江苏专用2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5圆与圆的位置关系及圆的应用教案含解析

PAGEPAGE1§9.5圆与圆的位置关系及圆的应用考情考向分析考查圆与圆的位置关系的推断，两圆的公共弦和圆的实际应用问题，题型以填空题为主，有时可能出现解答题．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的状况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解概念方法微思索1．两圆的公切线条数有几种状况．2．怎样得到两圆公共弦所在直线的方程？提示当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)假如两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(2)假如两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)题组二教材改编2．[P115例1]圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是________．答案相交解析圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y＋2)2＝22，所以C1C2＝eq\r(5)，且2－1<eq\r(5)<2＋1，所以两圆相交．3．[P116T2]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0相切，则实数m的值为________．答案－11或9解析圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0即(x＋3)2＋(y－4)2＝25－m，表示以(－3,4)为圆心，以eq\r(25－m)为半径的圆．由题意知，若两圆内切，则两圆的圆心距等于半径之差的肯定值，可得5＝|eq\r(25－m)－1|，解得m＝－11.若两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，可得5＝eq\r(25－m)＋1，解得m＝9.所以m＝9或－11.题组三易错自纠4．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．答案2eq\r(2)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得两圆公共弦所在的直线方程为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，由勾股定理得弦长的一半为eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以所求弦长为2eq\r(2).5．已知P点为圆O1与圆O2的公共点，圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1，圆O2：(x－c)2＋(y－d)2＝d2＋1，若ac＝8，eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，则点P与直线l：3x－4y－25＝0上随意一点M之间的距离的最小值为________．答案2解析因为ac＝8，eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)，从而两圆圆心O1(a，b)，O2(c，d)，原点三点共线，不妨设eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)＝k，结合ac＝8得c＝eq\f(8,a)，b＝ka，d＝kc＝eq\f(8k,a)，因为O1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1，O2：(x－c)2＋(y－d)2＝d2＋1，所以公共弦方程为(2c－2a)x＋(2d－2b)y＝c2－a2，即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,a)－a))x＋2keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,a)－a))y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,a)＋a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,a)－a))＝0，当a≠±2eq\r(2)时，公共弦方程为2x＋2ky＝eq\f(8,a)＋a，即2ax＋2kay＝a2＋8，即2ax＋2by＝a2＋8，因为圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1可化为x2＋y2＝2ax＋2by－a2＋1，所以x2＋y2＝9，所以点P为圆x2＋y2＝9上的点，且易知圆心O(0,0)，半径r＝3.因为圆心O到直线3x－4y－25＝0的距离d1＝eq\f(|－25|,\r(32＋42))＝5，所以点P(x，y)到直线3x－4y－25＝0的距离的最小值为2.此时，点P(x，y)与直线3x－4y－25＝0上随意一点M之间的距离的最小值为2.当a＝±2eq\r(2)时，a＝c，b＝d，此时两圆重合，不符合题意．题型一两圆位置关系的判定例1(2024·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a>0)，点N为圆M上随意一点．若以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________．答案3解析由题意，得圆N与圆M内切或内含，即MN≤ON－1⇒ON≥2，又ON的最小值为OM－1，所以OM≥3，eq\r(a2＋a－32)≥3⇒a≥3或a≤0，因此a的最小值为3.思维升华推断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．跟踪训练1(1)圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线有________条．答案4解析两圆的标准方程分别为(x＋2)2＋(y－2)2＝1，(x－2)2＋(y＋5)2＝16.两圆圆心分别为(－2,2)，(2，－5)．两圆的圆心距d＝eq\r(－2－22＋2＋52)＝eq\r(65)，半径分别为r1＝1，r2＝4，则d>r1＋r2，即两圆外离，因此它们有4条公切线．(2)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________．答案相交解析∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(|a|,\r(2))，由几何学问得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＋(eq\r(2))2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心为N(1,1)，半径r2＝1，∴MN＝eq\r(1－02＋1－22)＝eq\r(2)，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2<MN<r1＋r2，∴两圆相交．题型二两圆的公共弦问题例2已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点．(1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程；(2)求AB的长．解(1)直线AB的方程为x2＋y2－10x－10y－(x2＋y2＋6x＋2y－40)＝0，即4x＋3y－10＝0.(2)由题意知，圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，因为C(5,5)，所以圆C到直线AB的距离为d＝eq\f(|4×5＋3×5－10|,5)＝5，圆C的半径r＝5eq\r(2)，所以AB＝2eq\r(r2－d2)＝10.