2025高考一轮复习（人教A版）第48讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第四十八讲离散型随机变量及其分布列、数字特征阅卷人一、选择题得分1．已知随机变量X的概率分布如表则E5X+4X124P0.4a0.3A．1 B．2.2 C．11 D．152．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（）A．35 B．34 C．543．设随机变量X的概率分布列为X1234P1m11则P(|X−3|=1)=（）A．712 B．512 C．144．已知随机变量X的分布列如下表所示，设Y=3X−2，则DYX−101P11nA．5 B．59 C．−135．甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若X的数学期望为229，则p=A．14 B．12 C．34 D．6．若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（）A．1.2 B．2.4 C．2.88 D．4.87．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球n∈N*，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为920A．32 B．12 C．18．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为（）A．2,12 B．2,1 阅卷人二、多项选择题得分9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（）A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人B．随机变量X∼BC．随机变量X的数学期望为15D．若事件A=“抽取的3人都感兴趣”，则P10．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：X012Pq0.5−q0.74则下列选项中正确的是（）A．q=0.6 B．q=0.4 C．E(X)=1.58 D．D(X)=0.563611．2024年6月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，甲､乙两位同学的得分分别记为X和Y，则（）A．P(X=0)>P(Y=0) B．P(X=6)>P(Y=6)C．E(X)>E(Y) D．D(X)>D(Y)阅卷人三、填空题得分12．条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的期望为EXY=y=i=1nxi⋅PX=xiY=y=i=1nxi⋅PX=13．已知离散型随机变量X的分布列为X-101P11a设Y=6X+1，则Y的数学期望EY=14．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为.15．已知病毒A在某溶液中的存活个数（k）的概率满足P(X=k)=3kk!e−3阅卷人四、解答题得分16．甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为45，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为25.记甲乙两人的答题总次数为（1）求p；（2）当n=2时，求甲得分X的分布列及数学期望；（3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为PnA，证明：17．学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有15个台阶，从下至上记台阶所在位置为1−15，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨1或2个台阶（位置+1或+2）.（1）记甲迈3步后所在的位置为X，写出X的分布列和期望值.（2）求甲6步内到过位置8的概率；（3）求10步之内同时到过位置10和12的有多少种走法，及发生的概率.18．2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中14的人计划只参观冰雪大世界，另外3（1）从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为X，求X的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n人（n∈N*），记这n人合计纪念币的个数恰为n+1的概率为Pn19．传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．（1）记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记n次传球后球在小胡手中的概率为pn①直接写出p1②求pn+1与pn的关系式n∈N

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】依题意，由0.4+a+0.3=1，解得a=0.3，则E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，所以E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.2+4=15.故选：D

【分析】由离散型随机变量的基本性质（概率和为1）可求得a，再结合期望的计算公式（随机变量的取值乘以对应的概率再相加）与期望的性质计算E(aX+b)=aE(X)+b即可得解.2．【答案】C【解析】【解答】解：设随机抽取两人中男生人数为X，且X=0,1,2，PX=0=C32则EX故答案为：C.【分析】设随机抽取两人中男生人数为X，且X=0,1,2，再求得概率，代入期望公式求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解答：P则PX−3=1=PX=2+PX=4=14+14．【答案】A【解析】【解答】解：由分布列的性质可得，12+13+n=1D(X)=12×所以D(Y)=9D(X)=5.故选：A

【分析】利用概率分布列的性质（所有可能取值的概率之和必须等于1）求出n，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即得.5．【答案】D【解析】【解答】解：随机变量X可能的取值为2，3．PX=2PX=3故X的分布列为：X23P22p−2故EX由−2p2+2p+2=229故选：D．【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量X可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得p的值．6．【答案】D【解析】【解答】解：设每天能够售出的工艺品为X，由题意，可得均值EX=50，方差每天能够获得纯利润为4X，则D(4X)=42D(X)=故答案为：D.【分析】根据方差的性质求解即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：由题可知：取出2个黑球，1个白球的概率为C32C则X的可能取值为0,1,2,3，P(X=0)=C33C63=故E(X)=0×1故答案为：A.【分析】由题意，取出2个黑球，1个白球的概率为920列式求得n的值，得X8．【答案】C【解析】【解答】解：白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为12则向左的次数服从二项分布B(4,因为P(X=1)所以E(X)故答案为：C【分析】本题考查二项分布，离散型随机变量的期望和方差.根据题意分析可得：向左的次数服从二项分布B(4,9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三个社团分别需抽取x,y,z人，

则x14=y21=z14所以，从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人，所以，选项A正确；随机变量X的取值可能为1，2，3，PX=1=C51所以，随机变量X的分布列为X123P142所以，选项B错误；由期望公式可得随机变量X的数学期望为EX因为PA故选：ACD.【分析】结合分层抽样的方法，从而求出各社团所需抽取人数，进而判断出选项A；由题意得出随机变量X是取值，再由组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，从而判断出选项B和选项D；再由随机变量的分布列求数学期望公式判断出选项C，从而找出正确的选项.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于选项A和选项B，由题知q2+0.5−q+0.74=10.5−q>0对于C，E(X)=0×(0.4)对于D，因为D(X)=E故选：BCD.

