2025高考一轮复习（人教A版）第43讲 导数在研究函数中的应用（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第四十三讲导数在研究函数中的应用阅卷人一、选择题得分1．已知函数f(x)=lnx−12aA．(−∞,−1) B．(−1,+∞) C．2．若函数f(x)=13x3+A．(3,+∞) C．(−∞,3) 3．若函数f(x)=lnx−kx有2个零点，则实数A．(−∞,−e) B．(−∞,1e)4．已知函数f(x)=xeA．f(x)的导函数为fB．f(x)在(−1,C．f(x)的最小值为−D．f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x5．已知函数f(x)=x(eA．函数f(x)在R上单调递增B．若对任意x>0，不等式f(ax)≥f(lnx2)恒成立，则实数C．函数g(x)在(0,D．若f(x1)=g(x6．已知函数f(x)=a(sinx+cosx)A．(0,22eC．(0,eπ7．函数f(x)=cosx+(x+1)sinA．−π2，C．−π2，8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33A．[18，814] B．[2749．已知函数f(x)=x2−2,x≥0x+4,x<0，若A．−∞,−1515或C．−∞,−66或阅卷人二、多项选择题得分10．已知函数f(x)=(1−x)lnx−ax，A．若函数f(x)有且只有1个零点x0，则B．若函数f(x)有两个零点，则a>0C．若函数f(x)有且只有1个零点x0，则a=1，D．若f(x)有两个零点，则a<011．已知函数f(A．当m=12时，则y=f(B．当m=1时，函数y=f(C．若函数y=f(x)只有两个不等于1的零点D．若函数y=f(x12．已知函数为实数，下列说法正确的是（）A．当a=1时，则f(x)与g(x)有相同的f(x)=ax−lnx,B．存在a∈R，使f(x)与g(x)的零点同时为2个C．当a∈(0,1)时，f(x)−g(x)≤1对D．若函数f(x)−g(x)在[1,e]上单调递减，则a阅卷人三、填空题得分13．已知函数f(x)=1①当k=0时，对任意b∈R，f(x)有1个极值点；②当k>18时，存在b∈R，使得③当b=0时，对任意k∈R，f(x)有一个零点；④当0<b<13时，存在k∈R，使得其中所有正确结论的序号是.14．已知函数f(x)=ln(x2+1),g(x)=e−x15．已知函数f(x)=(x−1)sinx+(x+1)cosx，当[0,阅卷人四、解答题得分16．已知函数f(x)=acosx−ex+1(a∈R)（1）求f(x)（2）判断f(x)17．已知f(x)=aex−x（1）讨论f(x)的单调性.（2）若∃x0使得f(x18．已知函数f(x)=x2(alnx−23（1）求a的取值范围；（2）证明：x119．设函数f(x)=lnx+k（1）若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x=2垂直，求k的值：（其中e为自然对数的底数）；（2）在（1）的条件下求f(x)的单调区间和极小值：（3）若g(x)=f(x)−x在(0,+∞)上存在增区间，求