思维升华当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就是两圆的公共弦所在直线的方程．跟踪训练2(1)圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．答案2eq\r(7)解析由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|1－0＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2eq\r(r\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(32－\r(2)2)＝2eq\r(7).(2)已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，则公共弦所在直线的方程为________．答案3x－2y＝0解析圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，即(x－3)2＋y2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径r1＝eq\r(15)；圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，即x2＋(y－2)2＝10，圆心坐标为(0,2)，半径r2＝eq\r(10).∵C1C2＝eq\r(3－02＋0－22)＝eq\r(13)∈(eq\r(15)－eq\r(10)，eq\r(15)＋eq\r(10))，∴圆C1与圆C2相交．由圆C1：x2＋y2－6x－6＝0， ①圆C2：x2＋y2－4y－6＝0， ②①－②得－6x＋4y＝0，即3x－2y＝0.∴两圆公共弦所在直线的方程为3x－2y＝0.题型三圆的应用命题点1利用两圆位置关系求参数例3(1)假如圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．答案(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))解析圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<eq\r(a2＋a2)<2＋2，∴0<|a|<2eq\r(2).∴a∈(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))．(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为________．答案eq\f(9,4)解析由圆C1与圆C2外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，依据基本不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为eq\f(9,4).引申探究若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．解由C1与C2内切得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝1.即(a＋b)2＝1，又ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为eq\f(1,4).命题点2圆的实际应用例4(2024·江苏如东高级中学期中)如图，地面上有一竖直放置的圆形标记物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标记物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG＝50m．在观测点正前方10m处(即PD＝10m)有一个高为10m(即ED＝10m)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标记的最大部分即为图中从A到F的圆弧．(1)若圆形标记物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；(2)若在点P处观测该圆形标记的最大视角(即∠APF)的正切值为eq\f(31,49)，求该圆形标记物的半径．解(1)建系后，圆C的方程为x2＋(y－25)2＝252.设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，因为直线PF与圆C相切，所以eq\f(|－25＋50k|,\r(1＋k2))＝25，解得k＝eq\f(4,3)(k＝0舍去)．所以直线PF的方程为y＝eq\f(4,3)(x＋50)，即4x－3y＋200＝0.(2)以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，圆C的方程为x2＋(y－r)2＝r2(r>0)．由已知得直线PE的倾斜角为eq\f(π,4).因为tan∠APF＝tan(∠GPF－∠GPA)＝eq\f(k－1,1＋k)＝eq\f(31,49)，所以k＝eq\f(40,9)，所以直线PF的方程为y＝eq\f(40,9)(x＋50)，即40x－9y＋2000＝0.因为直线PF与圆C相切，所以eq\f(|－9r＋2000|,\r(1600＋81))＝r，解得r＝40或－62.5(舍)．故该圆形标记物的半径为40m.思维升华(1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和r1±r2的关系．(2)日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时可建立坐标系，利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决．跟踪训练3(2014·江苏)如图，为爱护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形爱护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，爱护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上随意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝eq\f(4,3).(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形爱护区的面积最大？解(1)如图，过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AF⊥BE于点F.∵∠ABC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠ABF＝∠BCE，∴tan∠ABF＝tan∠BCO＝eq\f(4,3).设AF＝4x(m)，则BF＝3x(m)，∵∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°，∴OE＝AF＝4x(m)，EF＝AO＝60(m)，∴BE＝(3x＋60)m.∵tan∠BCO＝eq\f(4,3)，∴CE＝eq\f(3,4)BE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)x＋45))(m)，∴OC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(9,4)x＋45))(m)，∴4x＋eq\f(9,4)x＋45＝170，解得x＝20.∴BE＝120m，CE＝90m.综上所述，BC＝150m.(2)如图，设BC与⊙M切于点Q，延长QM，CO交于点P，∵∠POM＝∠PQC＝90°.∴∠PMO＝∠BCO.设OM＝xm，则OP＝eq\f(4,3)xm，PM＝eq\f(5,3)xm.∴PC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x＋170))m，PQ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,15)x＋136))m.