平行四边形单元 期末复习测试题试题

平行四边形单元期末复习测试题试题

一、选择题

1.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），PE_LBC于点

E,PF_LCD于点F,连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP_LEF；③仅有当NDAP=

45°或67.5°时，AAPD是等腰三角形；④/PFE=NBAP：⑤XlpD=EC.其中有正确有

()个.

A.2B.3C.4D.5

2.如图，正方形A8CO和正方形CEFG中，点。在CG上，BC=T,CE=3,”是

AF的中点，那么C”的长是（）

3.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD±,Z\AEF是等边三角形连接AC交EF

于G,下列结论:①BE=DF,②NDAF=15。，③AC_LEF,④BE+DF=EF,⑤EC=FG；其中

正确结论有（）个

4.如图，正方形48co的边长为4,点£在边48上，4£=1,若点P为对角线8。上的一

个动点，则△%£周长的最小值是（）

C.5D.6

5.如图，正方形ABCD的边长为2a,点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点

A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F

的运动速度相同.BE与AF相交于点G,H为BF中点，则有下列结论：①NBGF是定值；

②BF平分NCBE；③当E运动到AD中点时，GH=^«；④当CAAGB=（"+2）a时，S四边形

GEDF=ya2,其中正确的是（）

C.①③④D.①④

6.正方形ABCD,正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上,

PA=PF,且NAPF=90°,连接AF交CD于点M.有下列结论：①EC=BP；②AP=AM：

③NBAP=NGFP；@AB2+CE2=-AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S&APF，其中正确的是

C.①②④⑤D.①③④⑤

7.如图，已知△八8c中，N4CB=90。，AC=BC=2,将直角边AC绕4点逆时针旋转至47,连

接8。，E为8U的中点，连接CE,则CE的最大值为（）.

CB

A.75B.72+1c.—+1D.叵+1

22

8.如图，在平行四边形A8CO中，ZC=120°,AD=4,AB=2,点E是折线

BC—CO—OA上的一个动点（不与A、8重合）.则△ABE的面积的最大值是（）

A2B.1C.3yliD-26

2

9.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE,连接

DF,则DF的长度是（）

375

于

10.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1,点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF,连接

CE、AF交于点H,连接DH交AC于点O,则下列结论：①4ABFgACAE；②NFHC=NB；

©△ADO^AACH：④S菱形.8二石；其中正确的结论个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

11.如图，在正方形ABCO中，点£尸将对角线AC三等分，且AC=6.点P在正方

形的边上，则满足PE+尸产=5的点p的个数是个.

12.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=0B,点E,F分别是

0A,0D的中点，连接EF,EM_LBC于点M,EM交BD于点N,若NCEF=45°,FN=5,

则线段BC的长为.

13.如图，在RtZkABC中，ZBAC=90°,AB=5,AC=12,P为边BC上一动点（P不与B、C

重合），PE_LAB于E,PF_LAC于F,M为EF中点，则AM的取值范围是

14.如图，在平行四边形48C。中，48=6,8c=4,Z4=120°,E是48的中点，点F在

平行四边形488的边上，若为等腰三角形，则EF的长为.

3

15.已知在矩形A3CQ中，43=二,3。=3,点尸在直线8。上，点。在直线CO上，且

2

4尸_1尸。,当4尸=尸。时，AP=.

BC

16.如图，RfAABE中,/8=90°,48=8及将乙43七绕点人逆时针旋转45°，得到

过。作OC_L3E交8E的延长线于点C，连接8H并延长交QC于点尸，连接

DE交BF于点0.下列结论：①OE平分N”OC；②。。=。£；③CD=HF；

®BC-CF=2CE.⑤H是的中点，其中正确的是

17.如图，有一张矩形纸条ABCD,AB=10cm,BC=3cm,点M,N分别在边AB,CD上,

CN=lcm.现将四边形BCNM沿MN折直，使点B,C分别落在点夕，C上.在点M从

点A运动到点B的过程中，若边加8'与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为

18.如图，正方形ABC。面积为1,延长D4至点G,使得AG=AD,以。G为边在正

方形另一侧作菱形OG/E,其中NE/G=45°，依次延长A氏BC,CO类似以上操作再

作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点£”,N,则四边形

FHMN的面积为.

