CH02 电路的分析方法 2

第

电路的分析方法

•内容提要：

•本章主要讨论针对复杂电路的分析方法，尽管所涉及的问题都是直流电路，但仍

适用于其它情况。

•本章内容是本课程电路部分乃至贯穿整个课程的重要内容。

•基本要求：

•理解实际电源的两种模型及其等效变换；

•掌握支路电流法、结点电压法、叠加原理、戴维宁定理分析电路方法。

目录

2.1电陌*外联的等效交换

X2.2电阻♦形切三角形眼挨的■敢支扶

2.3电压源与电流既及其等效交换

2.4支路电流法

2.5结点电压法

2.6处加原H

2.7维宁定理与诺领定理

X2.8受控电源电路的分析

X2.9非统性电阻电路的分析

电踣分析方法

•等效变换法：

•电路方程法：

■等效交换法：

•利用■双衰缺，建步蔺化=踣，政衰h■路片构。

•电阻串弁联等效支换

•实际电源等效交换

•双雄宁定珏

诺板定理

・电珞力•通法:

•对蛉丸结构、元件务数的电路,选择一组存支M（ik、unk.il、im）,拳过KL和

VCR求辩文*,我一步求出其它变景。

•攵胫电流滋

•电压法

•回络电流法

•网孔法

§2-1.电阻串并联的等效变换

首先，充分理解等效电路的概念

Nl、N2电路结构、元件参数不同，但端口VCR相同，均为U=5L即N1、

N2对外电路作用相同，可互换。

等

一、电阻的串联

两个或更多个电阻一个接一个地顺序连接，这些电阻通过同一电流，这样就称为

电阻的串联。

根据KVL

U=U1+U2=IR1+IR2=I(R1+R2)

=IR

•电阻的串联可用一个等效的电阻代替：

R=R1+R2

串联分压:

U=U1+U2

.,RI__

其u中：U1=IR1=U

RI+R2

R?

U2=IR2=U

R1+R2

两个或JL多个电阻联接在两个公共的结点之间，这科联接方法称为电阻的弁联。

•并联时，各支路具有相同的电压。

根据KCL

I=I1+I2=U/R1+U/R2=U(1/R1+1/R2)

=U(1/R)

•并联电阻的等效值R可表示为：

—=]—।———或衣=K•相

RK&K+R

•也可表示为：

G=GI+G2

•式中G称为电导，是电阻的倒数，单位为西门子(S)。

并联电阻的分流公式

两个电阻并联时，各电阻中的电流分别为：

rUIR凡了

R、R、R、+R?

i.=—V=I—R=--R--11r

R2R2居+R2

•并联时，一电阻中的分得的电流与该电阻成反比。

•井联电阻愈多总电阻就愈小，总电阻小于其中任一电阻。

例2.1.1

如图复联电路,R1=1OQ,R2=5Q,R3=2Q,R4=3C,电压U=125V,试求电流

Iio

•解:⑴R3、R4串联,

R34=R3+R4=2+3=5Q

•(2)R2与R34并联，等效为：

R234=R2R34/(R2+R34>2.5Q

3)总电阻R可看成时R1与R234的串联,

R=R1+R234=1O+2.5=12.5Q

•(4)电流

I1=U/R=125/12.5=10A

例2.1.2

・计算图中所示电阻电路的等效电阻R,并求电流I和15。

Ig2Q

+R?2Q

邛7R、

3K&46

―Ih-TI-

段6c&4Q

(d)(c)

由(d)图可知R=1.5。，I=—=2A

R

由(b)图可知

In=—=1A

火7

Il2=I-I7=1A

/&4+4

%+凡+为

=-A

3

己知：Rl=12Q,R2=6Q,R3=R4=R5=2Q,R6=lQ,R7=5Q。

求：ab端等效电阻。

解：原电路等效为:

