2025高考一轮复习（人教A版）第46讲 二项式定理（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第四十六讲二项式定理阅卷人一、选择题得分1．在x+1x−2x+3x−4x+5x−aA．−6 B．−3 C．3 D．62．设1+ax5=a0+A．120 B．−120 C．40 D．−403．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则nmA．−15 B．−20 C．15 D．204．从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展开式中x9的系数为mA．1+xB．1+xC．1+xD．1+x5．在x3A．−4 B．4 C．−32 D．326．二项式(x+1x)n的展开式中仅有第5项系数最大，则A．−56 B．−28 C．28 D．567．已知x+12021=aA．22019+2C．22021+28．已知函数fx=Cn0+CA．2n B．2n−1 C．2n阅卷人二、多项选择题得分9．若x2A．n=9B．展开式中各项系数和为1C．展开式中常数项为21D．展开式中各二项式系数和为−10．已知5x−3A．2，n，10成等差数列B．各项系数之和为64C．展开式中二项式系数最大的项是第3项D．展开式中第5项为常数项11．若fxA．2−x20的展开式中奇数项的二项式系数之和为B．aC．aD．f−112．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A．C3B．由“第n行所有数之和为2n”猜想：CC．第20行中，第11个数最大.D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.阅卷人三、填空题得分13．3x−114．若n为一组从小到大排列的数−1，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则(2x−y+1)n的展开式中x2y15．我们称nn∈N*元有序实数组x1,x2,⋯,xn为n维向量，x1+x2+⋯+xn为该向量的范数.已知n维向量a阅卷人四、解答题得分16．已知ax2+（1）求n和a的值；（2）求展开式中x−4（3）求2x−117．已知二项式2x−1n（1）求n的值；（2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差；（3）设2x−110=a18．已知2x（1）若Cn（2）若Cn（3）若n=20，求该式的展开式中系数最大的项.19．在(1+x+x2)n=Dn0+（1）当n=2时，写出三项式系数D20，D21，D2（2）a+bnn∈N的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的（3）求D2016

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A【解析】【解答】解：因为1+ax5令x=1，即可得1+a5令x=0，即可得(1+a×0)5=a0=1令x=−1，即可得1+25①+②得2a所以a2故答案为：A.【分析】利用赋值法，令x=0,x=1，可计算得出a的值，再令x=−1求出1+25=a3．【答案】C【解析】【解答】解：设球的半径为R，

则球的体积为43πR3，圆柱的底面积为故圆柱的体积为πR故m=2πR343故n=6π故nm=1，x−1令6−3r=0，解得r=2，故常数项为T3故答案为：C.【分析】设球的半径为R，由球的表面积公式、球的体积公式、圆柱的表面积公式、圆柱的体积公式，分别表示出球的表面积、体积和圆柱的表面积、体积，再由已知条件求出nm的值，从而利用二项式定理得到展开式中的通项公式，则由常数项的定义和赋值法，进而求出n4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】A【解析】【解答】解：因为二项式(x+1x)因为(x−1x)所以C8r⋅(−1或C8r⋅(−1所以(x+1)(x−1故答案为：A.【分析】先根据二项式系数的性质可求出n，再求出(x−1x)8的通项，再分别乘以x和1，由x的指数为1可得方程：172−37．【答案】B【解析】【解答】解：令x=1，可得a0+令x=−1，可得a0−①−②可得a1令x=i，可得a0+令x=−i，可得a0−③−④可得a=−=−=将a1+a可得a1故选：B.【分析】根据题意，利用赋值法，分别令x=1,−1,i,−i，进而得到答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：函数fx当x=0时，f0求导可得f'则f'其中Cn则f'1=故答案为：D.【分析】由题意，令x=0，求得f0，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出f'19．【答案】A,B,C10．【答案】A,B,D11．【答案】B,C12．【答案】B,C,D13．【答案】500514．【答案】-84015．【答案】14；32n【解析】【解答】解：当n=3时，范数为奇数，则xi=0的个数为偶数，即0的个数为0、根据乘法原理和加法原理得到A3在2n维向量a=x1即0的个数为1、3、5、⋯、2n−1，根据乘法原理和加法原理得到A2n32n1=2−12n=故答案为：14；32n【分析】当n=3时，范数为奇数，则xi=0的个数为偶数，即0的个数为0、2，根据乘法原理和加法原理得到A3；在2n维向量a=x1,x2,⋯,x2n中，范数为奇数，则xi=0的个数为奇数，即16．【答案】（1）n=7（2）−14（3）44817．【答案】（1）n=10（2）1023（3）1−18．【答案】（1）1（2）15（3）T19．【答案】（1）解：因为(x所以D20=1，D21=2，（2）解：因为1+x+x1+x+x1+x+x1+x+x1+x+x所以三项式的n（0≤n≤4，n∈N）次系数的数阵表如下：（3）解：因为(1+x+=(C2016其中x2016系数为D而且(1+x+而二项式(x3−1)2016的通项Tr+1由3×2016−r=2016，可得所以x2016系数为C由代数式恒成立，所以D2016【解析】【分析】（1）根据二项展开定理写出多项式的展开式，即可求解；（2）写出(1+x+x2)n（（3）根据(1+x+x2)2016⋅(x−1)2016（1）因为(x所以D20=1，D21=2，（2）因为1+x+x1+x+