2025高考一轮复习（人教A版）第29讲 空间向量及其运算的坐标表示（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第二十九讲空间向量及其运算的坐标表示阅卷人一、选择题得分1．对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是（）．A．若a⊥b，bB．aC．若a⋅b<0，则aD．a2．已知a=−1,3,−2，b=1,0,m，且A．−2 B．−1 C．1 D．23．若A2,2,1，B0,0,1，C2,0,0A．2305 B．305 C．24．已知a=1,1,3，b=A．11 B．10 C．9 D．85．已知向量a=0,1,1，b=1,1,0，则向量A．0,12,12 B．126．已知向量a=1−t,2t−1,0,A．5 B．6 C．2 D．37．已知A(1，0，0)，A．3 B．2 C．52 D．8．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°,D1,A．3010 B．12 C．3015阅卷人二、多项选择题得分9．已知向量a=1,1,0，b=A．向量a与向量b的夹角为πB．cC．向量a在向量b上的投影向量为(D．向量c与向量a，b共面10．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1CA．当λ=13B．当λ=12时，PEC．PA+PCD．当C1∈11．已知点A(−2,3,−3)，B(2,5,1)，C(1,4,0)，平面α经过线段AB的中点D，且与直线AB垂直，下列选项中叙述正确的有（）A．线段AB的长为36B．点P(1,2,−1)在平面α内C．线段AB的中点D的坐标为(0,4,−1)D．直线CD与平面α所成角的正弦值为212．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1CA．平面BB1B．BP的最小值为2C．若直线B1P与BD1D．若P是C1D1的中点，则AA阅卷人三、填空题得分13．已知A2,3,1，B4,1,2，若点B关于平面yOz的对称点为C，则A，C两点间的距离为14．已知OA⊥AB，且OA=1,1,2，其中15．设直线l的方向向量为m=2,−1,z，平面α的一个法向量为n=4,−2,−2，若直线l⊥平面16．在梯形ABCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AC⋅AB=32，点M满足AM=13阅卷人四、解答题得分17．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC（1）求证：BM⊥AB（2）若直线AB1与平面BCM所成角为π4，求点A18．已知点A0,1,−1,B2,2,1（1）求向量b同向的单位向量b0（2）若ka+b19．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点，PA⊥AD，PA=AB=2，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；（3）求点B到平面ACQ的距离．条件①：平面PAD⊥平面ABCD；条件②：PA⊥AB．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A、若a⊥b，b⊥c，则B、由向量数量积的运算律可知a⋅C、若a⋅b<0，则aD、由数量积的运算律可知，等号左面与c共线，等号右面与a，两边不一定相等，故D错误；故答案为：B.【分析】由空间向量的位置关系即可判断A；由向量数量积的运算律即可判断BD；当两向量的夹角为π时，a⋅2．【答案】C【解析】【解答】解：a=−1,3,−2，b=1,0,m，则故答案为：C.【分析】根据空间向量数量积坐标公式计算即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：易知BA=2,2,0，BC=2,0,−1，

则BA在故点A到直线BC的距离为BA2故答案为：A.【分析】由题意易得BA=2,2,0，4．【答案】A【解析】【解答】解：因为a=1,1,3，b=故答案为：A.【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求解即可.5．【答案】A【解析】【解答】向量a=0,1,1，b=所以向量b在向量a上的投影向量为a⋅故答案为：A

【分析】本题考查空间向量的投影向量.先利用空间向量数量积求出a⃗⋅b⃗，再根据投影向量的定义可得向量b在向量6．【答案】C【解析】【解答】解：因为a=所以b−当t=0时，等号成立，故b−a的最小值为故选：C.

【分析】本题考查空间向量的模长公式.根据题意，利用空间向量模的计算公式计算可得：b⃗−a7．【答案】A【解析】【解答】依题意，AB=(−1设平面ABC的法向量n=(x，y，z)，则n则点D到平面ABC的距离为d=|所以点D到平面ABC的距离为3.故答案为：A

【分析】求出平面ABC的法向量，再由向量法可求出点D到平面ABC的距离.8．【答案】A【解析】【解答】以点C为原点，CB,CA,设BC=CA=CC1=2，则A0,2,0，A10,2,2，C10,0,2，F10,1,2，所以所以cosA故答案为：A.【分析】以点C为原点，CB,CA,CC1为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，设BC=CA=CC9．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A，因为b⋅a=1×0+1×1+1×0=1则cos〈b,a〉=b对于B，因为a−b=(1,0,−1)，

故c⊥对于C，根据投影向量的定义可知，向量a在向量b上的投影向量为：a⋅cos〈对于D，由向量a=1,1,0，b=0,1,1，故向量c与向量a，b共面，故选项D正确．故答案为：BD.【分析】利用数量积的坐标表示和数量积求向量夹角公式，得出向量a与向量b的夹角，则判断出选项A；利用向量的坐标运算和两向量垂直数量积为0的等价关系，则判断出选项B；利用数量积求投影向量的计算公式，则判断出选项C；利用共面向量的判断方法，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD−A1BA(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),DD1B=(2,2,−2),对于A，λ=13，P(23,显然D1B⋅AC=2×(−2)+2×2)=0,D1B⋅AB1=2×2−2×2=0，即DB、EP=(2λ−1,2λ,2−2λ)，则|因此当λ=12时，PE取得最小值C、AP=(2λ−2,2λ,2−2λ),于是|AP|+|CP|=2(2λ−2)D、取A1D1的中点F因为E为边AD的中点，则EF//DD1//CC1，当C连接B1D1∩C1F=Q，连接BD∩CE=M因此MQ∩D1B=P，BB1//CC1,CC1⊂平面CEFC1，故答案为：BC.【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明即可判断A；利用两点间距离公式计算即可判断BC；确定直线D111．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A，因为点A(−2,3,−3)，B(2,5,1)，所以AB=2−对于C，设D点的坐标为x,y,z，因为D为线段AB的中点，所以x=−2+2则D的坐标为(0,4,−1)，故选项C正确；对于B，因为点P(1,2,−1)，则PD=−1,2,0，又则PD⋅AB=−1,2,0⋅又AB⊥平面α，垂足为点D，即D∈平面α，所以PD⊂平面α，故选项B正确；对于D，由C(1,4,0)，D(0,4,−1)，得CD=设直线CD与平面α所成的角为β，则sinβ=故选：BCD.

