2025高考一轮复习（人教A版）第27讲空间向量及其运算（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第二十七讲空间向量及其运算阅卷人一、选择题得分1．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知PA=a，PC=b，PD=A．−a−bC．a+b+2．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC=120°,PD=AD，则（）A．DA+DC⋅C．CP⋅PA=−3．在正三棱柱ABC−A1B1CA．1 B．2 C．3 D．44．在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与AB相等的是（）A．AC+CD C．DC+CB−5．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且GN=2MG，现用向量OA，OB，OC表示向量OG，设OG=xA．x=13,y=C．x=13,y=6．在三棱柱A1B1C1−ABC中，D是四边形BB1CA．12a+C．12a+7．如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在A．12a−C．12a+8．如图，平行六面体各棱长为1，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60A．64 B．63 C．62阅卷人二、多项选择题得分9．在四面体PABC中，下列说法正确的有（）A．若AD=1B．若Q为△ABC的重心，则PQC．若PA⋅BC=0，D．若四面体PABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则MN=110．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（）A．EF=12C．AD+DC+11．三棱锥A−BCD中，AB⋅BD=CD⋅BD=0，AB=3，BD=2，CD=4，平面ABDA．5 B．17 C．41 D．612．已知空间中三点A0,1,0，B2,2,0，A．AB与AC是共线向量B．与AB同向的单位向量是2C．AB与BC夹角的余弦值是55D．平面ABC的一个法向量是1,−2,513．在正方体ABCD−AA．AA1，AB，AC B．BA，BCC．AC1，BD1，CB1 阅卷人三、填空题得分14．已知A1,0,0，B2,−1,1，若B关于平面xOz的对称点为C，则AC15．在长方体ABCD−A1B1C1D116．光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为910，则HE+阅卷人四、解答题得分17．如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C（1）用向量AB,AD,AA（2）求BD18．在正四面体ABCD中，P是△ABC内部或边界上一点，满足AP=λAB+μ（1）证明：当|DP|取最小值时，DP⊥BC；（2）设DP=xDA+y19．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面．

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C【解析】【解答】解：A、因为PD⊥底面ABCD，所以DA,DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DA,PD⊥DC，所以DA+B、因为∠ADC=120°,AD=DC=1，所以∠ADB=60°，所以△ADB为等边三角形，所以DB=1，所以DBDP+C、CP=−DCD、DC⋅故D错误.故答案为：C.【分析】由空间向量的线性运算逐项分析判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，易知∠A1AC=90°，如图所示：

故AB故答案为：B．【分析】由正三棱柱的性质可得∠A1AC=90°，即AA1⋅AC4．【答案】C【解析】【解答】解：在空间四边形ABCD中，根据空间向量的线性运算法则，可得：对于A中，由AC+对于B中，由AC+对于C中，由DC+对于D中，由AC+故选：C【分析】利用空间向量加减法运算法则，结合选项，逐项分析判断，即可求解.5．【答案】C【解析】【解答】解：由题设OG=结合OG→=xOA故选：C【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，求得OC⃗=13OA6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B【解析】【解答】解：因为动点P满足AP=x所以AP−AA又因为点P在平面BDA1内，所以|AP|的最小值，即为点连接BD,DA1,A1B，如图所示：所以三棱锥A−A1BD为正四面体，过点A作AH⊥平面BDA1所以AH⊥A1H所以|AH|=A1A2−故答案为：B.【分析】由平面向量共面定理可知：点P在平面BDA1内，则|AP|的最小值即为点P到平面BDA1的距离，求出三棱锥A−A1BD9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、若AD=13AC+B、因为Q为△ABC的重心，所以QA+则(QP即3PQ=PAC、若PA⋅BC=0，=PAD、因为四面体PABC的各棱长都为2，所以PA⋅MN=则|MN故答案为：ABC.【分析】由题意，利用空间向量运算逐项计算判断即可.10．【答案】A,C,D11．【答案】B,C【解析】【解答】解：三棱锥A−BCD中，由AB⋅BD=CD⋅则BA,DC是二面角AC=而AB=3，BD=2，CD=4，AC=9+4+16−2×3×4cos因为平面ABD与平面BCD的夹角为π3则当BA,DC=当BA,DC=所以AC的长度可以为17，41.故答案为：BC.【分析】以向量BA,BD,DC为基底表示向量12．【答案】A,C13．【答案】A,C【解析】【解答】解：解画出正方体ABCD−A1B1C1D1，如图所示：

对于A选项：根据正方体的性质可得：AA1，AB，AC，不共面，能作为空间的一个基底，故A选项正确；

对于B选项：因为BD→=BA→+BC→,则BA，BC，BD，共面，不能作为空间的一个基底，故B选项错误；

对于C选项：AC1，B14．【答案】3【解析】【解答】解：因为点B2,−1,1关于平面xOz的对称点为C所以AC=故答案为：3.【分析】根据对称性，先求点B2,−1,1关于平面xOz15．【答案】−16．【答案】HA【解析】【解答】解：延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，如图所示：

则FBFO=110，EA所以FB=110FO，所以HE+故答案为：HA【分析】作出辅助线，根据已知条件，得到空间向量之间的比例关系，结合空间向量运算法则求解即可.17．【答案】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得BD可得B=1+4+1+2×1×2×1所以BD（2）解：由空间向量的运算法则，可得AC=因为AB=AD=1,AA1=2所以B==1×1×cos【解析】【分析】（1）先根据空间向量的线性运算可得BD（2）先利用空间向量的运算法则可得AC=（1）解：根据空间向量的线性运算，可得BD可得B=1+4+1+2×1×2×1所以BD（2）解：由空间向量的运算法则，可得AC=因为AB=AD=1,AA1=2所以B==1×1×cos18．【答案】（1）证明：取AB中点M，AC中点N，连接MN，如图所示：则AB=2AM，因为AP=λAB+μ所以三点P,又四面体ABCD为正四面体，所以DM=DN，当P为MN中点时，DP⊥MN，此时|DP|取得最小值，又因为MN//BC，所以DP⊥BC（2）解：易知λ,DP=所以x=12，y=λ，故x2+y根据二次函数的性质，当λ=14时，x2当λ=0或12时，x2+故x2+19．【答案】证明：如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH．由于E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R分别为所