说明；我们还可以引导学生进行反思和总结，从而提高学生的数据分析能力和水平。3.培养数据意识和信息素养除了运用统计方法和工具对数据进行收集、整理和分析外，我们还需要注重培养学生的数据意识和信息素养。例如，在解决一些需要进行数据处理和分析的问题时，我们可以要求学生关注数据的来源和可靠性，并运用有效的数据处理和分析方法来提高数据处理的效率和准确性；我们还可以引导学生关注信息技术的发展和应用趋势，从而提高学生的信息素养和竞争力。三、学情分析在教学设计中，学情分析是确保教学活动有效性和针对性的关键环节。针对2019湘教版选必第1册《第4章计数原理》的教学内容，我们需要深入了解学生的已知知识基础、新知的接受能力、学习风格以及可能遇到的学习障碍，以便制定合适的教学策略和方法。以下是对该章节的学情分析。（一）已知内容分析在进入《第4章计数原理》的学习之前，学生已经掌握了一定的数学基础知识，这些基础知识为学习计数原理提供了必要的支撑。具体来说，学生已经熟悉了以下内容：数与代数基础：学生已经掌握了实数、代数式、方程、不等式等基本概念，能够进行基本的代数运算和变形。例如，解一元一次方程、一元二次方程，以及利用代数式进行表达和计算等。这些基础技能对于后续学习计数原理中的排列、组合和二项式定理等内容至关重要。函数基础：学生已经了解了函数的概念、性质以及基本函数类型（如一次函数、二次函数等）的图像和性质。虽然函数内容与计数原理的直接联系不明显，但函数思想和方法（如映射、对应等）在计数原理中有一定的体现，特别是在理解排列和组合的本质时。几何初步：学生在初中阶段已经学习了平面几何的基础知识，包括点、线、面、角、三角形、四边形等基本图形和性质。这些几何知识虽然与计数原理没有直接的关联，但几何直观能力对于理解某些计数问题（如空间几何中的计数问题）有一定的帮助。逻辑推理能力：学生已经具备了一定的逻辑推理能力，能够根据已知条件进行推理和判断。这种能力在计数原理的学习中尤为重要，因为计数原理涉及到对问题进行分类、分步讨论，以及利用排列、组合等方法进行求解。概率与统计初步（可选）：对于选修了概率与统计内容的学生来说，他们已经对概率和统计有了初步的了解。虽然概率与统计和计数原理是两个不同的数学分支，但它们在处理随机现象和不确定性问题时有密切的联系。这部分知识有助于学生更好地理解计数原理在某些实际问题中的应用。学生在进入《第4章计数原理》的学习之前，已经具备了一定的数学基础。计数原理的内容相对抽象和复杂，需要学生具备较强的抽象思维能力和逻辑推理能力。在教学过程中，教师需要注重培养学生的这些能力，并帮助学生将已有知识迁移到新的学习情境中。（二）新知内容分析本章《计数原理》主要介绍了两个基本的计数原理（分类加法计数原理和分步乘法计数原理）、排列、组合、二项式定理等内容。具体内容包括：两个基本的计数原理：分类加法计数原理：如果完成一件事有n类办法，在第i类办法中有mi种不同的方法（i=1,2,...,n），那么完成这件事共有m1+m2+...+mn种不同的方法。这个原理强调了对问题进行分类讨论的思想。分步乘法计数原理：如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，...，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×...×mn种不同的方法。这个原理强调了对问题进行分步讨论的思想。排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数Amn表示从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，计算公式为Amn=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)。组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑顺序地组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合数Cmn表示从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，计算公式为Cmn=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)m!二项式定理：对于任意实数a和b，以及正整数n，有(a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk。这个定理揭示了二项式展开式的系数与组合数之间的关系，是组合数学中的重要定理之一。数学文化：本章还介绍了中国古代的排列组合思想和杨辉三角等数学文化内容。这些内容不仅丰富了学生的数学视野，还有助于他们更好地理解计数原理的历史渊源和文化背景。这些新知内容不仅涵盖了计数原理的基本概念和方法，还强调了代数方法在解决计数问题中的应用。通过学习这些内容，学生将能够掌握基本的计数方法，提高解决实际问题的能力，并培养抽象思维和逻辑推理能力。（三）学生学习能力分析高中生已经具备了一定的数学学习能力和学习方法，这些能力和方法对于学习《第4章计数原理》至关重要。具体来说，学生的学习能力主要体现在以下几个方面：抽象思维能力：高中生已经具备了一定的抽象思维能力，能够从具体的问题中抽象出数学模型，并用数学语言进行表达和求解。这种能力在学习计数原理时尤为重要，因为计数原理的内容相对抽象，需要学生具备较强的抽象思维能力才能理解和掌握。逻辑推理能力：高中生已经具备了一定的逻辑推理能力，能够根据已知条件进行推理和判断，得出合理的结论。这种能力在学习计数原理时也非常重要，因为计数原理涉及到对问题进行分类、分步讨论，以及利用排列、组合等方法进行求解，需要学生具备较强的逻辑推理能力才能顺利完成。自主学习能力：高中生已经具备了一定的自主学习能力，能够通过预习、复习等方式主动获取知识。在学习计数原理时，学生需要自主阅读教材、查阅资料、完成作业等，这些都需要他们具备一定的自主学习能力。合作探究能力：高中生已经具备了一定的合作探究能力，能够与他人合作完成学习任务，共同解决问题。在学习计数原理时，学生可以通过小组合作等方式进行探究性学习，共同讨论问题、分享见解和思路，从而提高学习效果和兴趣。信息技术应用能力：随着信息技术的发展，高中生已经具备了一定的信息技术应用能力，能够利用计算机、网络等工具进行学习和研究。在学习计数原理时，学生可以利用数学软件等工具进行辅助学习，如画图、计算等，从而提高学习效率和兴趣。学生在学习过程中也可能遇到一些困难和挑战。例如，对于抽象思维能力较弱的学生来说，他们可能难以理解和掌握计数原理中的抽象概念和方法；对于逻辑推理能力较弱的学生来说，他们可能难以进行复杂的分类和分步讨论；对于自主学习能力较弱的学生来说，他们可能难以独立完成学习任务和作业等。