通"也〃凡=黑；=慝=4。

Rcd=R3//R4=^A-=l£2

R346=Red+区6=20

Rcb=R346〃R5=lC

R，b=（Rac+Rcb）〃R7=2.5Q

e.fj.2.2

电路如右图所示，求各支路电流。

解：先求出Rab,总电流L再求各支路电流。

七,二30〃60=20。

R的=20+10=30。

必=30〃30=15。

必=25+15=40。

念=掾=。34

人=/2=^I=0A5A

=I、=-xO.15=O.l/A

30+60~3

•-7-7-0.05A

§2-3.电压源与电流源及其等效变换

•实际电源：干电池、发电机、信号源及光电池

两种电路模型：

、电压源

•将任何一个电源，看成是由内阻R0和电动势E串联的电路，即为电压源模型，简称电

压源。

由电路可知：U=E-IRO（电源外特性方程）

•当电源开路时：1=0,

U=Uo=E

•当电源短路时：u=o,

I=IS=E/R0

电压源

电压源外构性

•由电源外特性方程U=E-IR0可得到其外特性曲线。

•由横轴截距可知，内阻R0愈小，则直线愈平。

电压源内阻R0远小于负载电阻RL时（即R0«RL）,内阻压降IR0«U）于

是U^E,

•常用的稳压电源可近似认为是理想电压源o

理想电压源特性：

理想电压源

理想电压源

特性：

Ro=O

U=E

I任意

e.g.E=10V,RL=5Q,I=2A,U=10V;

RL=2Q,I=5A,U=10V;

RL=8,i=OA,U=10Vo

•对于电压源U=E-IRO当各项除以RO后,

•得

R)R)

•或if=is-i

・其中:IS=E/R(kI/=V/RO

•根据电流关系得到新的等效电路一电流源模型

•定值电流IS与内阻R0的并联

电流源的外特性

•根据上述关系式，I=IS-r

•上述关系式即为外特性方程,特性曲线见图。

•当R0=8时，I=IS为定值。而负载两端的电压IMR为任意值,

由负载电阻R和电流IS决定，称之为理想电流源或恒流源。

理想电流源

■理想电流源的特性;

•RO=8

•I=Is

・U=IR为任意值

（由负载电阻R和电流

Is决定）

理想电源的串并联

■理想电压源的串联

与恒流源串联的电阻、恒压源或任意支路在变换时不起作用，可以去掉（短接）

与恒压源并联的电阻、恒流源或任意支路在变换时不起作用，可以去掉（开路）

目UsCpU

b.g.2.3

三、电压源与电流源的等效交换

•根据上述关系式，可知电压源与电流源之间的变换关系:

•由上述推导的关系可知，IS=E/RO以及内阻RO不变。这为电压源与电流源之间的

变换提供了定量关系式。

*总*项；

・实际电孙可以用两种电路棋现状示

■——电压源柏电流源。

•也压源与电渡源之间可以相互交换。E61s的方向保妗不交、内阻R0的数值保捡不

支；

•电源变换只对外电路等效•，而对内电路则不甘效。如同一电款在两种•敢电路中，内

阻R0上必耗的功率就不同。

・恒压・与恒流融之间不施进行交换；R0为0或8都无意义。

一般不限于内阻，只要一个电动势为E的理税电压须和某个电阻R串联的电路，都可以化

为一十■流为的珏花■沅况扪过个■!»井联的■路。

等效关系只对缗电路成文

Is领

(b)

开路：(a)1=0,PR=0；(b)IR=IS,PR=IS2R

短路：(a)lR=E/R,PR=E2/R；(b)IR=0,PR=0

试计算i电阻中的电流i:

(a)图由分流公式

I=3X2/(2+l)

=2A

(b)图由欧姆定律可知

I=E/(Ro+R)

=6/(2+l)=2A

(a)(b)