19.如图，四边形A8CP是边长为4的正方形，点E在边CP上，P£=l；作"〃BC,分别

交AC、AB于点G、F,M.N分别是4G、8E的中点，则MN的长是.

¥

---------JE

BC

20.如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=3,8c=6,点。为平面内动点，且满足4。

=4,连接8D,取8。的中点E,连接CE,则CE的最大值为.

A

CB

三、解答题

21.如图，在RfABC中，ZACB=90°,过点C的直线MN〃AB,D为AB边上一

点，过点。作OEJ.BC,交直线MN于E,垂足为尸，连接CO、BE

MeEN

ADU

(1)当。在AB中点时，四边形3ECQ是什么特殊四边形?说明你的理由；

(2)当。为AB中点时，NA等于度时，四边形5ECD是正方形.

22.如图，在ABCO中，对角线AC、8。相交于点。，点、E、尸分别为08、OD的

中点，延长AE至G,使EG=4E,连接CG.

(1)求证：MOE=ACOF；

(2)四边形EGCF是平行四边形吗？请说明理由；

(3)若四边形EGC尸是矩形，则线段A3、4C的数量关系是.

23.如图，在RfAABC中，ZABC=90°,ZC=30°,AC=l2cm,点E从点A出发

沿A3以每秒1cm的速度向点5运动，同时点。从点C出发沿。以每秒2cm的速度向

点A运动，运动时间为，秒(0vf<6),过点。作D尸J.BC于点尸.

图①图②

(1)试用含，的式子表示AE、AD.OF的长；

(2)如图①，连接E/，求证四边形是平行四边形；

(3)如图②，连接OE,当，为何值时，四边形是矩形？并说明理由.

24.在矩形48CD中，将矩形折叠，使点8落在边4D(含端点)上，落点记为E,这时折

痕与边8c或者边8(含端点)交于点F(如图1和图2),然后展开铺平，连接8E,

EF.

(1)操作发现：

①在矩形4BCD中，任意折叠所得的是一个三角形；

②当折痕经过点4时，8E与4E的数量关系为.

(2)深入探究：

在矩形48CD中，AB=58c=26.

①当ABEF是等边三角形时，求出8F的长；

②△8EF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由.

图1图2

25.如图,点A、F、C、。在同一百线卜，点8和点£分别在官线A0的两侧,日

NA=ND,AF=DC.

(1)求证：四边形8CEF是平行四边形；

(2)若NDEF=90°,0E=8,EF=6,当4F为时，四边形8CEF是菱形.

26.如图，在正方形A8CO中，点E、F是正方形内两点，BE//DF,EF工BE,为

探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

A

B

图1

(1)在图1中，连接B。，且BE=DF

保证：E尸与80互相平分；

翱证：(6七+。尸)2+后尸2=2桢2；

(2)在图2中，当BE工DF,其它条件不变时，(8E+。尸)2+£尸2=2452是否成

立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

图2

NDPB=135°,=时，求PO之长.

图3

27.在矩形ABCD中，BE平分NABC交CD边于点E.点F在BC边上，且FE_LAE.

(1)如图1,①NBEC=0；

②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；

(2)如图2,FH〃CD交AD于点H,交BE于点M.NH〃BE,NB//HE,连接NE.若AB=4,

AH=2,求NE的长.

28.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点，AF,DE相交于点G,当E,F分

别为边BC,CD的中点时，有：①AF=DE；②AF_LDE成立.

试探究下列问题：

上述结论①，

②是否仍然成立？(请直接回答〃成立"或"不成立")，不需要证明)

(2)如图2,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF,此时，上述结

论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

(3)如图3,在(2)的基础上，连接AE和BF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,

AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形〃中的哪一种，并证明你的结论.