教师需要关注学生的个体差异和学习需求，因材施教，帮助学生克服学习障碍和提高学习效果。（四）学习障碍突破策略针对学生在学习《第4章计数原理》过程中可能遇到的困难和挑战，我们可以采取以下策略来突破学习障碍：加强基础知识复习：在学习新知之前，通过复习旧知来巩固学生的数学基础。例如，在学习排列和组合之前，可以复习代数基础知识和函数基础知识；在学习二项式定理之前，可以复习多项式乘法和因式分解等内容。通过复习旧知来帮助学生更好地理解新知内容并降低学习难度。注重直观教学手段的应用：利用图形演示、实物操作等直观教学手段来帮助学生理解和掌握抽象的概念和方法。例如，在讲解排列和组合的概念时，可以利用卡片、小球等实物进行演示；在讲解二项式定理时，可以利用多项式乘法的图形表示来帮助学生理解定理的内容和形式。通过直观教学手段来降低学生的学习难度和提高学习兴趣。注重例题讲解与练习：通过详细的例题讲解和练习来帮助学生理解和掌握计数原理的内容和方法。在例题讲解中，注重解题思路和方法的引导；在练习中，注重题目的层次性和梯度性设计，从简单到复杂逐步提高学生的解题能力。教师还可以提供一些实际问题让学生运用计数原理进行求解，从而培养他们的应用能力和创新意识。开展小组合作学习：通过小组合作学习来促进学生之间的交流与合作，共同解决问题。在小组合作中，学生可以分享自己的见解和思路、互相启发和帮助；小组合作还可以培养学生的团队协作能力和沟通能力。教师可以根据学生的学习情况和需求进行分组，并提供适当的指导和支持。提供个性化辅导：针对学生在学习过程中遇到的个别问题提供个性化的辅导和支持。例如，对于抽象思维能力较弱的学生来说，教师可以提供更多的直观演示和实例讲解来帮助他们理解抽象概念；对于逻辑推理能力较弱的学生来说，教师可以提供更多的分类和分步讨论的例子来帮助他们提高逻辑推理能力；对于自主学习能力较弱的学生来说，教师可以提供更多的学习资源和指导来帮助他们独立完成学习任务和作业等。引入数学文化元素：通过介绍数学文化元素来激发学生的学习兴趣和积极性。例如，在讲解排列和组合时，可以介绍中国古代的排列组合思想和杨辉三角等数学文化内容；在讲解二项式定理时，可以介绍该定理的历史渊源和应用背景等。通过引入数学文化元素来增强学生的数学文化素养和学习动力。注重信息技术与数学教学的融合：利用信息技术手段来辅助数学教学，提高教学效果和学习兴趣。例如，利用数学软件进行辅助教学，如画图、计算等；利用网络课程进行自主学习和合作探究等。通过信息技术与数学教学的融合来拓展学生的学习渠道和提高学习效果。通过加强基础知识复习、注重直观教学手段的应用、注重例题讲解与练习、开展小组合作学习、提供个性化辅导、引入数学文化元素以及注重信息技术与数学教学的融合等策略来突破学生的学习障碍，帮助他们更好地掌握《第4章计数原理》的学习内容并提高他们的数学素养和综合能力。四、大主题或大概念设计本单元的大主题设计为“计数原理与组合数学”，旨在通过系统学习分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列、组合以及二项式定理等核心内容，使学生深入理解计数问题的本质，掌握解决计数问题的基本方法和技巧，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。计数原理与组合数学是数学中的重要分支，不仅在理论研究中具有重要地位，而且在现实生活、计算机科学、信息论、概率论等领域有着广泛的应用。通过本单元的学习，学生将能够运用所学知识解决实际问题，提升数学素养和应用能力。五、大单元目标叙写（一）数学抽象目标描述：学生能够理解计数原理的基本概念，掌握排列、组合和二项式定理的抽象表示方法，形成用数学模型描述计数问题的抽象思维。具体表现：能够从具体情境中抽象出计数问题，识别问题的本质和类型。能够将计数问题转化为数学模型，如使用分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列公式、组合公式和二项式定理进行表示。能够理解和运用符号语言，如阶乘符号“!”、组合数符号“C(n,m)”等，表示计数问题的结果。（二）逻辑推理目标描述：学生能够运用逻辑推理的方法，推导和证明排列、组合和二项式定理的性质和公式，理解计数原理之间的内在联系。具体表现：能够根据计数原理，推导出排列数、组合数和二项式定理的通项公式。能够运用逻辑推理，证明排列数、组合数和二项式定理的性质，如组合数的递推关系、二项式定理的展开式等。能够通过逻辑推理，解决复杂的计数问题，如涉及多个步骤或多种情况的计数问题。（三）数学建模目标描述：学生能够运用计数原理的知识，建立数学模型，解决实际问题，体验数学建模的全过程，提高数学建模能力。具体表现：能够根据实际问题，抽象出计数模型，如使用分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列、组合或二项式定理建立数学模型。能够运用数学模型，求解实际问题，如计算不同情境下的计数结果，评估不同方案的可行性等。能够反思和评价数学建模的过程和结果，提出改进意见，优化数学模型。（四）直观想象目标描述：学生能够借助几何直观和图形工具，感知和理解计数原理的图形表示，形成空间观念和几何直觉，提高直观想象能力。具体表现：能够根据计数原理，绘制图形表示计数问题，如使用树状图、集合图等表示分类加法计数原理和分步乘法计数原理。能够通过观察和分析图形，理解计数问题的结构和规律，如识别排列、组合问题的不同情况。能够运用直观想象，解决与图形相关的计数问题，如计算几何图形中的计数问题等。（五）数学运算目标描述：学生能够掌握计数原理中的基本运算技能，如阶乘运算、组合数计算、二项式定理展开等，提高数学运算能力。具体表现：能够进行阶乘运算，计算不同数的阶乘值。能够运用组合数公式，计算不同情况下的组合数值。能够运用二项式定理，展开二项式并计算各项系数。能够通过数学运算，解决复杂的计数问题，如涉及多个步骤或多种情况的计数问题。（六）数据分析目标描述：学生能够运用数据分析的方法，处理计数问题中的数据信息，提取有价值的信息，做出合理的推断和决策。具体表现：能够收集和整理计数问题中的数据，如分类加法计数原理中的各类情况数量、分步乘法计数原理中的各步骤数量等。能够运用数据分析的方法，如计算平均值、方差、频率分布等，分析计数问题的数据特征和规律。能够根据数据分析的结果，做出合理的推断和决策，如评估不同方案的计数结果、选择最优方案等。六、大单元教学重点计数原理的基本概念：掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的定义和应用，理解计数问题的基本类型和解决方法。