高中数学复习专题17 抛物线（学生版）

专题17抛物线一、多选题1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（

）A．l与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点有且仅有2个一、多选题1．（2022新高考Ⅰ卷·11）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．2．（2022新高考Ⅱ卷·10）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．3．（2023新高考Ⅱ卷·10）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形一、抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程顶点范围，，，，对称轴轴轴焦点离心率准线方程焦半径【抛物线常用结论】1、点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外．2、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．3、的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）（1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为如，即，焦点为，准线方程为7、参数方程的参数方程为（参数）8、切线方程和切点弦方程抛物线的切线方程为，为切点切点弦方程为，点在抛物线外与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：11、焦点弦的常考性质已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上一、单选题1．（2024·重庆·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．-12．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（

）A． B． C． D．3．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（

）A． B．3 C． D．24．（2024·北京顺义·三模）设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若，则（

）A．5 B．4 C．3 D．25．（2024·江西景德镇·三模）过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（

）A．1 B．4 C． D．56．（2024·河北张家口·三模）已知抛物线的焦点为F，O为原点，直线与该抛物线交于M，N两点，且，则（

）A．12 B．13 C．14 D．157．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（

）A． B．1 C． D．28．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（

）A．的准线方程为 B．周长的最小值为5C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为10．（2024·黑龙江·二模）抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（

）A．抛物线的准线方程是B．过抛物线的焦点的最短弦长为C．若弦的中点为，则直线的方程为D．四边形面积的最小值为11．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于A，两点，点为坐标原点，下列结论正确的是（

）A．存在点A、，使B．若点是弦的中点，则点M到直线的距离的最小值为C．平分D．以为直径的圆与轴相切12．（2024·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（

）A． B．C． D．直线与抛物线的准线相交于点13．（2024·河南·二模）已知是坐标原点，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，若，点在抛物线上，则（

）A．抛物线的准线方程为 B．C．直线的倾斜角为 D．14．（2024·河北沧州·二模）已知为抛物线的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（

）A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条B．当的面积为时，C．为钝角三角形D．的最小值为15．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为：B．抛物线的准线方程为：C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切D．16．（2024·河北·三模）已知F为抛物线的焦点，，为抛物线上不同的两动点，分别过M，N作抛物线C的切线，两切线交于点P，则（

）A．若，则直线MN的倾斜角为B．直线PM的方程为C．若线段MN的中点为Q，则直线PQ平行于y轴D．若点P在抛物线C的准线上，则17．（2024·黑龙江佳木斯·三模）过抛物线C：上的一点作两条直线，，分别交抛物线C于A，B两点，F为焦点（

）A．抛物线的准线方程为B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条C．若，则D．若，则18．（2024·安徽·三模）已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（

）A．的方程为B．已知点，则的最小值为3C．D．若，则与的面积相等三、填空题19．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为．20．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为.21．（2024·安徽·二模）已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为，的面积为（为坐标原点）．22．（2024·陕西榆林·三模）若直线与抛物线和圆从左到右依次交于点，则.23．（2024·四川自贡·三模）已知圆的圆心是抛物线的焦点，直线与圆相交于，两点，，则圆的半径为