著名不等式讲义-2025届高三数学二轮专题突破　

微拓展4著名不等式[考情分析]不等式的高阶拓展(柯西不等式、排序不等式、权方和不等式、琴生不等式、切比雪夫不等式等)在近几年出现的越来越多，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值、证明不等式等问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！1.柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).(2)二维形式的柯西不等式的变式①a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|(a，b，c，d∈②a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈③(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立).(3)扩展：(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…2.权方和不等式权方和不等式：若a，b，x，y>0，则a2x+b2y≥(a+b广义上更为一般的权方和不等式：设x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn>0，n∈N*.若m>0或m<-1，则x1m+1y1m+若-1<m<0，则x1m+1y1m+上述两个不等式，当且仅当x1y1=x2y2=x注意观察这个不等式的结构特征，分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.特别地，高考题中以m=1最为常见，此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式的变形.3.排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn且j1，j2，…，jn是1，2，…，n(n∈N*)的任意一个排列，则nΣk=1akbn-k+1≤nΣk=1akbjk≤nΣk=1akbk，当且仅当a1=a2=…=an或b1可简记为“反序和≤乱序和≤顺序和”.4.切比雪夫不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn(n∈N*)，则(nΣi=1ai)(nΣi=1bi)≤nnΣi=1aibi；设a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn(n∈N*)，则(nΣi=1ai)(nΣi=1上述两个不等式，当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，等号成立.5.琴生不等式(1)设曲线y=f(x)是区间D上的上凸函数，x1，x2，…，xn为D上的任意n点(n∈N*)，则fx1+x2+…+xnn≥f((2)设曲线y=f(x)是区间D上的下凸函数，x1，x2，…，xn为D上的任意n点(n∈N*)，则fx1+x2+…+xnn≤f(微点一柯西不等式1.(5分)实数x，y满足x2+y2=4，则x+y的最大值是.

2.(15分)设x，y，z∈R，且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；(6分)(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立，证明：a≤-3或a≥-1.(9分微点二权方和不等式3.已知a>1，b>12，且2a+b=3，则1a-1+1A.1 B.92 C.9 D.4.(5分)已知x>0，y>0，且x+y=1，则x2x+2+y2微点三排序不等式5.(13分)已知x，y，z是正数，且x+y+z=1，求t=x2y+y2z微点四切比雪夫不等式6.(13分)用切比雪夫不等式证明：设a1，a2，…，an是正数，则nΣi=1ain≥nnΣi=11ai微点五琴生不等式7.(13分)设x∈32，5，证明：2x+1+2[总结提升]利用重要不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.1.柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数a1，a2，a3和b1，b2，b3，有(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，等号成立当且仅当a1b1=a2b2=a3b3A.14 B.12 C.10 D.82.设a，b，c为正数，P=a3+b3+c3，Q=a2b+b2c+c2a，则P与Q的大小关系是()A.P>Q B.P≥Q C.P<Q D.P≤Q3.(5分)(2024·沈阳模拟)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=4.(5分)设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一个排列，则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.

5.(13分)已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：a5b3c3+b5c6.(15分)设ai>0(i=1，2，…，n)，且nΣi=1ai=1.求S=a11+a2+a7.(15分)已知x，y，z>0，且x+y+z=1，求证：1x8.(15分)已知正数x，y满足4x+9y=1，求42x

答案精析高频考点练1.22解析(x2+y2)(12+12)≥(x+y)2，则8≥(x+y)2，所以x+y≤22，当且仅当x=y=2时等号成立2.(1)解[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2]·(12+12+12)≥[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x+y+z+1)2=4，故(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥4等号成立当且仅当x-1=y+1=z+1，①又因为x+y+z=1，②①②联立解得x=53,y=-13,z=-13此时等号成立，所以(x-1)2+((2)证明因为(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥1所以[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2]·(12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立的条件，当x-2=y-1=z-a，即x=2-a+23,y=1-a+23,z=a-a+23时有[(x-2)2+(y=(x-2+y-1+z-a)2=(a+2)2成立.所以(a+2)2≥1成立，所以有a≤-3或a≥-1.3.C[因为2a+b=3，所以4a+2b=6，因为a>1，b>1所以a-1>0，2b-1>0.由权方和不等式a2x+b2y≥(a+b)2x+y可得1a-1当且仅当24a即a=76，b=24.1解析x2x+2+y2当且仅当xx+2=yy+1，即x=25.解不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，1z≥1y由排序不等式，乱序和≥反序和可得x2y+y2z+z2x≥x2·1x+y2·1y+z2·又x+y+z=1，则x2y+y2z+当且仅当x=y=z=13时，等号成立故t=x2y+y2z6.证明不妨设a1≥a2≥…≥an>0，则1a1≤1a由切比雪夫不等式知n2=nnΣi=1ai·1ai所以nΣi=1ain≥nnΣi=11ai7.证明令f(x)=x则f'(x)=1f″(x)=-14x所以f(x)=x在[0，+∞)上是上凸函数，由琴生不等式得2x+1+2x=2f(x+1)+f(2x-3)+f(15-3x)=42≤4f2=4fx+144≤45+144=219当且仅当x+1=2x-3=15-3x，x=5时取等.因为x+1=2x-3⇒x=4≠5，于是2x+1+2x-3+15-3补偿强化练1.A[由题干中柯西不等式可得(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14×14=196，所以x+2y+3z的最大值为14，当且仅当x=1，y=2，z=3时取等号.]2.B[不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0.由排序不等式得a2a+b2b+c2c≥a2b+b2c+c2a，当且仅当a=b=c时等号成立，∴P≥Q.]3.25解析因为a，b，x，y>0，则a2x+b当且仅当ax=b又0<x<12，即1-2x于是得f(x)=222x+321-2x≥(2+3)22x所以函数f(x)=2x+91-24.[20，30]解析由排序不等式得a1+2a2+3a3+4a4≤12+22+32+42=30，a1+2a2+3a3+4a4≥1×4+2×3+3×2+4×1=20，∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是[20，30].5.证明∵a≥b≥c>0，∴a5≥b5≥c5，1c≥1b≥1a>0，∴1bc∴1b3c3由顺序和≥乱序和得a5b3c3+b5a3c3+c5b当且仅当a=b=c时取等号，∴a5b3c3+b5a3c6.解S=a12-a1+a2不妨设1>a1≥a2≥…≥an>0，则12-a1≥1使用切比雪夫不等式有S≥1n(a1+a2+…+an)·12-a再使用权方和不等式得S≥1n12-a1+1当且仅当a1=a2=…=an=1n时等号成立所以S的最小值为n27.证明令g=1则lng=ln1x2+x设f(x)=ln1则f'(x)=xf″(x)=-x6当x∈(0，1)时，f″(x)>0，所以f(x)=ln1x2+x在(0lng=ln1x2+x+ln1y2+所以g≥28即1x2+8.解要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a>0，b>0，x>0，y>0，有a