排列与组合：掌握排列数、组合数的定义和计算公式，理解排列与组合的区别和联系，能够运用排列和组合的知识解决实际问题。二项式定理：掌握二项式定理的展开式和通项公式，理解二项式定理的组合意义和应用，能够运用二项式定理解决实际问题。计数原理的应用：通过实例分析，掌握计数原理在现实生活、计算机科学、信息论、概率论等领域的应用，提高学生的应用意识和创新能力。数学文化与数学史：了解中国古代的排列组合思想和杨辉三角的历史背景，体会数学文化的魅力，激发学生的学习兴趣。数学建模能力的培养：通过数学建模活动，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力，提高学生的数学素养和应用能力。七、大单元教学难点数学抽象的难度：如何将计数问题的具体情境抽象为数学模型，对学生来说是一个难点。需要通过大量的例题和习题训练，培养学生的抽象思维能力。逻辑推理的复杂性：计数原理中的逻辑推理过程较为复杂，需要学生具备较强的逻辑思维能力和推理能力。需要通过逐步引导、分步推导的方式，帮助学生理解定理和性质的推导过程。排列与组合的区别与联系：排列与组合的概念容易混淆，需要学生准确理解其区别和联系。需要通过对比分析、实例讲解等方式，帮助学生掌握排列与组合的知识。二项式定理的组合意义：二项式定理的展开式中的各项系数与组合数有关，需要学生理解其组合意义。需要通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解二项式定理的组合意义和应用。数学建模的挑战性：将实际问题抽象为计数模型，建立数学模型并求解，对学生来说是一个挑战。需要通过案例分析、实践操作等方式，培养学生的数学建模能力。数学运算的繁琐性：计数原理中的数学运算过程较为繁琐，需要学生具备较强的运算能力和耐心。需要通过大量的练习和训练，提高学生的运算速度和准确性。数据分析的综合性：数据分析需要综合运用数学知识和方法，对学生来说是一个综合能力的考验。需要通过实际问题的分析和解决，培养学生的数据分析和决策能力。八、大单元整体教学思路一、教学目标设定（一）数学抽象目标描述：学生能够从具体的生活实例和数学问题中抽象出计数问题，理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的数学本质。学生能够掌握排列、组合、二项式定理等数学概念，理解这些概念背后的数学抽象过程。学生能够运用数学抽象的思想方法，将实际问题转化为数学模型，解决复杂的计数问题。实施策略：通过生活中的实例（如选择早餐的种类、穿衣搭配等）引入计数问题，引导学生从具体情境中抽象出数学模型。在讲解排列、组合、二项式定理等概念时，注重揭示其背后的数学抽象过程，帮助学生理解这些概念的本质。设计一些实际问题，让学生运用数学抽象的思想方法，将问题转化为数学模型并解决。（二）逻辑推理目标描述：学生能够通过逻辑推理，理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理之间的关系和区别。学生能够运用逻辑推理的方法，推导排列、组合、二项式定理的计算公式和性质。学生能够运用逻辑推理的思想方法，解决与计数原理相关的数学问题。实施策略：在讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，通过对比和分析，帮助学生理解它们之间的关系和区别。通过例题讲解和课堂练习，引导学生运用逻辑推理的方法推导排列、组合、二项式定理的计算公式和性质。设计一些具有挑战性的数学问题，让学生运用逻辑推理的思想方法解决，提升他们的逻辑推理能力。（三）数学建模目标描述：学生能够将实际问题抽象为计数问题，建立数学模型进行求解。学生能够运用排列、组合、二项式定理等数学知识，解决实际生活中的计数问题。学生能够体会数学建模在解决实际问题中的重要作用。实施策略：引导学生从实际问题中抽象出计数问题，帮助他们建立数学模型。在讲解排列、组合、二项式定理等数学知识时，注重介绍它们在解决实际问题中的应用。设计一些实际问题（如密码设置、球队比赛安排等），让学生运用排列、组合、二项式定理等数学知识建立模型并解决。（四）直观想象目标描述：学生能够通过直观想象，理解排列、组合、二项式定理等数学概念的几何意义。学生能够运用直观想象的方法，解决与计数原理相关的几何问题。学生能够体会直观想象在数学学习和解题中的重要作用。实施策略：在讲解排列、组合、二项式定理等数学概念时，通过几何图形和直观演示帮助学生理解它们的几何意义。设计一些与几何相关的计数问题（如平面上的点连线、空间中的直线与平面等），让学生运用直观想象的方法解决。引导学生通过画图、折纸等直观操作，加深对计数原理和相关数学概念的理解。（五）数学运算目标描述：学生能够熟练掌握排列、组合、二项式定理等数学运算，提高运算速度和准确性。学生能够运用数学运算的思想方法，解决复杂的计数问题。学生能够体会数学运算在数学学习和解题中的重要作用。实施策略：通过大量的课堂练习和课后作业，让学生熟练掌握排列、组合、二项式定理等数学运算。设计一些具有挑战性的运算题目，让学生运用数学运算的思想方法解决，提高他们的运算能力和准确性。引导学生总结运算规律和方法，提高他们的运算效率。（六）数据分析目标描述：学生能够通过数据分析的方法，理解计数原理在实际生活中的应用。学生能够运用数据分析的工具和方法，处理与计数原理相关的数据问题。学生能够体会数据分析在数学学习和解题中的重要作用。实施策略：引导学生关注生活中的计数问题，收集相关数据并进行分析。在讲解排列、组合、二项式定理等数学知识时，介绍它们在数据分析中的应用。设计一些与数据分析相关的题目（如统计投票结果、分析销售数据等），让学生运用排列、组合、二项式定理等数学知识进行分析和解决。二、教学整体思路（一）引入与导入（第1课时）教学内容：通过生活中的实例引入计数问题，介绍计数原理的重要性。教学步骤：导入环节：展示生活中的计数实例（如选择早餐的种类、穿衣搭配等），引导学生思考计数问题的多样性和复杂性。新课讲授：介绍分类加法计数原理的概念，通过具体例子讲解其应用。课堂练习：设计一些简单的分类计数问题，让学生分组讨论并求解。小结环节：总结分类加法计数原理的核心思想和应用场景。（二）分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）教学内容：复习分类加法计数原理，介绍分步乘法计数原理。教学步骤：复习旧知：快速回顾分类加法计数原理的概念和应用实例。新课讲授：介绍分步乘法计数原理的概念，通过具体例子讲解其应用。课堂练习：设计一些简单的分步计数问题，让学生分组讨论并求解。对比总结：对比分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别和联系。