29.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AE<AD),连接DE、BF,P是

DE的中点，连接AP.将AAEF绕点A逆时针旋转.

(1)如图①，当AAEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位

置关系为.,数量关系为.

(2)当4AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第(1)问中的结论仍然成

立.

(3)若AB=3,AE=1,则线段AP的取值范围为

30.如图，ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB1AC,AB=6cm,BC=\Ocm,

点P从点A出发，沿4。方向以每秒1cm的速度向终点。运动，连接P。，并延长交BC

于点。.设点P的运动时间为1秒.

（1）求8。的长（用含，的代数式表示）；

（2）当四边形AB。尸是平行四边形时，求，的值；

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

过P作PG_LAB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的己知条件，证明AAGPgZXFPE

后即可证明①AP=EF；®ZPFE=ZBAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性

质，在RtaDPF中，DP2=DF2+PF2=EC?+EC2=2EC2,求得DP=J，EC,得出⑤正确，即可得出

结论.

【详解】

过P作PG_LAB于点G,如图所示：

•・•点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,

/.GP=EP,

在AGPB中，ZGBP=45°,

，NGPB=45°,

，GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

AAG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

/.AG=PF,

在AAGP和AFPE中，

AG=PF

<ZAGP=ZFPE=90°,

PG=PE

/.△AGP^AFPE(SAS),

，AP=EF,①正确，ZPFE=ZGAP,

/.ZPFE=ZBAP,④正确;

延长AP到EF上于一点H,

AZPAG=ZPFH,

VZAPG=ZFPH,

.•.ZPHF=ZPGA=90°,

AAP1EF,②正确,

丁点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，NADP=45。，

:.当ZPAD=45。或67.5。时，△APD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正确.

VGF/7BC,

/.ZDPF=ZDBC,

又・.・NDPF=NDBC=45°,

.,.ZPDF=ZDPF=45°,

/.PF=EC,

，在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC+EC2=2EC2,

ADP=V2EC,

即也PD=EC,⑤正确.

2

，其中正确结论的序号是①©③④⑤，共有5个.

故选D.

【点睛】

本题考杳了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，

勾股定理的运用.本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题.

2.D

解析：D

【分析】

连接AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,再求出NACF=90°,然

后利用勾股定理列式求出AF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.

【详解】

如图，连接AC、CF,

。正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,

AAC=V2,CF=3收，ZACD=ZGCF=45°,

/.ZACF=90°,由勾股定理得，AF=>/AC2-CF2=275*

TH是AF的中点，，CH=!AF=!X26=J^.

22

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，

熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

3.B

解析：B

【分析】

根据已知条件易证△ABEgAADF,根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质

就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,即可判定③；设EC=FC=x,由勾股定理和

三角函数计算后即可判定④⑤.

【详解】

•・•四边形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=ZD=ZBAD=90°.

•••△AEF等边三角形，

，AE=EF=AF,ZEAF=60°.

.•.ZBAE+ZDAF=30°.

在RtAABE和RtAADF中,

{AE=AF

[AB=AD'

RtAABE^RtAADF（HL）,

ABE=DF（故①正确）.

ZBAE=ZDAF,

・・・NDAF+NDAF=30°,

即NDAF=15。（故②正确），

VBC=CD,

/.BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

VAE=AF,

・・・AC垂直平分EF.（故③正确）.

设EC=FC=x,由勾股定理，得：

EF-42x,CG-FG-—X,

2

JECWFG（⑤错误）

在RtAAEG中，

AG=AEsin60=EFsin60=2xCGsin60=^-x,

2

s巫x+6x

・・AC=1/

2

.正立曰

2

y[3x+x\13x-x

BE=-------------x=-----------/

22

:.BE+DF=&c-x于叵x，（故④错误），

综上所述，正确的结论为①@③，共3个，

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等

边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键.

4.D

解析：D

【分析】

连接AC、CE,CE交BD于P,此时4P+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案.