§2-4.支路电流法

•凡不能用电阻串并联等效变换化简的电路，称为复杂电路。

•在分析计算复杂电路的各种方法中，支路电流法是最基本的，也是基础！

•支路电流法的理论依托是基尔霍夫定律。

•支路电流法的出发点是以电路中各支路的电流I为未知变量，然后根据基尔霍夫定律

列方程组并求解计算

以上BB为例，介i8文跄电流法妁应用过

(1)纵观整个电路，有a、b两个结点；三条支路；两个网孔。

(2)设各支路电流分别为II、12及13,作为传求未知变量。

(3)应用KCL,根据结点列方程，对于结点a有：

11+12=13(流入=流出)而结点b的方程与其一致

⑷应用KVL,根据电路的网孔列出方程：

I1RI+I3R3-E1=O

-I2R2+E2-I3R3=O

IlI2

得到方程组

Ii+L-13=0]

:

I1R1+LR3=EI0

I2R2+I3R3=E2"

EiR3

其系数行列式为:

E2氐

=—RiR2—RiR3——(RiE2—R3Ei

A=Ri0R3

—R3Ri+R3E2)

0R2R3110

01-1&=Ri0Ei

Ai=Ei0R3=—(R2E1-R3E20RiE2

E2RiR3+R3E1)=—(RzE1+R1E2)

A=—(RiR2+R2R3+R3Ri)

=

Ai—(R2Ei—R3E2+R3Ei)IiI2

&=—(RiE2—R3Ei+R3E2)

+RiR2

&=—(RzEi+RiEi)

TA/A(R2+R3)E1—R3El

LeA=正而KM凤而

(Ri+R3)E2—R3E1

I2=Az/A=

RiR2+R2Ra+R3Ri支路电文法求

R2Ei+RiEi各支路电流

I3=&/A=

RiR2+R2R3+R3Ri

设某电路有b条支路，n个结点

•支路电流法的独立方程数:

•KCL的独立方程数=n-l：

•KVL的独立方程数:b-m-n=网孔数。

•支路电流法的解题步骤:

・选定各支路电流的参考方向,标注支路编号;

•对(n-1)个独立结点,利用KCL列电流方程;

•选取b-8-l)个独立回路,指定回路绕行方向,利用KYL列电压方程;

•联立方程b个，解ik。

已知：El=4V,E2=2V,IS3=0.1A,Rl=R2=10Q,R3=20Qo

求各支路电流，及IS3提供电功率。

解：KCLa:Ii-b+l3+Is3=0L=0.12A

KVLZi:-Ei+RiIi-R3l3=0I2=0.08A

h:-Ei+RiIi+R2l2+E2=0I3=-0.14A

P3=Is3(R2l2+E2)=0.28W

•计算如图检流计中的电流IG

解：如图,结点数n=4,支路数b=6,网孔数m=3。应根据KCL列3个方程，根据KVL列3

个方程，共六个。

对结点aII-12-IG=O

对结点bI3+IG-14=0

对结点c12+14-I=0

对回路abdaI1R1+IGRG-I3R3=0

对回路acbaI2R2-I4R4-IGRG=0

对回路dbcdE=I3R3+I4R4

解之，得

____________E(R2R3-RR)________________

RG(RI+R0(Ra+R4)+RIK(R3+R4)+R3R4R1+R2)

•将图中El化成电流源，再计算13。其中El=140V,E2=90VRl=20,R2=5,R3=6

解：将El化成电流源IS1、RI后，图中虽有4条支路，但IS1=7A却已知，故只有3个未

知电流。可列出方程：

Isi—14—13+I2=0

I?R?+hRa=Ez

I4Ri—I3R3=0代入数据解之得：13=1()A

R

§2-5.结点电压法

•当电路支路数b较多，而结点数n较少，易用结点电压法。

•结点电压——对一个具有n个结点的电路，可任选一结点为参考结点，其它n-l个独

立结点相对参考结点的电压。

•方向：由独立结点指向参考结点。

•表示：UnLUn2»

Ua,Ub,

(I)VCR(用节点电压表示支路电流)