（三）排列的概念与简单应用（第3课时）教学内容：介绍排列的概念，讲解排列的计算公式。教学步骤：新课讲授：介绍排列的概念，讲解排列的计算公式。例题讲解：通过具体例题演示如何应用排列公式解决计数问题。课堂练习：设计一些排列问题，让学生独立求解。小结环节：总结排列的概念和应用场景。（四）排列的进阶应用（第4课时）教学内容：介绍排列的进阶应用，如含重复元素的排列、圆排列等。教学步骤：复习旧知：快速回顾排列的概念和计算公式。新课讲授：介绍排列的进阶应用，通过具体例子讲解其应用。课堂练习：设计一些排列的进阶问题，让学生独立求解。总结提升：引导学生总结排列的进阶应用方法和技巧。（五）组合的概念与简单应用（第5课时）教学内容：介绍组合的概念，讲解组合的计算公式。教学步骤：新课讲授：介绍组合的概念，讲解组合的计算公式。例题讲解：通过具体例题演示如何应用组合公式解决计数问题。课堂练习：设计一些组合问题，让学生独立求解。小结环节：总结组合的概念和应用场景。（六）组合的进阶应用（第6课时）教学内容：介绍组合的进阶应用，如含重复元素的组合、组合数的性质等。教学步骤：复习旧知：快速回顾组合的概念和计算公式。新课讲授：介绍组合的进阶应用，通过具体例子讲解其应用。课堂练习：设计一些组合的进阶问题，让学生独立求解。总结提升：引导学生总结组合的进阶应用方法和技巧。（七）二项式定理的概念与展开（第7课时）教学内容：介绍二项式定理的概念，讲解二项式定理的展开式。教学步骤：新课讲授：介绍二项式定理的概念，讲解二项式定理的展开式。例题讲解：通过具体例题演示如何应用二项式定理展开二项式。课堂练习：设计一些二项式展开问题，让学生独立求解。小结环节：总结二项式定理的概念和应用场景。（八）二项式定理的进阶应用（第8课时）教学内容：介绍二项式定理的进阶应用，如二项式系数的性质、二项式定理的通项公式等。教学步骤：复习旧知：快速回顾二项式定理的概念和展开式。新课讲授：介绍二项式定理的进阶应用，通过具体例子讲解其应用。课堂练习：设计一些二项式定理的进阶问题，让学生独立求解。总结提升：引导学生总结二项式定理的进阶应用方法和技巧。（九）数学文化——中国古代的排列组合（第9课时）教学内容：介绍中国古代在排列组合方面的成就，如《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。教学步骤：新课讲授：介绍中国古代在排列组合方面的成就和经典问题。案例分析：通过具体案例，分析中国古代数学家是如何应用排列组合知识解决实际问题的。课堂讨论：引导学生讨论中国古代排列组合思想对现代数学的影响和启示。小结环节：总结中国古代在排列组合方面的成就和思想。（十）数学文化——杨辉三角（第10课时）教学内容：介绍杨辉三角的概念和历史背景，讲解杨辉三角的性质和应用。教学步骤：新课讲授：介绍杨辉三角的概念和历史背景。例题讲解：通过具体例题演示如何应用杨辉三角解决组合问题。课堂练习：设计一些与杨辉三角相关的问题，让学生独立求解。小结环节：总结杨辉三角的概念、性质和应用。（十一）小结与复习（一）（第11课时）教学内容：全面回顾本章所学的计数原理、排列、组合、二项式定理以及数学文化内容。教学步骤：复习旧知：全面回顾本章所学的知识点。归纳总结：引导学生归纳总结本章的核心知识点和思想方法。课堂练习：设计一些综合性的问题，让学生综合运用本章所学知识解决问题。预习新课：布置预习任务，为下一节课的复习做好准备。（十二）小结与复习（二）（第12课时）教学内容：进一步巩固本章所学知识，进行答疑解惑和总结提升。教学步骤：复习巩固：通过课堂测试、小组讨论等形式，进一步巩固本章所学知识。答疑解惑：针对学生在复习过程中遇到的问题进行答疑解惑。总结提升：引导学生总结本章学习的收获和体会，提升数学学科核心素养。作业布置：布置复习题四作为课后作业，巩固所学知识。三、教学实施策略情境创设：通过生活中的实例和数学问题创设情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。问题导向：以问题为导向，引导学生主动思考、积极探究，培养他们的数学思维和解决问题的能力。合作学习：鼓励学生进行小组合作学习，通过交流、讨论和协作，共同解决问题，提升他们的团队协作能力和沟通能力。信息技术融合：充分利用信息技术手段（如多媒体课件、在线学习平台等），丰富教学手段和资源，提高教学效果。差异化教学：关注学生的个体差异，实施差异化教学，为不同层次的学生提供适合他们的学习内容和支持。通过以上教学思路和实施策略，旨在全面提升学生的数学学科核心素养，培养他们的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等能力，为他们未来的学习和生活打下坚实的基础。九、学业评价在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的指导下，针对2019湘教版选必第1册《第4章计数原理》的教学内容，我们设计了全面的学业评价方案。本评价方案旨在通过多元化的评价方式，全面评估学生在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学学科核心素养方面的达成情况。（一）数学抽象教学目标设定：学生能够理解两个计数原理（加法原理和乘法原理）的基本概念，并能够在不同情境中准确识别和应用这两个原理。学生能够从实际问题中抽象出排列、组合和二项式定理的数学模型，理解这些数学模型在现实生活中的应用。学生能够掌握排列数、组合数以及二项式定理的公式，并能够灵活运用这些公式解决相关问题。学习目标设定：学生能够熟练地将实际问题转化为排列、组合或二项式定理的数学问题，并用相应的数学模型表示。学生能够根据给定的条件，运用排列数、组合数的公式进行计算，并理解公式中各参数的意义。学生能够理解和运用二项式定理的展开式，求解二项式系数等问题。评价目标设定：抽象能力：通过给定实际问题或情境，评估学生抽象出排列、组合或二项式定理数学模型的能力。公式理解：通过选择题、填空题等形式，评估学生对排列数、组合数以及二项式定理公式的理解和掌握程度。问题解决：通过应用题或综合题，评估学生运用数学抽象能力解决排列、组合和二项式定理相关问题的能力。（二）逻辑推理教学目标设定：学生能够理解并掌握排列、组合和二项式定理中的基本推理方法，如通过分类讨论、分步计算等解决复杂问题。学生能够运用逻辑推理，证明排列、组合和二项式定理中的基本定理和性质。学生能够通过逻辑推理，解决涉及多个知识点和步骤的复杂计数问题。学习目标设定：学生能够熟练地进行分类讨论和分步计算，解决排列、组合和二项式定理中的复杂问题。学生能够根据给定的条件和定理，进行逻辑推理，证明相关的排列、组合和二项式定理结论。