2024-2025学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l：3x−y+2=0的倾斜角为A.30° B.60° C.45° D.90°2.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，b/​/cA.22 B.10 C.33.已知圆C1：x2+yA.x+y+2=0 B.x+y−2=0 C.x+y+1=0 D.x+y−1=04.已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)A.x27+y22=1 B.5.某校甲、乙、丙、丁四位同学报名参加A，B，C三所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因为三所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙、丁只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的报名种数为(

)A.24 B.36 C.64 D.726.已知数列{an}的各项均为正数，a1=2，an+1−an=4A.119 B.121 C.120 D.12227.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A.292

B.29

C.8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1，两焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l交右支于A.32 B.53 C.75二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是(

)A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法

B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法

C.将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种

D.8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法10.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)A.若|PF1|=3+1，|PF2|=3−1，则e2=2

B.若e1=63，则11.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC=4，MA.B1D⊥平面CMN

B.MN//平面ABC1

C.异面直线CN和AB所成角的正弦值为63

D.若P为线段A1C1上的动点，则三棱锥P−CMN的体积最大值为12.空间中有6个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，则可以作______个平面.(用数字作答)13.已知数列{an}前n项和为Sn，a1=−9414.已知在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,1)，B(−2,4)，动点P满足|PA||PB|=12，点M为抛物线E：y2=4x上的任意一点，M在y轴上的射影为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l：ax−y+3+a=0(a∈R)，圆C：x2+y2−2x−2y−7=0．

(1)若l不经过第三象限，求a的取值范围；

(2)当圆心C到直线16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3S5=8S3，a2n=2an+1(n∈N∗)．

(1)17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为22，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过F2时，△PQF1的周长为8．

(1)求椭圆C的方程；

(2)18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形，AB=6，PC=PD=57，二面角P−CD−A的大小为π6，点M为线段PD上一点．

(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD．

(2)若MD=2PM，求四棱锥M−ABCD的体积．

(3)点M为线段PD上一动点，求直线MD与平面AMC19.(本小题17分)

基本不等式可以推广到一般的情形.对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1+a2+⋯+ann≥na1a2⋯an，当且仅当a1=a2=⋯=an时，等号成立.若无穷正项数列{an}同时满足下列两个性质：①∃M>0，an<M；②{an}为单调数列，则称数列{an参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.B

6.C

7.A

8.C

9.BCD

10.ABD

11.CD

12.20

13.72925614.1715.解：(1)由方程ax−y+3+a=0(a∈R)，可得y=ax+3+a，要使符合题意，则a≤03+a≥0，

解得−3≤a≤0，

所以实数a的取值范围是[−3,0]．

(2)由题可知直线l：ax−y+3+a=0(a∈R)可化为a(x+1)−y+3=0，即直线恒过定点Q(−1,3)且斜率为a，

圆C：x2+y2−2x−2y−7=0可化为(x−1)2+(y−1)2=9，

结合图象知，

当CQ与直线l：ax−y+3+a=0(a∈R)垂直时，圆心C到直线距离最大，最大距离为|CQ|，且kCQ=3−116.解：(1)等差数列{an}中，3S5=8S3，a2n=2an+1(n∈N∗)，

所以3(a1+10d)=8(3a1+3d)，a1+(2n−1)d=2a1+2(n−1)d+1，

联立可得，d=3，a1=2，

则an17.解：(1)由题意得：ca=22，4a=8，即c=2，a=2，

则b2=a2−c2=2，所以椭圆C的方程为：x24+y22=1．

(2)由题意知：直线l斜率不为0，可设l：x=ty+1，

由x=ty+1x24+y22=1，消去x得：(t2+2)y2+2ty−3=0，

则Δ=418.解：(1)证明：设AB，CD的中点分别为G，H，连接PG，GH，PH，

由PC=PD=57，得PH⊥CD，由CH=3，得PH=PC2−CH2=43，

正方形ABCD中，GH⊥CD，

则二面角P−CD−A的平面角为∠PHG,∠PHG=π6，

由余弦定理，得PG=PH2+GH2−2PH⋅GHcos∠PHG=23，PG2+GH2=48=PH2，

则PG⊥GH，由GH∩PH=H，GH，PH⊂平面PGH，

得CD⊥平面PGH，而PG⊂平面PGH，

因此CD⊥PG，又CD∩GH=H，CD，GH⊂平面ABCD，

于是PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD．

(2)由(1)知，四棱锥P−ABCD的高为PG，点M在线段PD上，且MD=2PM，

则点M到平面ABCD的距离是点P到平面ABCD距离的23，

所以四棱锥M−ABCD的体积为VM−ABCD=23VP−ABCD=23×13×62×23=163；

(3)由(1)知，直线GB，GH，GP两两垂直，以G为原点，直线GB，GH，GP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(−3,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(−3,6,0)，P(0,0.23)19.解：(1)因为an=n2+n2+32n2≥33n2⋅