2024-2025学年北京延庆区高三一模数学试卷

第1页/共1页2025北京延庆高三一模数学2025.02本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）已知，为虚数单位，若为实数，则（A）（B）（C）（D）（3）已知向量，，，若，则（A）（B）（C）（D）（4）某圆锥高为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为（A）（B）（C）（D）（5）设，且，则（A）（B）（C）（D）（6）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（A）为奇函数（B）的最大值为（C）在上单调递增（D）方程有个实数解（7）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）已知圆：和两点，.若圆上存点，使得，则的最大值为（A）（B）（C）（D）（9）已知等比数列的公比为，前项和为.若，且,，则下列结论错误的是（A）（B）（C）（D）（10）已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上有点，满足，则点的个数为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）的展开式中，的系数为_________．（12）已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为_________．（13）已知是第四象限角且，，则的值为_________．（14）数列中，若存在，使得“且”成立，（）则称为的一个峰值.若，则的峰值为_________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为_________．（15）已知函数，给出下列四个结论：①，使得关于直线对称；②，使得存在最小值；③，在上单调递减；④，使得有三个零点；其中所有正确的结论的序号是_________．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（16）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，是的中点，平面与线段交于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．（17）（本小题13分）在△中，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△为锐角三角形，并求△的面积.条件①：；条件②：边上中线的长为；条件③：.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题14分）在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题.时间地点周一周二周三周四周五周六周日康庄镇‌刁千营村√√康庄镇‌榆林堡村√√康庄镇小丰营村√√延庆镇‌付余屯村√√延庆镇‌东小河屯村√√√√√√√香营乡屈家窑村√旧县镇米粮屯村√√旧县镇东羊坊村√永宁镇古城北街√√√√√√√（Ⅰ）若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；（Ⅱ）若从周六和周日的大集中随机选个大集，记为选延庆镇‌东小河屯村大集的次数，求的分布列及期望；（Ⅲ）从周一到周四这四天的大集中任选个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明）（19）（本小题14分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线与椭圆交于点，直线与直线交于点，判断是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）若，求在处的切线方程；（Ⅱ）若，求的单调区间；（Ⅲ）若，且，证明：．（21）（本小题15分）整数的