设⊙M的半径为R，∴R＝MQ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,15)x＋136－\f(5,3)x))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(136－\f(3,5)x))m，∵A，O到⊙M上任一点的距离不少于80m，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R－OM≥80，,R－AM≥80，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(136－\f(3,5)x－x≥80，,136－\f(3,5)x－60－x≥80.))解得10≤x≤35.当且仅当x＝10时R取到最大值．∴当OM＝10m时，爱护区面积最大，综上所述，当OM＝10m时，爱护区面积最大．高考中与圆交汇问题的求解与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题例1(1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|的最大值为________．(2)过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．答案(1)7(2)－eq\f(\r(3),3)解析(1)∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x－2，y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(x－6，y)．故|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(－12x＋37)，∴当x＝－1时有最大值eq\r(49)＝7.(2)∵S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB≤eq\f(1,2).当∠AOB＝eq\f(π,2)时，△AOB的面积最大．此时O到AB的距离d＝eq\f(\r(2),2).设AB的方程为y＝k(x－eq\r(2))(k<0)，即kx－y－eq\r(2)k＝0.由d＝eq\f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，得k＝－eq\f(\r(3),3).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(也可k＝－tan∠OPH＝－\f(\r(3),3))).二、直线与圆的综合问题例2(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝________.(2)已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于A，B两点，点P(x0，y0)在直线y＝2x上，且PA＝PB，则x0的取值范围为________________．答案(1)6(2)(－1,0)∪(0,2)解析(1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴AC2＝36＋4＝40.又r＝2，∴AB2＝40－4＝36.∴AB＝6.(2)由条件得圆心C(－1,0)，它到直线l：y＝ax＋3的距离为d＝eq\f(|3－a|,\r(1＋a2))<3，解得a>0或a<－eq\f(3,4).由PA＝PB，CA＝CB，得PC⊥l，于是kPC＝－eq\f(1,a)，即eq\f(2x0,x0＋1)＝－eq\f(1,a).由eq\f(2x0,x0＋1)<0或0<eq\f(2x0,x0＋1)<eq\f(4,3)，得－1<x0<0或0<x0<2.三、圆与圆的位置关系问题例3在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是________．答案(2－2eq\r(3)，2)∪(2,2＋2eq\r(3))解析由题意以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m－2)2＋4<16，所以－2eq\r(3)＋2<m<2eq\r(3)＋2，且m≠2.1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．答案相交解析两圆圆心距d＝eq\r(－2－22＋0－12)＝eq\r(17).又r1＝2，r2＝3，∴r2－r1＝1<d<r2＋r1＝5，∴两圆相交．2．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有________条．答案3解析如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ的最小值是________．答案3eq\r(5)－5解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝eq\r(4＋22＋2＋12)＝3eq\r(5).所以PQ的最小值是3eq\r(5)－5.4．已知动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满意AB＝2，点C为直线l上一点，且满意eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(CA,\s\up6(→))，若M是线段AB的中点，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的值为________．答案3解析动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满意AB＝2，则△OAB为等边三角形，于是可设动直线l的方程为y＝eq\r(3)(x＋2)，依据题意可得B(－2,0)，A(－1，eq\r(3))，∵M是线段AB的中点，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，设C(x，y)，∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(CA,\s\up6(→))，∴(－2－x，－y)＝eq\f(5,2)(－1－x，eq\r(3)－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－x＝\f(5,2)－1－x，,－y＝\f(5,2)\r(3)－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(5\r(3),3)，))∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(5\r(3),3)))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(5\r(3),3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(5,2)＝3.5．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为________．答案5eq\r(2)－4解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么PC1＋PC2＝PC1′＋PC2≥C1′C2＝eq\r(2－32＋－3－42)＝5eq\r(2).所以PM＋PN＝PC1＋PC2－4≥5eq\r(2)－4.6．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋yeq\o\al(2,1)＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为________．答案eq\f(1,5)解析由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为eq\f(|2＋4|,\r(1＋4))－eq\r(5)＝eq\f(\r(5),5)，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为eq\f(1,5).7．