学生能够运用逻辑推理，解决涉及多个知识点和步骤的计数问题，如复杂的概率计算、随机事件的分析等。评价目标设定：推理能力：通过证明题或推理题，评估学生运用逻辑推理证明排列、组合和二项式定理结论的能力。问题解决：通过综合题或应用题，评估学生运用逻辑推理解决复杂计数问题的能力。思维过程：通过观察学生的解题过程或口头表述，评估学生的逻辑思维和推理步骤的合理性。（三）数学建模教学目标设定：学生能够理解数学建模的基本过程，包括问题抽象、模型建立、求解验证等步骤。学生能够根据实际问题，建立排列、组合或二项式定理的数学模型，并运用相应的数学方法进行求解。学生能够运用数学建模的方法，解决实际生活中的计数问题，如安排座位、分配任务等。学习目标设定：学生能够熟练地将实际问题抽象为排列、组合或二项式定理的数学模型，并用相应的数学语言表示。学生能够根据建立的数学模型，运用排列数、组合数的公式或二项式定理的展开式进行求解，并验证结果的合理性。学生能够运用数学建模的方法，解决涉及多个因素和变量的复杂计数问题，如资源分配、方案优化等。评价目标设定：建模能力：通过实际问题或案例分析，评估学生将实际问题抽象为排列、组合或二项式定理数学模型的能力。求解能力：通过应用题或建模题，评估学生运用排列数、组合数的公式或二项式定理的展开式求解数学模型的能力。验证能力：通过观察学生的解题过程或结果，评估学生验证数学模型合理性的能力。（四）直观想象教学目标设定：学生能够通过直观想象，理解排列、组合和二项式定理中的基本概念和性质。学生能够运用直观想象，解决排列、组合和二项式定理中的几何问题，如图形的排列组合、图形的二项式展开等。学生能够通过直观想象，探索排列、组合和二项式定理中的新性质和新规律。学习目标设定：学生能够通过观察图形或动态演示，理解排列、组合和二项式定理中的基本概念和性质。学生能够运用直观想象，解决涉及排列、组合和二项式定理的几何问题，如图形的变换、组合等。学生能够通过直观想象，探索排列、组合和二项式定理在实际应用中的新性质和新规律。评价目标设定：想象能力：通过观察图形或动态演示，评估学生运用直观想象理解排列、组合和二项式定理基本概念和性质的能力。问题解决：通过图形题或应用题，评估学生运用直观想象解决排列、组合和二项式定理几何问题的能力。探索能力：通过探索题或开放性题目，评估学生运用直观想象探索排列、组合和二项式定理新性质和新规律的能力。（五）数学运算教学目标设定：学生能够熟练掌握排列数、组合数的计算公式以及二项式定理的展开式，并能够进行准确的数学运算。学生能够运用数学运算技能，解决涉及排列、组合和二项式定理的复杂问题。学生能够提高数学运算的准确性和效率，为解决实际问题提供有力支持。学习目标设定：学生能够熟练进行排列数、组合数的计算以及二项式定理的展开，确保运算结果的准确性。学生能够根据实际问题，灵活运用数学运算技能，解决涉及多个步骤和知识点的复杂问题。学生能够通过练习和实践，提高数学运算的准确性和效率，形成良好的运算习惯。评价目标设定：运算能力：通过计算题或填空题，评估学生掌握排列数、组合数计算公式以及二项式定理展开式的能力。问题解决：通过应用题或综合题，评估学生运用数学运算技能解决涉及排列、组合和二项式定理复杂问题的能力。运算效率：通过观察学生的解题过程或结果，评估学生数学运算的准确性和效率，以及形成良好的运算习惯的情况。（六）数据分析教学目标设定：学生能够理解数据分析的基本方法，如收集数据、整理数据、分析数据等，并能够运用这些方法处理排列、组合和二项式定理中的实际问题。学生能够运用数据分析的技能，探究排列、组合和二项式定理中的规律和性质。学生能够提高数据分析的能力，为解决实际生活中的计数问题提供有力支持。学习目标设定：学生能够熟练收集、整理和分析与排列、组合和二项式定理相关的数据。学生能够根据数据分析的结果，总结排列、组合和二项式定理中的规律和性质。学生能够提高数据分析的准确性和效率，为解决实际生活中的计数问题提供有力支持。评价目标设定：分析能力：通过观察学生的数据分析过程或结果，评估学生运用数据分析方法处理排列、组合和二项式定理问题的能力。规律总结：通过总结题或案例分析，评估学生根据数据分析结果总结排列、组合和二项式定理规律和性质的能力。效率与准确性：通过观察学生的解题过程或结果，评估学生数据分析的准确性和效率，以及形成良好的数据分析习惯的情况。具体评价方式1.形成性评价（1）课堂观察：观察学生在课堂上的表现，包括听课状态、参与讨论的积极性、提问和回答问题的质量等，评估其对排列、组合和二项式定理基本概念和性质的理解程度。记录学生在课堂练习和小组讨论中的表现，评估其数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的达成情况。关注学生在数学实验或探究活动中的操作过程和结果，评估其动手能力和科学探究能力。（2）作业评价：设计多样化的作业题目，包括选择题、填空题、计算题、证明题、应用题等，全面评估学生的数学运算、逻辑推理、数学建模等能力。针对排列、组合和二项式定理的不同知识点，设计相应的作业题目，加深学生对这些知识点的理解和掌握。及时反馈作业情况，针对学生的错误和不足进行个别辅导和指导，帮助学生及时纠正错误，提高学习效果。（3）小测验：定期进行小测验，检测学生对排列、组合和二项式定理基本概念、定理和运算技能的掌握情况。小测验题目应具有代表性和典型性，能够准确反映学生的学习水平和能力。根据测验结果，及时调整教学计划和教学方法，确保学生能够达到预期的学习目标。2.总结性评价（1）期末考试：设计涵盖本章所有知识点的期末考试试卷，全面评估学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养的达成情况。试卷题目应具有代表性和典型性，能够准确反映学生的学习水平和能力。试卷应包括选择题、填空题、计算题、证明题、应用题等多种题型，全面考察学生的数学素养。（2）项目式学习评价：组织学生开展项目式学习活动，如利用排列、组合和二项式定理解决实际问题的项目、数学建模竞赛等，评估学生在实际应用中综合运用本章知识的能力。项目式学习活动应紧密结合现实生活或科学研究，引导学生运用本章知识解决实际问题或探究科学规律。通过项目报告、展示和答辩等形式，全面评价学生的创新能力、团队合作能力和解决问题的能力。3.多元化评价（1）自我评价与同伴评价：鼓励学生进行自我评价和同伴评价，通过反思自己的学习过程和学习成果，提高自我认知和自我管理能力。通过同伴评价，促进学生之间的相互学习和交流，形成良好的学习氛围。教师可以设计自我评价表和同伴评价表，引导学生规范地进行自我评价和同伴评价。（2）数学文化评价：结合中国古代的排列组合、杨辉三角等数学文化内容，设计相应的评价题目或活动，评估学生对数学文化的理解和掌握情况。