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：函数f(x)=lnx−12a由题意得f'(x)=1即1x2−其中y=1故a>−1，故实数a的取值范围是(−1,故答案为：B.【分析】先求函数fx的定义域，由题意可得f'(x)=1x2．【答案】C【解析】【解答】解：因为f(x)的定义域为R，且f'令f'(x)=0，可得x=−3或若−a<−3，即a>3，当x>−3或x<−a时，f'(x)>0；当−a<x<−3时，可知f(x)在(−∞,−a),则f(x)在x=−3处取到极小值，不合题意；若−a=−3，即a=3，则f'(x)=(x+3)可知f(x)在定义域R内单调递增，无极值，不合题意；若−a>−3，即a<3，当x<−3或x>−a时，f'(x)>0；当−3<x<−a时，可知f(x)在(−∞,−3),则f(x)在x=−3处取到极大值，符合题意；综上所述：实数a的取值范围是(−∞,故答案为：C.【分析】求导，分−a<−3，−a=−3和−a>−3讨论函数f(x)的单调性，进而求极值点，结合题意分析求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=lnx−kx有2个零点，等价于关于x的方程设g(x)=lnxx，则原方程即为g(x)=k，而g'(x)=1−lnxx2，所以g(x)在(0,e)上单调递增，在当k≥1e时，对x∈(0,e)∪(e,+∞)都有当k≤0时，对x∈(1,+∞)有g(x)=lnxx>0≥k，而由(0,1]⊂(0,e)知当0<k<1e时，由于16e2k2>16>e，且g(1)=0<k，g(e)=1e>k，综上，实数k的取值范围是(0,故答案为：C.【分析】原问题转化为关于x的方程lnxx=k4．【答案】C【解析】【解答】解：A、f(x)=xeB、由上可知：f'(x)=ex+xexC、由上可知：f'(x)=(x+1)ex，当x>−1时，当x<−1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x=−1时，函数f(x)的最小值为D、由上可知f'(x)=(x+1)e所以f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=x，故D错误.故答案为：C.【分析】根据导数的运算性质，结合导数的性质、几何意义逐项求解判断即可.5．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=x(ex+2),g(x)=(x+2)lnx的定义域为R，

求导可得f'(x)=(x+1)ex+2，令m(x)=f'(x)，则m当x∈(−2,+∞)时，m'(x)>0，m(x)即f'(x)≥f'(−2)=−B、由A知f(x)在R上单调递增，由f(ax)≥f(lnx2)，可得ax≥lnx2，

则当x>0时，a≥lnx2x=2lnxx，令h(x)=2lnxx，则h'(x)=2(1−lnx)x2，

当x∈(0,e)时，h'(x)>0C、g(x)的定义域为(0,+∞),则n'(x)=1x−2x2=x−2x2，当x∈(0,2)时，g'(x)≥g'(2)=ln2+2>0D、若f(x1)=g(x2)=t(t>0)，则x1(由x1(ex1+2)=(x2+2)lnx2，可得x1(当t∈(e,+∞)时，p'(t)<0，p(t)在则p(t)max=p(e)=故答案为：ABD.【分析】求导，利用导数判断函数的单调性求单调区间即可判断A；构造函数，研究函数的最值即可判断BCD.6．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)=a(sinx+cosx)ex+x，求导可得f'(x)=−2a令f'(x)=−2asinx则直线y=a与函数y=g(x)，x∈(0,g'当x∈(π4,π)时，g'(x)>0当x∈(0,π4)时，g'又g(π4)=22eπ4，当作出g(x)的图象，如图所示：

数形结合可知a>22eπ4，即实数故答案为：D．【分析】由题意，将问题转化为导函数在(0,π)上有两个变号零点，求导令7．【答案】D【解析】【解答】f'由于f(x)在区间(0，π2)和(3π2在区间(π2，3π2又f(0)=f(2π)=2，f(π2)=所以f(x)在区间[0，2π]上的最小值为−3π2，最大值为故选：D【分析】利用导数求得f(x)的单调区间，从而判断出f(x)在区间[0，2π]上的最小值和最大值.8．【答案】C【解析】【解答】解：记正四棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，

则cosθ=32+l2-322×3×l=l6∈12，32，

则l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ，h=mtanθ=6sinθcosθsinθcosθ=6cos2θ，S底=12×2m×2m=2m2，