圆心M在曲线y2＝－18x上，圆M与y轴相切且与圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1外切，则圆M的方程为________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(1,4)或(x＋2)2＋(y－6)2＝4解析设圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵b2＝－18a，r＝|a|，∴a＝－eq\f(b2,18)，r＝eq\f(b2,18)，圆心C(－2,3)，rc＝1，又圆M与圆C外切，则MC＝r＋rc，即eq\r(a＋22＋b－32)＝r＋1，即eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2,18)＋2))2＋b－32)＝eq\f(b2,18)＋1，解得b＝3或b＝6.∴圆M的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(1,4)或(x＋2)2＋(y－6)2＝4.8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．答案3eq\r(2)解析易知直线AB的方程是y＝x＋4，设P(x1，x1＋4)，则以OP为直径的圆的方程是x(x－x1)＋y[y－(x1＋4)]＝0，与x2＋y2＝4相减得直线CD的方程为x1x＋(x1＋4)y＝4.当x1＝0时，易求得M点的坐标为(0,1)，当x1≠0时，将直线CD的方程与直线OP的方程y＝eq\f(x1＋4,x1)x联立，解得x＝eq\f(4x1,x\o\al(2,1)＋x1＋42)，y＝eq\f(4x1＋4,x\o\al(2,1)＋x1＋42)，两式相除得x1＝eq\f(4x,y－x)，将其代入x＝eq\f(4x1,x\o\al(2,1)＋x1＋42)，化简得x2＋y2＋x－y＝0，故点M的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))与点A的距离是eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋4))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(5\r(2),2)，所以AM的最大值为eq\f(5\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2).9．已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为________．答案－3＋2eq\r(2)解析如图所示，设PA＝PB＝x(x>0)，∠APO＝α，则∠APB＝2α，PO＝eq\r(1＋x2)，sinα＝eq\f(1,\r(1＋x2)).eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PB,\s\up6(→))|cos2α＝x2(1－2sin2α)＝eq\f(x2x2－1,x2＋1)＝eq\f(x4－x2,x2＋1)，令eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝y，则y＝eq\f(x4－x2,x2＋1)，令t＝x2，则t>0，y＝eq\f(t2－t,t＋1)＝t＋1＋eq\f(2,t＋1)－3≥2eq\r(2)－3.当且仅当t＝eq\r(2)－1，即x＝eq\r(\r(2)－1)时取等号．10．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上随意一点，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最大值为____________．答案4＋4eq\r(2)解析方法一由图形可得eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2＋eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝4＋eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))≤4＋|eq\o(PO,\s\up6(→))|·|eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))|＝4＋4eq\r(2)，当且仅当P为直线y＝－x与圆在其次象限交点处取得．方法二设P(x，y)，又M(2,0)，N(0，－2)，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(2－x，－y)·(－x，－2－y)＝x2－2x＋y2＋2y＝4－2(x－y)．设x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝4－4(cosθ－sinθ)＝4－4eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤4＋4eq\r(2).11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满意：存在圆M上的两点P和Q，使得eq\o(TA,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(TQ,\s\up6(→))，求实数t的取值范围．解(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0)．且eq\r(6－62＋b－72)＝b＋5.解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又BC＝OA＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2)＝eq\r(25－5)＝2eq\r(5).即eq\f(|2×6－7＋m|,\r(22＋－12))＝2eq\r(5)，解得m＝5或m＝－15.∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.(3)由eq\o(TA,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(TQ,\s\up6(→))，则四边形AQPT为平行四边形，又∵P，Q为圆M上的两点，∴PQ≤2r＝10.∴TA＝PQ≤10，即eq\r(t－22＋42)≤10，解得2－2eq\r(21)≤t≤2＋2eq\r(21).故所求t的取值范围为[2－2eq\r(21)，2＋2eq\r(21)]．12．(2024·江苏五校联考)已知圆O1：x2＋y2－8eq\r(2)x－8eq\r(2)y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)．(1)若圆O2与圆O1相切于点B(2eq\r(2)，2eq\r(2))，求圆O2的方程；(2)若圆O2过点C(4,0)，圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M处的切线相互垂直，求直线MN的方程．解(1)由已知得圆O1的圆心坐标为(4eq\r(2)，4eq\r(2))，∵圆O2与圆O1相切于点(2eq\r(2)，2eq\r(2))，∴圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设其圆心为(a，a)，∵圆O2过点(2eq\r(2)，2eq\r(2))，(0，－4)，∴a2＋(a＋4)2＝2(a－2eq\r(2))2，∴a＝0，∴a2＋(a＋4)2＝16，∴圆O2的方程为x2＋y2＝16.(2)∵圆O2过点(0，－4)，(4,0)，∴圆O2的圆心所在的直线为y＝－x，不妨设圆心坐标为(m，－m)，∵两圆在交点处的切线相互垂直，且圆O1的圆心坐标为(4eq\r(2)，4eq\r(2))，半径为4，∴(m－4eq\r(2))2＋(－m－4eq\r(2))2＝42＋m2＋(－m＋4)2，∴m＝－4，∴圆O2的方程为(x＋4)2＋(y－4)2＝80，圆O1与圆O2的方程相减整理得直线MN的方程为x＋(3－2eq\r(2))y－12(eq\r(2)－1)＝0.