通过数学文化评价，激发学生的学习兴趣和积极性，培养学生的数学素养和人文素养。教师可以组织数学文化讲座、数学史展览等活动，丰富学生的学习体验，拓宽学生的数学视野。（3）信息技术应用评价：鼓励学生利用信息技术手段（如数学软件、在线学习资源等）进行数学学习和探究，评估其信息技术应用能力和自主学习能力。通过观察学生在信息技术环境下的学习过程和成果，评估其信息技术应用能力和信息素养。教师可以提供丰富多样的信息技术学习资源，指导学生如何有效地利用这些资源进行数学学习和探究。结语通过全面的学业评价方案，我们可以全面评估学生在《第4章计数原理》这一章节中的学习成果和核心素养的达成情况。通过多样化的评价方式和手段，我们可以激发学生的学习兴趣和积极性，促进其全面发展。在未来的教学中，我们将继续优化和完善学业评价方案，为学生的成长和发展提供更加有力的支持。十、大单元实施思路及教学结构图1.大单元实施思路针对2019湘教版选必第1册《第4章计数原理》的教学内容，我们计划通过12个课时，系统地教授学生两个计数原理、排列、组合、二项式定理以及相关的数学文化，全面提升学生的数学学科核心素养。以下是详细的实施思路：第1课时：导入与两个计数原理（分类加法计数原理）导入：通过生活中的实例，如选择早餐的种类、穿衣搭配等，引导学生思考计数问题，引出计数原理的重要性。新课讲授：介绍分类加法计数原理，通过具体例子讲解其应用。课堂练习：设计一些简单的分类计数问题，让学生练习应用分类加法计数原理。小结：总结分类加法计数原理的核心思想和应用场景。第2课时：两个计数原理（分步乘法计数原理）复习旧知：快速回顾分类加法计数原理。新课讲授：介绍分步乘法计数原理，通过具体例子讲解其应用。课堂练习：设计一些简单的分步计数问题，让学生练习应用分步乘法计数原理。对比总结：对比分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别和联系。第3课时：排列的概念与简单应用新课讲授：介绍排列的概念，讲解排列的计算公式。例题讲解：通过具体例题，演示如何应用排列公式解决计数问题。课堂练习：设计一些排列问题，让学生练习应用排列公式。小结：总结排列的概念和应用场景。第4课时：排列的进阶应用复习旧知：快速回顾排列的概念和计算公式。新课讲授：介绍排列的进阶应用，如含重复元素的排列、圆排列等。例题讲解：通过具体例题，演示如何应用排列的进阶知识解决复杂计数问题。课堂练习：设计一些排列的进阶问题，让学生练习应用。第5课时：组合的概念与简单应用新课讲授：介绍组合的概念，讲解组合的计算公式。例题讲解：通过具体例题，演示如何应用组合公式解决计数问题。课堂练习：设计一些组合问题，让学生练习应用组合公式。小结：总结组合的概念和应用场景。第6课时：组合的进阶应用复习旧知：快速回顾组合的概念和计算公式。新课讲授：介绍组合的进阶应用，如含重复元素的组合、组合数的性质等。例题讲解：通过具体例题，演示如何应用组合的进阶知识解决复杂计数问题。课堂练习：设计一些组合的进阶问题，让学生练习应用。第7课时：二项式定理的概念与展开新课讲授：介绍二项式定理的概念，讲解二项式定理的展开式。例题讲解：通过具体例题，演示如何应用二项式定理展开二项式。课堂练习：设计一些二项式展开问题，让学生练习应用二项式定理。小结：总结二项式定理的概念和应用场景。第8课时：二项式定理的进阶应用复习旧知：快速回顾二项式定理的概念和展开式。新课讲授：介绍二项式定理的进阶应用，如二项式系数的性质、二项式定理的通项公式等。例题讲解：通过具体例题，演示如何应用二项式定理的进阶知识解决复杂问题。课堂练习：设计一些二项式定理的进阶问题，让学生练习应用。第9课时：数学文化——中国古代的排列组合新课讲授：介绍中国古代在排列组合方面的成就，如《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。案例分析：通过具体案例，分析中国古代数学家是如何应用排列组合知识解决实际问题的。课堂讨论：引导学生讨论中国古代排列组合思想对现代数学的影响和启示。小结：总结中国古代在排列组合方面的成就和思想。第10课时：数学文化——杨辉三角新课讲授：介绍杨辉三角的概念和历史背景，讲解杨辉三角的性质和应用。例题讲解：通过具体例题，演示如何应用杨辉三角解决组合问题。课堂练习：设计一些与杨辉三角相关的问题，让学生练习应用。小结：总结杨辉三角的概念、性质和应用。第11课时：小结与复习（一）复习旧知：全面回顾本章所学的计数原理、排列、组合、二项式定理以及数学文化内容。归纳总结：引导学生归纳总结本章的核心知识点和思想方法。课堂练习：设计一些综合性的问题，让学生综合运用本章所学知识解决问题。预习新课：布置预习任务，为下一节课的复习做好准备。第12课时：小结与复习（二）复习巩固：通过课堂测试、小组讨论等形式，进一步巩固本章所学知识。答疑解惑：针对学生在复习过程中遇到的问题进行答疑解惑。总结提升：引导学生总结本章学习的收获和体会，提升数学学科核心素养。作业布置：布置复习题四作为课后作业，巩固所学知识。2.教学目标设定（一）数学抽象学生能够从具体的生活实例中抽象出计数问题，理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的数学本质。学生能够掌握排列、组合、二项式定理等数学概念，理解其背后的数学抽象过程。学生能够运用数学抽象的思想方法，解决复杂的计数问题。（二）逻辑推理学生能够通过逻辑推理，理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理之间的关系和区别。学生能够运用逻辑推理的方法，推导排列、组合、二项式定理的计算公式和性质。学生能够运用逻辑推理的思想方法，解决与计数原理相关的数学问题。（三）数学建模学生能够将实际问题抽象为计数问题，建立数学模型进行求解。学生能够运用排列、组合、二项式定理等数学知识，解决实际生活中的计数问题。学生能够体会数学建模在解决实际问题中的重要作用。（四）直观想象学生能够通过直观想象，理解排列、组合、二项式定理等数学概念的几何意义。学生能够运用直观想象的方法，解决与计数原理相关的几何问题。学生能够体会直观想象在数学学习和解题中的重要作用。（五）数学运算学生能够熟练掌握排列、组合、二项式定理等数学运算，提高运算速度和准确性。学生能够运用数学运算的思想方法，解决复杂的计数问题。学生能够体会数学运算在数学学习和解题中的重要作用。（六）数据分析学生能够通过数据分析的方法，理解计数原理在实际生活中的应用。学生能够运用数据分析的工具和方法，处理与计数原理相关的数据问题。学生能够体会数据分析在数学学习和解题中的重要作用。3.教学结构图（思维导图）4.