则正四棱锥的体积V=9．【答案】C10．【答案】A,D【解析】【解答】解：由f(x)=(1−x)ln当x>0时，令g(x)=ln当0<x<1时，g'(x)>0，函数当x>1时，函数g(x)单调递减，故g(x)函数g(x)的图象，如图所示：当a>0时，直线y=a与函数g(x)的图象没有交点，所以函数f(x)没有零点，当a=0时，直线y=a与函数g(x)的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点，而f(1)=0，故A正确，C错误；当a<0时，直线y=a与函数g(x)的图象只有二个交点，所以函数f(x)只有二个零点，故B错误，D正确.故答案为：AD.【分析】由题意，根据函数零点的性质，结合分离常数法、导数的性质逐项分析判断即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、当m=12时，则f'(x则g'则当0<x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x>1时，g'故f'(x)≥g(1)=0，所以y=f(B、当m=1时，f(则f'(x则h'(x)=1x−1x当x>1时，h'(x)>0，故f'(x)≥h(1)=1，所以y=f(C、令f(x)=m令F(x)=x−1(x+1)ln令t(x)=2lnx−x+1所以t(x)在(0,+∞)上单调递减，又所以当0<x<1时，t(x)>0，F(x)单调递增，且F(x)>0，当x>1时，t(x)<0，F(x)单调递减，且F(x)>0，若函数y=f(x)只有两个不等于1的零点x1,则不妨取0<x1<1<x2所以函数y=F(x)与y=m的两个交点横坐标互为倒数，即x1D、明显f(1)=0，所以1是函数函数y=f(x)有三个零点，且函数y=f(x)在所以f'设t(x)=mlnx+当m<0时，令t'(x)<0，得x>1，t'(x)>0，得0<x<1，所以f'(x)=t(x)<t(1)=2m−1<0，所以y=f(所以m>0，令t'(x)<0，得0<x<1，t'(x)>0，得x>1，t(x)单调递增，所以所以2m−1<0，所以0<m<1故答案为：ACD.【分析】将m=12代入函数，求导利用导数判断函数的单调性即可判断A；将m=1代入求极值即可判断B；将函数两个不等于1的零点转化为m=x−1(x+1)lnx有两个不等于1的根，令F(x)=x−112．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、当a=1时，f(x)=x−lnx,当0<x<1时，有f'(x)<0,当x>1时，有f'(x)>0,所以当x=1时，f(x),g(x)均各自取到相应的极值，且所以当a=1时，则f(x)与g(x)有相同的极值点和极值，故A正确；B、f(x)=ax−lnx=0⇔a=ln令u(x)=lnu'(x)=1−当0<x<e时，u'(x)>0，u(x)单调递增，当x>e时，u'当x→0时，u(x)→−∞，当x→+∞，u(x)→0，当x=e时，u(x)有极大值，u(e)=1在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数u(x)的图象，如图所示：所以方程a=lnxx当0<x<1e时，v'(x)<0，v(x)单调递减，当1e当x从1的左边趋于1时，v(x)趋于正无穷，当x从1的右边趋于1时，v(x)趋于负无穷，当x>1时，v'(x)>0，令x=et,t→−∞，则x→0，v(x)=−e当x=1e时，v(x)有极小值，在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数v(x)的图象，如图所示：方程a=−1xln综上所述，不存在a∈R，使f(x)与g(x)的零点同时为2个，故B错误；C、设F(x)=f(x)−g(x)=ax−lnx−alnF(1)=a−1<0<1,F'当x∈[1,e],若1<1a<e当1<x<1a时，F'(x)<0，F(x)单调递减，当1aF(1即在1e<a<1的情况下，f(x)−g(x)≤1对若1a≥e，即当1<x<e时，F'(x)<0，所以F(x)<F(1)<0<1，所以在0<a≤1e的情况下，f(x)−g(x)≤1对综上所述，当a∈(0,1)时，f(x)−g(x)≤1对D、若函数f(x)−g(x)在[1,e]上单调递减，则F'即ax−1≤0对x∈[1,e]恒成立，即a≤1易知函数y=1x在[1,e]上单调递减，所以a≤1故答案为：AC.【分析】由题意，分别求导，结合导数和函数极值的关系即可判断A；分别求f(x)与g(x)的零点为2个时a的范围，判断交集是否为空集即可判断B；构造函数F(x)=f(x)−g(x)=ax−lnx−alnx−1x,x∈[1,e],a∈(0,13．【答案】①④【解析】【解答】解：①、当k=0时，函数f(x)=13+x当x∈(−∞,0)时，f'(x)>0，当则函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，在即对任意b∈R，f(x)有1个极大值点x=0，故①正确；②、当k>18时，若f(x)存在极值点，则f'(x)有变号零点，则令g(x)=−2x(3+x故当x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，g'故g(x)在(−∞,−1)、(1,又x≥0时，g(x)≤0，g(−1)=−2×(−1)即g(x)≤18恒成立，故当k>18时，③、当b=0时，f(x)=13+x2−kx，当k=0时，f(x)=④、当0<b<13时，若存在k∈R，使得则直线y=kx+b与曲线y=1由直线y=kx+b过点(0,b)，曲线y=1又0<b<13，y=1故当k<0时，直线y=kx+b与曲线y=1同理，当k>0时，直线y=kx+b与曲线y=1过点(0,b)作曲线y=1则切线方程为y−1即b−13+x由0<b<13，则3(x即(x02故当0<b<13时，存在使曲线y=13+x2有过点当x0>3则当k∈(−2x0(3+x则存在x1∈(0,此时函数y=kx+b单调递减，而y=1故存在x2∈(x即当x0>3时，存在k∈(同理可得，当x0<−3时，存在k∈(0,−2故答案为：①④.【分析】将k=0代入，求导利用导数判断函数的单调性，求极值点的个数即可判断①；借助导函数研究导函数可得导函数无零点，即函数不存在极值点即可判断②；举例额即可判断③；零点个数转化为直线y=kx+b与曲线y=13+x2的交点个数问题，从而通过研究过点(0,b)的曲线14．【答案】[【解析】【解答】解：由题意，可得f(x)当−1≤x≤1时，f'由f'(x)<0，可得−1≤x<0，由f'所以函数f(x)在[−1,0)上单调递减，在(0,因为g(x)=(1e)x−a，所以所以0≥(1e)2−a，解得故答案为：[1【分析】根据题意可得f(x)min≥g15．【答案】(【解析】【解答】解：函数f(x)=(x−1)sinx+(x+1)cosx定义域为R，当x∈(0,π4)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；

