第4章 第20讲 解直角三角形及其应用【2025中考数学第1轮复习考点梳理练 】(含解析)

第四章三角形第20讲解直角三角形及其应用eq\o(\s\up7(),\s\do5(知识点1))锐角三角函数1．锐角三角函数的定义正弦∠A的正弦：sinA＝eq\f(a,c)余弦∠A的余弦：cosA＝eq\f(b,c)正切∠A的正切：tanA＝eq\f(a,b)【夺分宝典】锐角三角函数之间的联系sin2A＋cos2A＝1cosA＝sin(90°－∠A)sinA＝cos(90°－∠A)tanA＝eq\f(sinA,cosA)2．特殊角的三角函数值α三角函数30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(知识点2))解直角三角形三边关系a2＋b2＝c2两锐角关系∠A＋∠B＝90°边角关系sinA＝cosB＝eq\f(a,c)；cosA＝sinB＝eq\f(b,c)；tanA＝eq\f(a,b)eq\o(\s\up7(),\s\do5(知识点3))解直角三角形的实际应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度(坡比)坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝eq\f(h,l)方向角一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度．如图，点A位于点O的北偏东30°方向，点B位于点O的南偏东60°方向，点C位于点O的北偏西45°方向(或西北方向)【夺分宝典】1．求一个锐角的三角函数值，必须将这个锐角置于直角三角形中，利用锐角三角函数的意义求值．若不在直角三角形中，可以利用相等的角转化或作垂线构造直角三角形．2．在网格图形中，求一个角的三角函数值，往往需要找到以这个角为内角的直角三角形，然后根据勾股定理，算出需要的直角三角形的边长，再根据三角函数的定义求解．3．巧记30°，45°，60°角的三角函数值(1)正弦、余弦值可表示为eq\f(\r(m),2)的形式，正弦的m值顺口溜为：1，2，3；余弦的m值顺口溜为：3，2，1.(2)正切值可表示为eq\f(\r(m),3)的形式，m值的顺口溜为：3，9，27.4．在解直角三角形的实际问题中，需要添加辅助线将其进行转化，常见的添加辅助线的类型有：①三角形作高法；②梯形作高法．(2023·鄂州)鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部点F处沿水平方向步行30m到达自动扶梯底端点A处，在点A处用仪器测得条幅下端点E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端点D，测得点A和点D的水平距离为15m，且tan∠DAB＝eq\f(4,3)；然后他从点D又沿水平方向行走了45m到达点C，在点C测得条幅上端点G的仰角为45°.(图上各点均在同一个平面内，且点G，C，B共线，点F，A，B共线，点G，E，F共线，CD∥AB，GF⊥FB)(1)求自动扶梯AD的长度；(2)求大型条幅GE的长度．(结果保留根号)图1【自主解答】解：(1)过点D作DH⊥AB于点H.在Rt△ADH中，AH＝15m，tan∠DAB＝eq\f(DH,AH)＝eq\f(4,3)，∴DH＝AH·tan∠DAB＝15×eq\f(4,3)＝20(m)，图2∴AD＝eq\r(AH2＋DH2)＝eq\r(152＋202)＝25(m).答：自动扶梯AD的长度为25m.(2)过点C作CM⊥AB于点M，∴HM＝DC＝45m，CM＝DH＝20m.∵DC∥AB，∴∠B＝∠DCG＝45°.在Rt△CMB中，BM＝eq\f(CM,tan45°)＝20(m).∵AF＝30m，AH＝15m，∴BF＝AF＋AH＋HM＋BM＝30＋15＋45＋20＝110(m).在Rt△AFE中，∠EAF＝30°，∴EF＝AF·tan30°＝30×eq\f(\r(3),3)＝10eq\r(3)(m).在Rt△GFB中，GF＝BF·tan45°＝110(m)，∴GE＝GF－EF＝(110－10eq\r(3))m.答：大型条幅GE的长度为(110－10eq\r(3))m.命题点1锐角三角形函数和解直角三角形1．(2021·宜昌)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为(B)A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(4,3) D．eq\f(2\r(2),3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1题图))2．(2022·荆州)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB，交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是(C)A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,3) D．3eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2题图))3．(2023·武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.(结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))命题点2解直角三角形的实际应用4．(2021·十堰)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度为(D)A．(15eq\r(3)＋eq\f(3,2))m B．5eq\r(3)mC．15eq\r(3)m D．(5eq\r(3)＋eq\f(3,2))meq\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))5．(2022·十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为(A)A.m(cosα－sinα)B．m(sinα－cosα)C．