I_E「U八/"U山八="I二%/J%

「方一&仆465R

(2)KCL

人+，2—,S3一13=0

-72-/4+/5=0

(1)VCR

片-「心乜=%/-4-/

2&&46『层

(2)KCL

-I2-Z4+Z5=0

⑶代入

E「U»U.2—U〃\U〃

=0

—TF——,「飞3

J111,E[

(=+丁+口"〃\~—Urr〃2=-S3+—

/\|A?/A|

结点电压方程;

/I11\TT1TTJE\

(11)U〃]Uc=_]S3H

s'

R}R2R3R2〃"飞

J11、〃1〃

(11)U2U[=--

npnnnln

*2*4信&2*5

111、〃1E]

(z11)U1UTT=—ITS3H

pnpD“z2r>

气/<2&3&2%

-I+耳

S3+R|

u

n\iir"

—।—।—)

(--11--)UI=—IS3H

&R?R3"s'RRR?4

TJ_Z4

u〃F

一只适用于电路仅有两个结点!

•电路中仅有a、b两个结点；

•设b为参考结点，则a为独立结点；

•U称为结点电压，正方向由a指向b。

•通过如下推导可得出结点电压的计算公式。

①用结点电压表示支路电流：

U=E1-I1R1

E1-U

11=R1

-E2-U

12=R2

U=-E2-I2R2

U

13=R3

U=I3R3

幻灯片50

结点电压法

②对于结点a应用KCL,可得:

11+12-13+Is=O

E1-U-E2-UU

R1+R2+IJR3=0

•进而有

13

E2

E1

U

Is

R3

IIR1R2

b

③展开整理后，即得到结点电压:

E1E2

R1R2+IS

U=

11I

RI+R2+R3

一只适用于电路仅有两个结点!

幻灯片51

例2.5.1

应用结点电压法求如图电路中的电流。

其中El=140V,E2=90V,Rl=20,R2=5,R3=6,

II12

a

RIR2

13

R3

El

E2

b

解：该电路只有两个结点a和b,根据公式，结点电压为

ElE2

Ri+R2

14090

20+5

Uab=

=60V

111

20+56

111

KIKZK3

Uab

R3

El-Uab

E2-Uab

KZ

11=

12=

13=

140-60

zu

90-60

5

60

6

=I0A

=4A

=6A

幻灯片52

e.g.2.6

注意：和电流源串联的电阻不计入内!

Il12

a

RIR2

IS

E2

R3

耳+与+/

RR?

Uab=

ii

+

%尺2

幻灯片53

e.g.2.7

A

10Q5C

20Q

5OV

电路如图所示,求VA。

+50V

10Q

A

5C20Q

解:

5050

105=-14.3V

111

++

10520

幻灯片54

例2.5.4

15

R515

R4

10

E2

15VI

65V

C

・计算如图电路中的电位VA和VB

解：图中有3个结点，选C点为参考点(VC=0),

对结点A和B应用KCL列方程

II+12-13=0

15-12-14=0

对各支路用欧姆定律求电流:

VB

14=

El-VA

11=

5

VB-VA

12=1A

iv/

E2-VB

15=

15

VA

13=

5

ElVB

Ri+R2

E2VA

R5R2

得到结点电压方程为:

VA=

VB=

111

一一

KIKZKJ

111

KZK4KD

幻灯片55

例2.5.4

联立方程:

ElVB

Ri,R2

VA=

11

+

R2R3

E2VA

R5+R2

VB=

111

4―4~一

KZK4K?

代入数据解之，得：VA=10V,VB=20V

解毕

（进而，可求：11=1A,I2=1A,I3=2A,I4=2A,15=3A,）

幻灯片56

homework

•73

•2.1.1

•2.3.22.3.3

•2.4.22.5.1

・2.6.2

・2.7.42.7.6

青也发自要求/

幻灯片57

Il12

a

R2

El

E2

R3

b

幻灯片58

§2-6.叠加原理

・叠加原理：对于线性电路，任何一条支路的电压或电流，都可以看成是由电路中各个

独立源（电压源或电流源）单独作用时，在该处所产生的电压或电流的代数和。

所谓电路中各个电源单独作用，就是将电路中其它电源置0,即电压源短路，电流源开路。

幻灯片59

查1加原理的证明：

以为H例：

b

(b)