具体教学实施步骤第1课时：导入与两个计数原理（分类加法计数原理）导入环节（5分钟）通过展示生活中的计数实例（如选择早餐的种类、穿衣搭配等），引导学生思考计数问题的多样性和复杂性。提问学生：这些计数问题有哪些共同点和不同点？如何更有效地解决这些问题？新课讲授环节（25分钟）介绍分类加法计数原理的概念，通过具体例子（如从三个不同类别的商品中各选一个的总选法数）讲解其应用。强调分类加法计数原理的核心思想：将一个大问题分解为若干个小问题，分别求解后再相加。引导学生思考：分类加法计数原理在什么情况下适用？如何避免重复和遗漏？课堂练习环节（15分钟）设计一些简单的分类计数问题（如从三个不同城市中选择一个旅游的目的地，每个城市有多种旅游线路可供选择），让学生分组讨论并求解。教师巡回指导，及时解答学生的疑问。请几组学生代表上台展示解题过程，教师点评并总结。小结环节（5分钟）总结分类加法计数原理的核心思想和应用场景。布置课后作业：要求学生搜集生活中的计数实例，尝试用分类加法计数原理解决。第2课时：两个计数原理（分步乘法计数原理）复习旧知环节（5分钟）快速回顾分类加法计数原理的概念和应用实例。提问学生：分类加法计数原理的核心思想是什么？如何应用它解决计数问题？新课讲授环节（25分钟）介绍分步乘法计数原理的概念，通过具体例子（如从甲地到乙地需要经过两个中转站的总走法数）讲解其应用。强调分步乘法计数原理的核心思想：将一个大问题分解为若干个小步骤，分别求解后再相乘。引导学生思考：分步乘法计数原理在什么情况下适用？如何确保每个步骤都是独立的？课堂练习环节（15分钟）设计一些简单的分步计数问题（如从三个不同城市中选择两个城市进行旅行的总走法数，且每个城市只能经过一次），让学生分组讨论并求解。教师巡回指导，及时解答学生的疑问。请几组学生代表上台展示解题过程，教师点评并总结。对比总结环节（5分钟）对比分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别和联系。强调两者在解决计数问题时的适用条件和思路。布置课后作业：要求学生尝试用分步乘法计数原理解决一些生活中的计数问题。第3课时：排列的概念与简单应用新课讲授环节（25分钟）介绍排列的概念，讲解排列的计算公式（如从n个不同元素中取出m个元素的所有排列数）。通过具体例子（如从5个人中选3个人进行排列的所有可能情况）演示如何应用排列公式解决计数问题。强调排列的有序性：排列与元素的顺序有关。例题讲解环节（10分钟）通过具体例题（如从字母A、B、C、D中选出3个字母进行排列的所有可能情况），演示如何应用排列公式进行求解。引导学生思考：排列公式中的n和m分别代表什么？如何根据实际问题确定n和m的值？课堂练习环节（10分钟）设计一些排列问题（如从6个人中选4个人进行排列的所有可能情况），让学生独立求解。教师巡回指导，及时解答学生的疑问。请几位学生上台展示解题过程，教师点评并总结。小结环节（5分钟）总结排列的概念和应用场景。强调排列的有序性和排列公式的重要性。布置课后作业：要求学生搜集生活中的排列实例，尝试用排列公式解决。第4课时：排列的进阶应用复习旧知环节（5分钟）快速回顾排列的概念和计算公式。提问学生：排列的有序性体现在哪里？如何应用排列公式解决计数问题？新课讲授环节（25分钟）介绍排列的进阶应用，如含重复元素的排列、圆排列等。通过具体例子（如从5个不同颜色的球中选3个球进行排列，且其中有两个球颜色相同）演示如何应用含重复元素的排列公式。通过具体例子（如5个人围成一个圈进行排列的所有可能情况）演示如何应用圆排列公式。例题讲解环节（10分钟）通过具体例题（如从6个字母A、B、C、D、E、F中选4个字母进行排列，且其中有两个字母相同），演示如何应用含重复元素的排列公式进行求解。通过具体例题（如7个人围成一个圈进行排列的所有可能情况），演示如何应用圆排列公式进行求解。课堂练习环节（10分钟）设计一些排列的进阶问题（如从8个不同颜色的球中选4个球进行排列，且其中有三个球颜色相同；9个人围成一个圈进行排列的所有可能情况），让学生独立求解。教师巡回指导，及时解答学生的疑问。请几位学生上台展示解题过程，教师点评并总结。第5课时：组合的概念与简单应用新课讲授环节（25分钟）介绍组合的概念，讲解组合的计算公式（如从n个不同元素中取出m个元素的所有组合数）。通过具体例子（如从5个人中选3个人组成一个小组的所有可能情况）演示如何应用组合公式解决计数问题。强调组合的无序性：组合与元素的顺序无关。例题讲解环节（10分钟）通过具体例题（如从字母A、B、C、D、E中选3个字母组成一个集合的所有可能情况），演示如何应用组合公式进行求解。引导学生思考：组合公式中的n和m分别代表什么？如何根据实际问题确定n和m的值？课堂练习环节（10分钟）设计一些组合问题（如从6个人中选4个人组成一个小组的所有可能情况），让学生独立求解。教师巡回指导，及时解答学生的疑问。请几位学生上台展示解题过程，教师点评并总结。小结环节（5分钟）总结组合的概念和应用场景。强调组合的无序性和组合公式的重要性。布置课后作业：要求学生搜集生活中的组合实例，尝试用组合公式解决。第6课时：组合的进阶应用复习旧知环节（5分钟）快速回顾组合的概念和计算公式。提问学生：组合的无序性体现在哪里？如何应用组合公式解决计数问题？新课讲授环节（25分钟）介绍组合的进阶应用，如含重复元素的组合、组合数的性质等。通过具体例子（如从5个不同颜色的球中选3个球组成一个集合，且其中有两个球颜色相同）演示如何应用含重复元素的组合公式。介绍组合数的性质（如互补性质、加法性质等），并通过具体例子演示其应用。例题讲解环节（10分钟）通过具体例题（如从6个字母A、B、C、D、E、F中选4个字母组成一个集合，且其中有两个字母相同），演示如何应用含重复元素的组合公式进行求解。通过具体例题（如计算从n个元素中取出m个元素的组合数与从n个元素中取出(n-m)个元素的组合数之间的关系），演示如何应用组合数的互补性质进行求解。课堂练习环节（10分钟）设计一些组合的进阶问题（如从8个不同颜色的球中选4个球组成一个集合，且其中有三个球颜色相同；计算从10个元素中取出m个元素的组合数与从10个元素中取出(10-m)个元素的组合数之间的关系），让学生独立求解。教师巡回指导，及时解答学生的疑问。请几位学生上台展示解题过程，教师点评并总结。第7课时：二项式定理的概念与展开新课讲授环节（25分钟）介绍二项式定理的概念，讲解二项式定理的展开式（如(a+b)^n的展开式）。通过具体例子（如计算(a+b)^3的展开式）（略）。十一、大情境、大任务创设在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的指导下，针对2019湘教版选必第1册《第4章计数原理》的教学内容，我们精心设计了一个大情境与大任务，旨在通过一系列综合性和实践性的学习活动，全面提升学生的数学学科核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。