【分析】由空间两点间的距离公式（对应点的横坐标之差、‌纵坐标之差和竖坐标之差的平方和的开方）即可得到线段AB的长，判断A；由AB⊥平面α，垂足为点D，PD⊥AB，即可判断B；由中点坐标公式可得点D的坐标，判断C；设直线CD与平面α所成的角为β，sinβ=12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为所以平面BB1P⊥B、连接BC1，由D1C1⊥平面BB故在Rt△D1C1B中，当点P与CC、如图，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系则B(2,2,0)，B1(2,则B1P=(−2假设存在点P，使直线B1P与BD则|cos〈B解得m=−2（舍去），或m=1，此时点P是C1D1D、由AA1∥BB1且AA1⊄平面BB则AA1到平面BB1PP是C1D1的中点，故P(0,1,2)设平面BB1P的法向量为m=(x,取x=1，则y=−2，z=0，故m=(1所以点A到平面BB1P即AA1到平面BB故答案为：ABD【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线的夹角，直线到平面的距离.根据正方体的特征可推出BB1⊥平面ABCD，再利用面面垂直的判定定理即可判断A；根据正方体结构特征可判断当点P与C1重合时，BP取最小值，即可判断B；建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出对应的向量，根据空间向量夹角计算公式可列出方程|8−2m|4+(m−2)2⋅23=155，解方程可求出13．【答案】41【解析】【解答】解：已知点A2,3,1、B4,1,2，则关于平面yOz的对称点C−4,1,2，故答案为：41【分析】先利用对称关系求出C点坐标，再利用两点间距离公式求解即可.14．【答案】4【解析】【解答】解：因为OA⊥AB，故OA⊥OB−故OA⋅故答案为：4.【分析】由空间向量的数量积的定义，结合OA⋅OB−15．【答案】−1【解析】【解答】解：已知m=2,−1,z，n=4,−2,−2，

因为直线l⊥平面α所以所以24=−1故答案为：−1【分析】利用线面垂直可得m∥n，利用向量坐标成倍数即可求解.16．【答案】2π3；【解析】【解答】解：AC⋅解得：cos∠DAB=−12，因为0<∠DAB<π以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：

由∠DAB=2π3，AB//CD则A(0,0),直线BD的方程为：3x+7y−33=0，两直线联立解得x=因N为线段AC延长线上的动点，故可设N(12于是，NP=(因t>1，故当t=76时，NP⋅故答案为：2π3；23【分析】利用向量的加减运算和数量积定义化简计算求得∠DAB=2π3；以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设N(12t,17．【答案】（1）证明：因为AA1⊥平面ABC，AB,AC⊂所以AA1⊥AB,AA1⊥AC，又因为A(0,0,0),ABM=(−1,a,1),AB1=(1,0,1)所以BM⊥AB（2）解：设平面BCM的法向量为n=(x,y,z)BM=(−1,a,1),所以有n⋅因为直线AB1与平面BCM所成角为所以cos〈解得a=12，即n=(1,1,12)，

因为cos<【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面垂直的定义，从而得出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出BM⊥AB（2）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出直线AB1与平面BCM所成角，进而得出空间向量夹角公式，则得出平面BCM的法向量，再结合数量积求点到平面的距离公式，从而得出空间点A1（1）因为AA1⊥平面ABC，AB,AC⊂所以AA1⊥AB,AA(0,0,0),ABM=(−1,a,1),AB所以BM⊥AB（2）设平面BCM的法向量为n=(x,y,z)BM=(−1,a,1),所以有n⋅因为直线AB1与平面BCM所成角为所以cos〈解得a=12，即n=(1,1,所以点A1到平面BCMcos<【点睛】18．【答案】（1）解：因为b=OB=所以，与b同向的单位向量为b0（2）解：因为ka+b又ka+b⊥3a−b，所以ka+b⋅3【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，分别求得b→=2,2,1，b→=3（2）分别求得ka→+（1）因为b=OB=所以，与b同向的单位向量为b0（2）因为ka+b又ka所以ka+b⋅19．【答案】（1）证明：选①、因为平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB,AD,AP两两垂直，以A为原点，AB,AD,AP分别所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则P0,0,2，A0,0,0，Q0,1,1所以AC=2,2,0，由（1）知平面ABCD的法向量AP=设平面ACQ的法向量为n=x,y,z，则即x+y=0y+z=0，令y=1，则n设平面ACQ与平面ABCD夹角的为θ，则cosθ=所以平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为33（3）解：由（2）可得B2,0,0，AB所以点B到平面ACQ的距离为AB⃗【解析】【分析】（1）选择条件①，根据面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理证PA⊥平面ABCD即可；（2）由（1）知PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB,AD,AP两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值即可；（3）利用向量法求得点B到平面ACQ的距离即可.（1）若选①，由于平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.若选②，由于PA⊥AB，PA⊥AD，