Il12

RIR2

13

R3

E2

图(a)

支路电流法：

11+12-13=0

R1I1+R3I3-E1=O

-R2I2+E2-R3I3=0

(R2+R3)E1-R3E2

RIR2+R2R3+R3R1

11=

R2+R3

RIR2+R2R3+R3R1

R3

RiR2+R2R3+R3R1

E2

幻灯片60

登加原理的证明

II12

R2

13

EI

b

%

L'=——

R2R3

R-

R?/+RJq

(R2+R3)

E1

R[JLR?/+R[<R1qJ+/J

ER3

2--x

+RRR[+Rq

RJLJ

2R[+Rq

JLO

R3

-E2

R[RJL?/+R/?RJ«+RL[R3

幻灯片61

赴加原理的证明：

II12

a

R2

13

R3

El

E2

b

(a)

Il12

a

RIR2

13

R3

b

(b)

II12

RIR2

13

R3

E2

(c)

R3

(「

L―21—EE2

R1+R[Rq+R2R3R।RJL2+/R[Ra+R2/R4J

I,=(%+&)E]

I

R1|R/2+R[JLR?J+R/2RJ

11=11'-Il

R

E

R[R?+R2R3+口禺32

幻灯片62

登加原理的证明

ii12

a

RIR2

13

R3

El

E2

b

(a)

Il12

同样，12、13亦

可求得：

12=-12+12

13=13+13

幻灯片63

应用殳加原理的注愈事项：

・在加原理的适用范围：段性电路°

・电压源不作用：E=0,电压源也珞；

•电流源不作用：1=0,电流源开路0

・查1加对承：电压或电流，功率不能通加！

金加方向！

22

舄=/泳3=(1+4)R3^I^R3+I^R3

幻灯片64

已知电路如图⑸所示，试用叠加原理求图中电流I、电压U及电源功率。

e.g.2.8

解：分解电路

I"6c

10V4»U

(a)

(b)图P=10/(6+4)=lAU'=1X4=4V

(c)图I1=4X0.4=1.6AUM=1.6X6=9.6V

(a)图1=I*-I*'=-0.6AU=U'+UM=13.6V

PUS=-USl=-10X(-0.6)=6W负载

PIS=-UIS=-13.6X4=-54.4VV电源

幻灯片65

鱼加原理计算步痔：

・分解电路：将含有多个电源作用的电路分解为电源单独或分组作用的电路；

・“除源”IS=0电流源开路；

•us=o电压源短路；

・计算各分电路电流、电压；

・应用以加原理计算总也流、电压，注意力•向。

功率不能在加！

幻灯片66

e.g.2.9

求⑴当开关S在“1”时，各支路电流；

⑵当开关S在“2”时，各支路电流;

A

VA=18V,I11=6A,I21=-1.5A,131=4.5A;I2"=4.5AHM=3A,I3"=1.5A

幻灯片67

e.g.2.9

加原理

求⑴当开关S在“1”时，各支路电流;

3015

+

22=187

111

++

224

15V

30—匕30-18

372=2

…15-匕=15-18一

2122

7匕18/-

Ai===4.5A

3144

幻灯片68

c.g.2.9

⑵当开关S在“2”时，各支路电流;

UlA121A「31

15V

A

112122A132

2+

2+4

I]2=IU-I；=6-3=3A

2i-V=-1.5+4.5=34

/"=4.5X」-二3A

12+4

/=/+/"=4.5+L5=6A

。乙JAJ

=1.5A

幻灯片69

叠加原理不仅可以用来计算复杂电路，而且也是分析与计算线性问题的普遍原理,

在后面常用到。

幻灯片70

e.g.2.10

下图所示电路中，电压表的读数为12V,若将AB间短路，则电压表的读数为8V,试问AB

间不短路，但C点断开时电压表的读数是多少？

BD

幻灯片71

U

A

IIs

B

U=U'+U”