一、教学目标设定（一）数学抽象目标描述：学生能够通过对具体计数问题的分析，抽象出分类加法计数原理和分步乘法计数原理的数学模型，理解其核心概念和适用范围。具体表现：在面对复杂的计数问题时，学生能够准确识别问题中的分类或分步特征，运用数学语言清晰表达分类或分步的过程，形成数学抽象思维。（二）逻辑推理目标描述：学生能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，通过逻辑推理解决计数问题，验证计数结果的正确性。具体表现：在解题过程中，学生能够根据问题的具体情况，选择合适的计数原理，通过逐步推理得出正确的计数结果，并能够解释推理过程，证明计数结果的合理性。（三）数学建模目标描述：学生能够将实际生活中的计数问题转化为数学模型，运用计数原理进行建模，解决实际问题。具体表现：学生能够根据具体问题的情境，选择合适的数学工具和方法，建立计数问题的数学模型，通过模型求解得出实际问题的解决方案，并能够对模型的有效性和适用性进行评估。（四）直观想象目标描述：学生能够借助几何直观和空间想象，理解排列、组合和二项式定理等数学概念的几何意义，解决与计数原理相关的几何问题。具体表现：在面对涉及排列、组合和二项式定理的几何问题时，学生能够运用直观想象的方法，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，通过图形分析得出问题的解决方案。（五）数学运算目标描述：学生能够熟练掌握排列、组合和二项式定理等数学运算，提高运算速度和准确性，解决复杂的计数问题。具体表现：在解题过程中，学生能够灵活运用排列、组合和二项式定理的运算公式，准确进行数学运算，得出正确的计数结果，并能够评估运算过程的合理性和效率。（六）数据分析目标描述：学生能够通过数据分析的方法，理解计数原理在实际生活中的应用，处理与计数原理相关的数据问题。具体表现：在面对涉及大量数据的计数问题时，学生能够运用数据分析的方法，对数据进行整理、分析和推断，得出合理的结论，并能够根据数据分析结果提出实际问题的解决方案。二、大情境与大任务设计（一）大情境设计情境背景：假设学校即将举办一场大型的文化艺术节，活动包括文艺表演、书画展览、科技制作等多个项目。为了确保活动的顺利进行，学校需要组织各种筹备工作，如节目编排、场地布置、人员安排等。这些筹备工作都涉及到计数原理的应用，如节目编排中的排列组合问题、场地布置中的几何计数问题等。情境描述：文艺表演编排：艺术节将有多个文艺节目进行表演，包括舞蹈、歌唱、戏剧等。每个节目都有不同的表演要求和时长限制。学校需要合理编排节目顺序，确保整个艺术节的流畅进行。书画展览布置：书画展览区域将展示大量学生的优秀作品。为了充分展示每幅作品，学校需要对展览区域进行合理规划，包括作品摆放的位置、间距等。这涉及到几何计数和排列组合的问题。科技制作竞赛：科技制作竞赛将吸引众多学生参加。为了确保竞赛的公平性和有序进行，学校需要对参赛作品进行编号、分类和评选。这涉及到计数原理的应用和数据分析的方法。（二）大任务设计任务名称：文化艺术节筹备工作计数原理应用实践任务描述：学生将分成若干小组，每个小组负责一项筹备工作的计数原理应用实践。具体任务包括：任务一：文艺表演编排子任务1：根据节目类型和表演要求，对节目进行分类，并计算每种类型的节目数量。子任务2：运用排列组合的方法，合理编排节目顺序，确保整个艺术节的流畅进行。子任务3：分析节目编排过程中的计数问题，总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。任务二：书画展览布置子任务1：对展览区域进行合理规划，计算展览区域的总面积和每幅作品的展示面积。子任务2：运用几何计数的方法，计算展览区域中作品的摆放位置和间距，确保每幅作品都能得到充分展示。子任务3：分析展览布置过程中的计数问题，总结几何计数和排列组合的应用。任务三：科技制作竞赛子任务1：对参赛作品进行编号和分类，统计每种类型的作品数量。子任务2：运用数据分析的方法，对参赛作品进行评选和排名，确定获奖作品。子任务3：分析竞赛评选过程中的计数问题，总结计数原理在数据分析中的应用。任务实施步骤：任务分配：教师根据学生的兴趣和能力，将学生分成若干小组，每个小组负责一项筹备工作的计数原理应用实践。任务准备：学生小组根据任务要求，收集相关资料和数据，制定详细的任务实施计划。任务实施：学生小组按照计划进行任务实施，运用计数原理解决筹备工作中的实际问题。在实施过程中，学生可以相互交流和合作，共同解决问题。成果展示：学生小组将任务实施过程和成果进行展示，包括问题分析、解决方案、计数原理应用等。展示形式可以是口头报告、PPT演示、实物展示等。评价与反馈：教师和学生共同对任务实施过程和成果进行评价和反馈，总结计数原理的应用经验和教训，提出改进建议。三、大情境与大任务的教学意义通过设计大情境与大任务，将计数原理的教学与实际应用紧密结合，可以有效提升学生的数学学科核心素养。具体表现在以下几个方面：增强数学抽象能力：通过具体问题的分析，学生能够抽象出计数问题的数学模型，理解计数原理的核心概念和适用范围，提高数学抽象能力。提升逻辑推理能力：在任务实施过程中，学生需要运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行逻辑推理，验证计数结果的正确性，提升逻辑推理能力。培养数学建模能力：通过实际问题的建模和求解，学生能够将数学原理与实际问题相结合，培养数学建模能力，提高解决实际问题的能力。发展直观想象能力：在涉及几何计数和排列组合的问题中，学生能够借助几何直观和空间想象理解数学概念的几何意义，发展直观想象能力。提高数学运算能力：在任务实施过程中，学生需要进行大量的数学运算，提高运算速度和准确性，培养严谨的数学运算习惯。增强数据分析能力：通过数据分析和处理，学生能够理解计数原理在实际生活中的应用，提高数据分析能力和决策能力。通过设计大情境与大任务，将计数原理的教学与实际应用紧密结合，可以有效提升学生的数学学科核心素养，为学生的全面发展奠定坚实的基础。十二、单元学历案（一）单元主题与课时单元主题：第4章计数原理计划课时：12课时课时设计：第1课时：导入与两个计数原理（分类加法计数原理）导入环节（5分钟）：通过展示生活中的计数实例（如选择早餐的种类、穿衣搭配等），引导学生思考计数问题的多样性和复杂性。提问学生：这些计数问题有哪些共同点和不同点？如何更有效地解决这些问题？新课讲授环节（25分钟）：介绍分类加法计数原理的概念，通过具体例子（如从三个不同类别的商品中各选一个的总选法数）讲