m(cosα－tanα)D．eq\f(m,sinα)－eq\f(m,cosα)6．(2023·荆州)如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为13.8m.(结果精确到0.1m，参考数据：eq\r(3)≈1.73)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))7．(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则黄鹤楼的高度约是51m.(参考数据：tan63°≈2)8．(2023·仙桃、潜江、天门联考)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20m，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.由题意，得AF⊥BC，DE＝AF.∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,4)，∴设AF＝3xm，则BF＝4xm.在Rt△ABF中，AB＝eq\r(AF2＋BF2)＝5xm.在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20m，∴DE＝CD·sinC≈20×0.31＝6.2(m)，∴AF＝DE＝6.2m，∴3x＝6.2，解得x＝eq\f(31,15)，∴AB＝5x≈10.3m.答：斜坡AB的长约为10.3m．9．(2022·恩施州)如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达点D，测得古亭B位于北偏东45°.求古亭与古柳之间的距离AB的长．(结果精确到1m，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)解：过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C.设AC＝xm．∵AD＝50m，∴CD＝AC＋AD＝(x＋50)m.在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，∴BC＝AC·tan∠CAB＝eq\r(3)xm.在Rt△BCD中，∠D＝45°，∴tanD＝eq\f(BC,CD)＝1，∴BC＝CD，即eq\r(3)x＝x＋50，解得x＝25eq\r(3)＋25，∴AC＝(25eq\r(3)＋25)m，∴AB＝eq\f(AC,cos60°)＝eq\f(25\r(3)＋25,\f(1,2))≈137(m).答：古亭与古柳之间的距离AB的长约为137m．10．(2023·随州)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10m，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A，B，C，D在同一平面内，点B，C在同一水平线上)(1)求点D到地面BC的距离；(2)求该建筑物的高度AB.解：(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∴∠DEC＝90°.∵α＝30°，∴DE＝eq\f(1,2)CD＝5m.答：点D到地面BC的距离为5m.(2)过点D作DF⊥AB于点F，∴四边形DEBF是矩形，∴BF＝DE＝5m，DF＝BE.在Rt△CDE中，CE＝eq\r(CD2－DE2)＝5eq\r(3)m.设BC＝xm，则DF＝BE＝(5eq\r(3)＋x)m.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan第四章三角形(解析版）第20讲解直角三角形及其应用eq\o(\s\up7(),\s\do5(知识点1))锐角三角函数1．锐角三角函数的定义正弦∠A的正弦：sinA＝eq\f(a,c)余弦∠A的余弦：cosA＝eq\f(b,c)正切∠A的正切：tanA＝eq\f(a,b)【夺分宝典】锐角三角函数之间的联系sin2A＋cos2A＝1cosA＝sin(90°－∠A)sinA＝cos(90°－∠A)tanA＝eq\f(sinA,cosA)2．特殊角的三角函数值α三角函数30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(知识点2))解直角三角形三边关系a2＋b2＝c2两锐角关系∠A＋∠B＝90°边角关系sinA＝cosB＝eq\f(a,c)；cosA＝sinB＝eq\f(b,c)；tanA＝eq\f(a,b)eq\o(\s\up7(),\s\do5(知识点3))解直角三角形的实际应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度(坡比)坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝eq\f(h,l)方向角一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度．如图，点A位于点O的北偏东30°方向，点B位于点O的南偏东60°方向，点C位于点O的北偏西45°方向(或西北方向)【夺分宝典】1．求一个锐角的三角函数值，必须将这个锐角置于直角三角形中，利用锐角三角函数的意义求值．若不在直角三角形中，可以利用相等的角转化或作垂线构造直角三角形．2．在网格图形中，求一个角的三角函数值，往往需要找到以这个角为内角的直角三角形，然后根据勾股定理，算出需要的直角三角形的边长，再根据三角函数的定义求解．3．巧记30°，45°，60°角的三角函数值(1)正弦、余弦值可表示为eq\f(\r(m),2)的形式，正弦的m值顺口溜为：1，2，3；余弦的m值顺口溜为：3，2，1.(2)正切值可表示为eq\f(\r(m),3)的形式，m值的顺口溜为：3，9，27.4．在解直角三角形的实际问题中，需要添加辅助线将其进行转化，常见的添加辅助线的类型有：①三角形作高法；②梯形作高法．