U"=U-U'=4V

AC

❶us

BD

U'

AC

BD

幻灯片72

§2-7.戴维宁定理与诺顿定理

在有些情况下，只需计算电路中某一支路中的电流，如计算右图中电流，若用前

面的方法需列解方程组，必然出现一些不需要的变量。

II12

RIR2

13

E1

E2

为使计算简便，这里介绍等效电源的方法。

幻灯片73

名词解释

•二端网络：具有两个出线端的部分电路。

•无源二端网络：二端网络中没有电源。

・有源二端网络：二端网络中含有电源。

R3

E

IS

RI

R4

b

无

源

端

网

络

N2

1

N1

有

源

端

网

终

幻灯片74

前期准备

将复杂电路分成两部分；

①待求支路；

②有源二端网络。

II

R1

R2

E1

有源二端网络

待

求

支

路

Il12

a

R3

E

E2

b

R3

13

待

求

支

路

幻灯片75

等效电源

•有源二端口网络能够由等效电源代替，这个电源可以是电压源模型（由一个电动势E与

内阻R0串联）也可以是电流源模型（由一个定值电流IS与一个内阻R0并联），由此可得

出等效电源的两个定理。

有

源RL

二

端

网

络

b

I

E

U

RI

R0

幻灯片76

戴维宁定理的内容：

任何一个线性有源二端网络都可以用一个电动势E的理想电压源和一个内阻R0

串联的电源来等效代替。

a

UO

有

源

二

端

网

络U0

b

电动势E:有源二端网络的开路电压UO0

内阻RO:该有源二端网络除源后得到的无源二端网络a、b两端之间的等效电阻。

幻灯片77

等效电阻R0的计算:

•除源:

•电压源不作用,E=0,相当于短路:

•电流源不作用,IS=0,相当于断路。

RI

R3n3

RO

RO=R1

X

幻灯片78

复杂电路RO的计算:

UO

RO=UO/IS

•外加激励法:

a

无

源

二

端

网

络

无

源

二

端

网

络

+

US

+

U

IS

RO=US/I

RO=U/IS

外加电压源：

外加电流源：

幻灯片79

戴维宁定理的解题步骤：

1.将待求支路与有源二端网络分开；

2.求有源二端网络的开路电压U0;

3.求有源二端网络的等效电阻R0;

4.画出戴维宁等效电路，求待求支路电流。

a

E

RO

b

a

无

源

二

端

网

络Ro

+

有

源

二

端

网UO

络

RL

幻灯片80

Il12

例2.7.1

p54

・用戴维宁定理计算支路电流13

其中El=140V,E2=90V,RI=20,R2=5,R3=6

解：①根据戴维宁定理，去掉待求支路后的开路电压U。为:

”一葭鸣

UO=-IlRl+El=

=100V

=140—2x20

R[+R?

②内阻RO：

R()=

二4。

③电流13：

I3=U0/(R0+R3)=10A

幻灯片81

例2.7.2

p55

•E=12V,R1=R2=R4=5Q,R3=RG=10Q。求1G°

解：1.根据戴维宁定理，将右图分成

待求支路和有源线性二端网络

E

R2

RI

幻灯片82

2.开路电压UO：

E

Rl+(

11

U0=Uac+ucb

uo

12

=R2I1-R4I2

代入数据，得

1212

U=()5

o5+510+5

=2V

幻灯片83

3.等效电阻RO

RO

=55+105

3&R2+R3R4

=5.8。

幻灯片84

4.由戴维宁等效电路：

Ro=5.812

uo

RO

b

RG

得:

G%+凡

2

5.8+10

=0.126A

幻灯片85

小结

•戴维宁定理：把线性有源二端网络等效为电压源模型。

•关键:求有源二端网络的开路电压U0和等效电阻R0。

•拓展：戴维宁定理不仅适用于直流电路，在交流电路中同样适用。

幻灯片86