当且f(x)max=f(π4)=故最大值与最小值的和为：(2故答案为：(2【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性并求最值即可.16．【答案】（1）解：函数f(x)=acosx−e因为f(0)又切线过点(−1,2)，得所以f(当x∈[0,π]时，f所以f(x)（2）解：由（1）得f(令h(x)=−2sinh'所以在(−2π3,−π2)从而当x∈(−2π3,x0)时，所以h(x)在(−又h(−2π所以在(−π2,0)上h(当x∈(−2π3,x1)时，当x∈(x1,0)时，h(又因为f(−2π所以f(x)在(−综上，f(x)【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合函数的单调性，求最小值即可；

（2）由（1）得f(x)17．【答案】（1）解：函数f(x)=aex−x当a≤0时，f'(x)=aex−1≤0−1=−1<0当a>0时，当x<−lna时，当x>−lna时，则函数f(x)在(−∞,−ln综上，当a≤0时，f(x)在(−∞,当a>0时，f(x)在(−∞,−ln（2）解：当a>1时，由（1）的结论，知f(x)在(−∞,−ln所以对任意的x都有f(x)≥f(−ln故f(x)>g(x)恒成立，这表明此时条件不满足；当a≤1时，设h(x)=aex−x−cosx故由零点存在定理，知一定存在x0∈[−|a|−1,故f(x0)−g(综上，a的取值范围是(−∞,【解析】【分析】（1）求导，分a≤0，a>0讨论导函数的正负，判断函数f(x)的单调性即可；

（2）直接分a>1和a≤1讨论，求解即可.18．【答案】（1）解：易知函数f(x)=x2(alnx−求导可得f'因为函数f(x)有两个不相