浙江专用备战2025年高考数学考点一遍过考点02命题及其关系充分条件与必要条件含解析

PAGEPAGE1考点02命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义及其相互之间的关系.

2．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能推断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫真命题，推断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若，则逆否命题若，则(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语=>(<)是都是随意(全部)的任两个至多有1(n)个至少有1个否定词()不是不都是某个某两个至少有2(n+1)个1个也没有3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．【提示】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必需保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法推断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；③p是q的充要条件是的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.(2)集合推断法推断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则①若，则p是q的充分条件；②若，则p是q的必要条件；③若，则p是q的充分不必要条件；④若，则p是q的必要不充分条件；⑤若，则p是q的充要条件；⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.考向一四种命题的关系及其真假的推断四种命题的关系及其真假的推断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他学问点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：1．推断四种命题间关系的方法①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时留意敏捷应用.2．命题真假的推断方法①给出一个命题，要推断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.典例1已知命题：“若a＜b，则ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是A．0 B．1C．2 D．4【答案】C【解析】原命题：“若，则”，当时不成立，所以为假命题；则它的逆否命题也为假命题；其逆命题为“若，则”，为真；所以其否命题也为真命题；故命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是2.故选C.1．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A．逆命题与否命题均为真命题B．逆命题为假命题，否命题为真命题C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题D．否命题为假命题，逆否命题为真命题典例2命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是A．若不是偶数，则与不都是偶数B．若不是偶数，则与都不是偶数C．若是偶数，则与不都是偶数D．若是偶数，则与都不是偶数【答案】A【解析】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则与不都是偶数”.故选A.2．命题“若，则”的逆否命题是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考向二充分、必要条件的推断充分条件与必要条件的推断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查学问面广，常与函数、不等式、三角函数、平面对量、立体几何、解析几何等学问综合考查.常见的解法如下：1．命题推断法设“若p，则q”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．2．集合推断法（同必记结论）3．等价转化法（同必记结论）典例3“”是“或”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若且，则，明显成立.若不肯定推出且.所以是的充分不必要条件.依据原命题与其逆否命题真假相同可得“”是“或”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】本题考查原命题与逆否命题真假相同，充分不必要条件的概念，属于基础题.解答本题时，可以探究且是的什么条件，利用原命题与其逆否命题真假相同进行推断.3．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件典例4设x∈R，则使lgA．-1<x<9 B．x>-1C．x>1 D．1<x<9【答案】B【解析】求解对数不等式lgx+1<1可得0<x+1<10,∴-1<x<9，结合选项可得，使lg(x+1)<14．已知，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是A． B．C． D．考向三充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及依据充要条件求解参数的取值范围，详细解法如下：1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.2．求解参数的取值范围时，肯定要留意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号确定端点值的取舍，处理不当简洁出现漏解或增解的现象.典例5设x∈R，若“log2(x-1)<1”是“x>2A．-2,2 C．(-2,2) 【答案】D【解析】由log2(x-1)<1，可得0<x-1<2，解得若“log2(x-1)<1”是“x>2m∴2m故选D.【名师点睛】本题考查了必要条件问题，是中档题．推断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系．5．设，q:x2-2m+1x+m2+m≤0A．-2,1 B．-3,1C．-2,0∪0,1 1．是直线和直线平行的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知命题“若，则”的逆命题是真命题，则m的取值范围是A． B．C． D．3．设a,b是两条不同的直线，α是平面，a⊄α,b⊂α,则“a//b”是“a//α”成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若条件，且是的充分不必要条件，则可以是A． B．C． D．5．已知直线，和平面，若，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知命题:“关于的方程有实根”,若非为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是A． B．C． D．7．下列命题中为真命题的是A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“若，则”的否命题C．命题“若，则”的逆否命题 D．命题“若，则”的逆命题8．已知，，若是的一个必要不充分条件，则的取值范围为A． B．C． D．9．能说明“设a，b为实数，若，则直线与圆相切”为假命题的一组a，b的值依次为__________．10．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题、的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．1．【2024年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．【2024年高考浙江】已知平面α，直线m，n满意mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．【2024年高考浙江】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4+S6>2S5”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．【2024年高考全国Ⅱ卷文、理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有多数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面5．【2024年高考北京理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．【2024年高考天津理数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．【2024年高考天津文数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．【2024年高考北京文数】设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．