【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望(各个随机变量的取值乘以对应的概率再相加)和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误.11．【答案】A,D【解析】【解答】解：由题可知：X，Y的可能取值为0，4，6；

P(X=0)=1X的分布列为X046P111E(X)=0×1D(X)=(0−P(Y=0)=1Y的分布列为Y046P111E(Y)=0×1D(Y)=(故答案为：AD.【分析】由题意可得X，Y的可能取值，再分别计算其对应的概率，求得X、Y的分布列，最后计算E(X),D(X)，12．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可知ξ可能取1,2,3，所以Pξ=1,η=4=p1-pPξ=3,η=4又因为Pη=4所以E=1×1故答案为：2.【分析】根据题意可知随机变量ξ的取值，再分别算出相应的PX=x,Y=y概率值，从而得出随机变量的分布列，再结合EXY=y13．【答案】0【解析】【解答】解：由已知得12+1则EXEY故答案为：0.【分析】根据题意先求出a=13，再求出14．【答案】9【解析】【解答】解：由题意，X的可能取值为0,则P(X=0)=C43P(X=2)=C62E(故答案为：95【分析】由题意，利用超几何分布求随机变量X的各个取值的概率，再求期望即可.15．【答案】1﹣1e【解析】【解答】解：根据题意，病毒A在某溶液中的存活个数k的概率满足P(X=k)=3则P(X=0)=3若该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率P(故答案为：1−1【分析】本题考查随机变量的分布列.根据题意，利用概率计算公式先求出P(X=0)的值，又由溶液能够导致生物C死亡的概率P(16．【答案】（1）解：记Ai=“第i次答题时为甲”，B=“甲积1分”，则PAi=12，PB|Ai=45，PB（2）解：由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知PX=1=25，X的分布列为：X012P128随机变量X的数学期望为EX（3）解：由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x则x甲−x乙=2，且当n为奇数时，Pn则P==8又因为m≥1时，P2所以815【解析】【分析】（1）记Ai=“第i次答题时为甲”，（2）由题意可知n=2时，X可能的取值为0，1，2，结合题意求出每个取值对应的概率求解即可；（3）由题可得P2（1）记Ai=“第i次答题时为甲”，则PA1=12，PB|A25则25=3p+1（2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知PX=1=25，X的分布列为：X012P128随机变量X的数学期望为EX（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x则x甲−x乙=2，且当n为奇数时，Pn则P==8又∵m≥1时，P2∴17．【答案】（1）解：由题意可知甲每步跨1或2个台阶的概率都为12X可能的取值为3，4，5，6.取值分别对应3步中分别有0，1，2，3次跨两个台阶，故P(X=i)=CX的分布列如下，X3456P1331EX（2）解：6步内到过位置8记为事件A8可分为：4步到达位置8（记为A5步到达位置8（记为A5,8）和6步到达位置8（记为AA4,8即4步中每步都+2；A5,8即5步中有两步+1，3步A6,8即6步中有两步+2，4步+1则P(A)=P(A（3）解：记n步内到过位置n为事件An，走法为an，则由题意an+2=a递推a3∼a10，依次为3,5,8,13,21,34,55,89，其中9步和10步到达位置10的走法分别为9步到达位置10情况下再到达位置12只有1种走法，10步到达位置10不可能再到达位置12，其他到达位置10的情况再到达位置12都有2种走法.故10步之内同时到过位置10和12的走法为：a10记P(An)为p数列{pn−23}是以−1记9步和10步到达位置10为分别为事件A9,10，A10,10，P(A记10步内到过位置12为事件B，则P(A10A10,10A其余情况下P(B|AP(AB)=P(A故10步之内同时到过位置10和12的概率为5071024【解析】【分析】（1）列出X的所有可能取值，分别求出概率，列出分布列，求期望即可；（2）6步内到过位置8可以有三种情况，4步，5步，6步，再分别讨论每种情况发生的概率相加即可求解；（3）由题意an+2=an+（1）由题意可知甲每步跨1或2个台阶的概率都为12X可能的取值为3，4，5，6.取值分别对应3步中分别有0，1，2，3次跨两个台阶，故P(X=i)=CX的分布列如下，X3456P1331EX（2）6步内到过位置8记为事件A8可分为：4步到达位置8（记为A5步到达位置8（记为A5,8）和6步到达位置8（记为AA4,8即4步中每步都+2；A5,8即5步中有两步+1，3步A6,8即6步中有两步+2，4步+1则P(A)=P(A（3）记n步内到过位置n为事件An，走法为an，则由题意an+2=a递推a3∼a10，依次为3,5,8,13,21,34,55,89，其中9步和10步到达位置10的走法分别为9步到达位置10情况下再到达位置12只有1种走法，10步到达位置10不可能再到达位置12，其他到达位置10的情况再到达位置12都有2种走法.故10步之内同时到过位置10和12的走法为：a10记P(An)为p数列{pn−23}是以−1记9步和10步到达位置10为分别为事件A9,10，A10,10，P(A记10步内到过位置12为事件B，则P(A10A10,10A其余情况下P(B|AP(AB)=P(A故10步之内同时到过位置10和12的概率为507102418．【答案】（1）解：由题意知，每位游客计划不游玩亚布力滑雪场的概率为14，游玩亚布力滑雪场的概率为34，

则P(X=4)=1P(X=5)=CP(X=6)=CP(X=7)=CP(X=8)=3所以X的分布列为：X45678P13272781E(X)=4×1（2）解：因为这n人的合计纪念币的个数为n+1，则其中只有1人计划游玩亚布力滑雪场，所以Pn设Sn则14由两式相减得：34故Sn【解析】【分析】（1）由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列，由期望公式数学期望即可；（2）结合题意可知只有1人既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，于是可得到Pn（1）方法一：