2025高考一轮复习（人教A版）第52讲 一元线性回归模型及其应用（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第五十二讲一元线性回归模型及其应用阅卷人一、选择题得分1．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+A．30万元 B．32万元 C．36万元 D．40万元2．根据下表数据，通过最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为：y=0.3x+a，则a=x1234y0.60.81.11.5A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．13．已知一组样本数据x1,y1,A．−2.45 B．2.45 C．3.45 D．54.554．设某中学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据xi,yii=1,2,⋯,nA．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg D．58.69kg5．对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，……，n），根据最小二乘法求得回归直线方程为y=A．至少有一个样本点落在回归直线y=B．预报变量y的值由解释变量x唯一确定C．相关指数R2越小，说明该模型的拟合效果越好D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高6．用最小二乘法得到一组数据xi,yi(i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为yA．11 B．13 C．63 D．787．为了研究某产品的年研发费用x(单位：万元)对年利润y(单位：万元)的关系，该公司统计了最近8年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y=bx+A．55万元 B．57万元 C．60万元 D．62万元8．对具有线性相关关系的变量x,y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程y∧=10.5x+ax24568y2040607080A．210 B．210.5 C．211.5 D．212.5阅卷人二、多项选择题得分9．已知变量x和变量y的一组成对样本数据xi,yii=1,2,⋅⋅⋅,n的散点落在一条直线附近，x=1参考公式：r=i=1nA．当r>0时，bB．当r越大时，成对样本数据的线性相关程度越强C．xn+1=x，yn+1=yD．xn+1=x，yn+1=y10．下列说法正确的有（）A．在经验回归方程y=−0.85x+2.3B．在经验回归方程y=−0.85x+2.3中，相对于样本点(1,1.2)C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好D．若两个变量的决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好11．设x1,y1,x2,yA．y与x正相关的充要条件是bB．直线l过点(C．y与x之间的相关系数为bD．当x增大一个单位时，y增大b个单位12．已知变量x和变量y的一组成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,n)的散点落在一条直线附近，A．当r越大时，成对数据样本相关性越强B．当r>0时，bC．当xn+1=x，yn+1=yD．当xn+1=x，yn+1=y阅卷人三、填空题得分13．已知x，y之间的一组数据：若y与x满足经验回归方程y^=bx14916y12.985.017.0114．已知变量x和y之间的关系可以用模型y=menx来拟合．设z=lny，若根据样本数据计算可得x=3.5,z=0.9，且x与z的线性回归方程为z=0.6x+a，则15．某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为千万元．

b年号x12345年生产利润y（单位：千万元）0.70.811.11.4阅卷人四、解答题得分16．某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量x和年销售额y，该团队建立了两个函数模型：①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中α,β,λ,t均为常数，xyi=1i=1i=1206677020014uvi=1i=1i=14604.2031250000.30821500（1）设变量u和变量y的样本相关系数为r1，变量x和变量v的样本相关系数为r2，请从样本相关系数的角度，选择一个y与（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.附：80≈8.9443,e4.3820≈80；样本相关系数r=i=117．根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t；y表示全国GDP总量，表中zi=lntyzi=1i=1i=1326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断y=bt+a与y=cedt（其中e=2.718⋯为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程y=b=i=1n参考数据：n45678en551484031097298118．2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.（1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下表数据：x(天)1234567y(秒)990990450320300240210经研究发现，可用y=a+b（2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为35参考数据：(其中tii=1ti=118450.370.55参考公式：对于一组数据u1,v1，u2,v2，…，19．某科技公司研发了一项新产品A，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x（千元）和销售量y（千件）之间的一组数据如下表所示：月份i123456销售单价x99.51010.5118销售量y111086515（1）试根据1至5月份的数据，建立y关于x的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0．65千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程y=bx+参考数据：i=15xi

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：x=2+5+8+11+15+196因为y=1.65x+a过点x,y，则故当y=100时，1.65x+34=100，得出x=40故答案为：D.【分析】利用表中数据结合平均数公式得出中心点坐标，再代入得出a^2．【答案】B【解析】【解答】由题意可得：x=1+2+3+44=2.5，y=0.6+0.8+1.1+1.54=1，则线性回归方程为：故答案为：B.

【分析】先求样本中心点，根据回归直线方程过样本中心点在代入求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：将x=165代入y=0.85x−85.7，可得y则在样本点165,57处的残差为e=y−故答案为：B.【分析】根据样本点的横坐标和回归直线方程得出y的估计值，再根据残差定义计算即可.4．【答案】A【解析】【解答】将x=160代入回归直线方程得y因此，该中学女生的平均体重的估计值是47.69kg.故答案为：A.

【分析】本题考查线性回归方程.根据线性回归方程一定要过样本中心点(x,y5．【答案】D【解析】【解答】解：A选项，样本中心点(x,y)一定在回归方程上，而其它的样本点则不一定在，故A错误；

B选项，预报变量y与解释变量x并不是一一对应的关系；

C选项，相关指数R2越大，说明该模型的拟合效果越好，故C错误；

D选项，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，说明拟合效果越好，回归方程的预报精确度越高，故D正确；

故答案为：D.6．【答案】D【解析】【解答】解：因为i=16xi又因为线性回归方程为y=2x+3，且回归方程必过点x,y所以i=16故答案为：D.【分析】根据线性回归方程一定过点x,y，求出x，代入回归方程即可得出y，即可得7．【答案】A【解析】【解答】解：已知i=18xi因为a^=y−b^x故当x=25时，y=2×25+5=55，即若该公司对该产品预投入的年研发费用为25万元，

故答案为：A.【分析】根据已知数据求得x,y，再由a=y−8．【答案】C9．【答案】A,C,D10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于选项A，因为y=−0.85当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少0.85，故选项A错误；对于选项B，因为y=−0.85×1+2.3=1.45，1.2−1.45=−0.25所以相对于样本点(1,1.2)的残差为−0.25，故选项B正确；对于选项C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故选项C正确；对于选项D，由决定系数R2的意义可知，R故选：BCD.

【分析】根据经验回归方程的解析式即可判断选项A；根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果可判断B；根据残差图的分布情况分析可判断选项C；根据决定系数的意义即可判断选项D.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】A.依题意y与x正相关的充要条件是b>0B.根据回归直线的性质可知直线l必过点(xC.因为y与x之间的相关系数r=i=1而b=D.因为y=bx+a，所以当x增大一个单位时，故答案为：ABD

【分析】本题考查线性回归方程.根据线性回归方程y^=b^x+a^中，b^>0时，正相关；b^<0时，负相关；，进而可判断A选项；根据线性回归方程y^=b^x+a^一定要过样本中心点(x12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、当r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故A错误；B、当r>0时，成对样本数据正相关，相关系数r与符号b相同，则b>0C、当xn+1=x，yn+1=D、当xn+1=x，yn+1=故答案为：BCD.【分析】根据线性相关、相关系数、线性回归方程等知识逐项分析判断即可.13．【答案】(6.25,4)14．【答案】0.315．【答案】1.85【解析】【解答】易知x=1+2+3+4+55易知i=15代入计算可得b=可得a=即可得回归方程为y=b将x=8代入可得y=0.17×8+0.49=1.85即第8年该国企的生产利润约为1.85千万元.故答案为：1.85

【分析】本题考查线性回归方程.先根据数据表格可求出x，y，i=15xiyi，i=15(xi16．【答案】（1）模型y=eλx+t中y与（2）（i）y=17．【答案】解：（1）根据数据及图表可以判断，y=cedt更适宜作为全国GDP总量y关于对y=cedt两边取自