【2024年高考天津理数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．【2024年高考北京理数】设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．【2024年高考天津文数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．【2024年高考北京文数】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件13．【2024年高考北京理数】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．【2024年高考天津文数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式拓展变式拓展1．【答案】A【解析】设a、，原命题“若，则”是假命题（取a=−1，b=1可进行验证），原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”是真命题，原命题的否命题是真命题．故选A．【名师点睛】本题考查命题真假的推断，考查不等式的性质等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．解答本题时，推断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再推断原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．2．【答案】C【解析】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故命题“若，则”的逆否命题是若，则，故选C．【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在推断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．3．【答案】C【解析】由“”，得，所以或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选C．【名师点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的推断方法，考查指数、对数不等式的解法，是基础题．解答本题时，依据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义推断即可．4．【答案】B【解析】B选项，是的充分不必要条件；A选项，是的必要不充分条件；C选项，是的既不充分也不必要条件；D选项，是的充要条件.故选B．【名师点睛】本题考查的学问点是充分不必要条件的定义，属于基础题．解答本题时，依据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与a＞b的关系，可得答案．5．【答案】D【解析】p对应的集合为x|-2≤x<0或0<x≤2，q对应的集合为∵p是q的必要不充分条件，∴-2≤mm+1<0或0<mm+1≤2，解得-2≤m<-1或考点冲关考点冲关1．【答案】A【解析】当时，两直线分别为和，满意两直线平行．当时，两直线分别为和，不满意两直线平行．当a=2时，两直线分别为2x-y-2=0和2y+1=0,不满意两直线平行.，a≠2，若两直线平行，则，解得或.即是直线和直线平行”充分不必要条件，故选A．【名师点睛】本题考查了充分必要条件的推断，考查直线平行的充要条件，是一道基础题．2．【答案】D【解析】命题的逆命题为：若，则成立，则，解得，即，即实数m的取值范围是，故选D．【名师点睛】本题主要考查四种命题的关系，结合逆命题的定义求出命题的逆命题是解决本题的关键．解答本题时，求出命题的逆命题，结合不等式的关系进行求解即可．3．【答案】A【解析】∵a⊄α,b⊂α，∴当a∥b时，肯定有a∥α，即充分性成立.反之，当a∥α时，a，b可能平行，可能异面，即必要性不成立，故“a//b”是“a//α”成立的充分不必要条件，故选A．【名师点睛】本题考查充要条件的推断，从定义来看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分而不必要条件，若是的真子集，则是的必要而不充分条件．4．【答案】B【解析】若是的充分不必要条件，则区间是q的真子集，本题选B.【名师点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，推断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．5．【答案】B【解析】由线面垂直的判定定理得：若，，则“”不能推出“”，由“”，依据线面垂直的性质定理，可得“”，即“”是“”的必要不充分条件，故选B．【名师点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．6．【答案】A【解析】由命题：“关于的方程有实根”，得，则，所以非为真命题时，.又是的充分不必要条件，所以，即，则m的取值范围为.所以选A.7．【答案】D【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”，由于，所以为假命题；命题“若，则”的否命题为“若，则”，由于，所以为假命题；命题“若，则”的逆否命题与原命题同真假，因为，所以为假命题；命题“若，则”的逆命题为“若，则”，因为，所以为真命题.选D．8．【答案】B【解析】，即，，，即，是的一个必要不充分条件，可得，即的范围比的范围小，故，即.故选B项.【名师点睛】本题考查逻辑联结词，必要不充分条件，属于简洁题.解答本题时，依据是的一个必要不充分条件，可得，然后得到的取值范围.9．【答案】1,1（答案不唯一）【解析】设，为实数，若，则直线与圆相切，若为真命题，可得，即为，若为假命题，只要，要说明“设，为实数，若，则直线与圆相切”为假命题的一组，的值依次可为1，1（答案不唯一）．故答案为：1，1（答案不唯一）．【名师点睛】本题考查命题真假的判定条件，解题的关键是先求出命题为真命题时等价的条件，属于基础题.解答本题时，依据条件求出命题为真命题时等价的，的关系式，由关系式可得到命题为假命题时，的一组取值.10．【答案】【解析】命题的逆命题：若，则，该命题是真命题，则．命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则，.故实数的取值范围是.直通高考直通高考1．【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满意，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式驾驭不娴熟，导致推断失误；二是不能敏捷地应用“赋值法”，通过取的特别值，从假设状况下推出合理结果或冲突结果.2．【答案】A【解析】因为m⊄α,n⊂α,m//n，所以依据线面平行的判定定理得m//α.由m//α不能得出m与α内任始终线平行，所以m//n是m//α的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】充分、必要条件的三种推断方法：（1）定义法：干脆推断“若p则q”、“若q则p”的真假．并留意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．3．【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.故选C．【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简洁运算，可知，结合充分必要性的推断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．4．【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；由面面平行的性质定理知，若，则内随意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最简洁犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.5．【答案】C【解析】∵A､B､C三点不共线，∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2·>0与的夹角为锐角，故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与推断､平面对量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.6．【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.7．【答案】B【解析】由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.8．【答案】C【解析】当时，，为偶函数；当为偶函数时，对随意的恒成立，由，得，则对随意的恒成立，从而.故“”是“为偶函数”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题较易，留意重要学问、基础学问、逻辑推理实力的考查.9．【答案】A【解析】肯定值不等式x-1由x3据此可知x-12<故选A.【名师点睛】本题主要考查肯定值不等式的解法、充分不必要条件的推断等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.10．【答案】C【解析】，因为a，b均为单位向量，所以，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】充分、必要条件的三种推断方法：1．定义法：干脆推断