(2023·鄂州)鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部点F处沿水平方向步行30m到达自动扶梯底端点A处，在点A处用仪器测得条幅下端点E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端点D，测得点A和点D的水平距离为15m，且tan∠DAB＝eq\f(4,3)；然后他从点D又沿水平方向行走了45m到达点C，在点C测得条幅上端点G的仰角为45°.(图上各点均在同一个平面内，且点G，C，B共线，点F，A，B共线，点G，E，F共线，CD∥AB，GF⊥FB)(1)求自动扶梯AD的长度；(2)求大型条幅GE的长度．(结果保留根号)图1【自主解答】解：(1)过点D作DH⊥AB于点H.在Rt△ADH中，AH＝15m，tan∠DAB＝eq\f(DH,AH)＝eq\f(4,3)，∴DH＝AH·tan∠DAB＝15×eq\f(4,3)＝20(m)，图2∴AD＝eq\r(AH2＋DH2)＝eq\r(152＋202)＝25(m).答：自动扶梯AD的长度为25m.(2)过点C作CM⊥AB于点M，∴HM＝DC＝45m，CM＝DH＝20m.∵DC∥AB，∴∠B＝∠DCG＝45°.在Rt△CMB中，BM＝eq\f(CM,tan45°)＝20(m).∵AF＝30m，AH＝15m，∴BF＝AF＋AH＋HM＋BM＝30＋15＋45＋20＝110(m).在Rt△AFE中，∠EAF＝30°，∴EF＝AF·tan30°＝30×eq\f(\r(3),3)＝10eq\r(3)(m).在Rt△GFB中，GF＝BF·tan45°＝110(m)，∴GE＝GF－EF＝(110－10eq\r(3))m.答：大型条幅GE的长度为(110－10eq\r(3))m.命题点1锐角三角形函数和解直角三角形1．(2021·宜昌)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为(B)A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(4,3) D．eq\f(2\r(2),3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1题图))2．(2022·荆州)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB，交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是(C)A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,3) D．3eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2题图))3．(2023·武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.(结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))命题点2解直角三角形的实际应用4．(2021·十堰)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度为(D)A．(15eq\r(3)＋eq\f(3,2))m B．5eq\r(3)mC．15eq\r(3)m D．(5eq\r(3)＋eq\f(3,2))meq\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))5．(2022·十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为(A)A.m(cosα－sinα)B．m(sinα－cosα)C．m(cosα－tanα)D．eq\f(m,sinα)－eq\f(m,cosα)6．(2023·荆州)如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为13.8m.(结果精确到0.1m，参考数据：eq\r(3)≈1.73)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))7．(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则黄鹤楼的高度约是51m.(参考数据：tan63°≈2)8．(2023·仙桃、潜江、天门联考)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20m，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.由题意，得AF⊥BC，DE＝AF.∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,4)，∴设AF＝3xm，则BF＝4xm.在Rt△ABF中，AB＝eq\r(AF2＋BF2)＝5xm.在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20m，∴DE＝CD·sinC≈20×0.31＝6.2(m)，∴AF＝DE＝6.2m，∴3x＝6.2，解得x＝eq\f(31,15)，∴AB＝5x≈10.3m.答：斜坡AB的长约为10.3m．9．(2022·恩施州)如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达点D，测得古亭B位于北偏东45°.求古亭与古柳之间的距离AB的长．(结果精确到1m，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)解：过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C.设AC＝xm．∵AD＝50m，∴CD＝AC＋AD＝(x＋50)m.在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，∴BC＝AC·tan∠CAB＝eq\r(3)xm.在Rt△BCD中，∠D＝45°，∴tanD＝eq\f(BC,CD)＝1，∴BC＝CD，即eq\r(3)x＝x＋50，解得x＝25eq\r(3)＋25，∴AC＝(25eq\r(3)＋25)m，∴AB＝eq\f(AC,cos60°)＝eq\f