【详解】

解：连接4C、CE,CE交BD于P,连接4P、PE,

•・•四边形48CD是正方形，

：.OA=OC,ACLBD,即。和。关于8。对称,

：.AP=CP,

即AP+PE=CE,此时4P+PE的值最小，

所以此时△%£周长的值最小，

•••正方形48CD的边长为4,点E在边A8上，AE=1,

，NA8c=90°,8E=4-1=3,

由勾股定理得：CE=5,

/.△AAE的周长的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6,

故选。.

【点睛】

本题考查了正方形的性质与轴对称一一最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.

5.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据题意很容易证得△BAEgZXADF,即可得到AF=BE,利用正方形内角为90。，得出

AF_LDE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.

④根据ABAEg/XADF,即可得到S四边彬GEDF=S.，即可求解.

【详解】

①证明：：£在八D边上（不与A.D重合），点F在DC边上（不与D.C重合）.

又V点E.F分别同时从A.D出发以相同的速度运动，

；・AE=DF,

•・•四边形48CD是正方形，

:.AB=DA^BAE=ZD=90,

在"AE和"DF中，

AE=DE

<NBAE=NAO尸=90

AB=AD,

：.^BAE^LADF(SAS),

AZ1=Z2,

VZ2+Z3=90

・•・Z1+Z3=9O

即ZAGB=90

ZBGF=90,

NBGF是定值；正确.

②无法判断NGB尸与NCB户的大小，BF平分NCBE；错误.

③当E运动到AD中点时，

点F运动到CD中点，

CF=-CD=a,

2

BFVBC'CF?=氐,

GH==，B”=@a,正确.

22

④"AEg△AD£

则S四边形GEDF=SABG,

当CAAGB=(>/6+2)〃时，

AG+GB—

(AG+GB)2=AG2+2AG-GB+GB2=6a\

AG2+BG2=AB2=4a2,

:.2AGGB=2cr,

2

SAlir=-AGGB=-a,

S四边形GEDF=；7a2，故S内边形GE0F="7a2，错误。

26

故选A.

【点睛】

考杳正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解题的关键.

6.D

解析：D

【分析】

①由同角的余角相等可证出△EPFZZ\BAP,由此即可得出EF=BP,再根据正方形的性质即

可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出

ZGFP=ZEPF,再由NEPF=NBAP即可得出③成立；④在RSABP中，利用勾股定理即可得

出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立.综上即可得出结论.

【详解】

①:ZEPF+ZAPB=90°,ZAPB+ZBAP=90°,

・・・NEPF=NBAP.

NEPF=NBAP

在AEPF和ABAP中，有<NFEP=NPBA,

PA=PF

/.△EPF^ABAP(AAS),

，EF=BP,

••,四边形CEFG为正方形,

/.EC=EF=BP,即①成立；

②无法证出AP=AM；

③〈FGaEC,

/.ZGFP=ZEPF,

XVZEPF=ZBAP,

/.ZBAP=ZGFP,即③成立；

④由①可知EC=BP,

在R3ABP中，AB2+BP2=AP2,

VPA=PF,且NAPF=90°,

/.△APF为等腰直角三角形，

.•.AF2=AP2+EP2=2AP2,

.\AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=gAF2,即④成立；

⑤由④可知:AB2+CE2=AP2,

*,»S正方形ABCD+S正方形CGFE=2SAAPF，即⑤成立.

故成立的结论有①③④⑤.

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题

的关键是逐条分析五条结论是否正确.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，

通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键.

7.B

解析：B

【分析】

取A8的中点连接CM,EM,当C£=CM+£M时，CE的值最大，根据旋转的性质得到

AC=AC=2,由三角形的中位线的性质得到EM二!47=1,根据勾股定理得到

2

AB=2垃,即可得到结论.

【详解】

取A8的中点连接CM,EM,・••当C£=CM+EM时，CE的值最大.

•••将直角边47绕A点逆时针旋转至AC,：,AC=AC=2.

•・•£为8C'的中点，：.EM=-AC=1.

2

VZACB=90°,AC=BC=2,,48=2夜,:・CM=；AB=叵,：.CE=CM+EM-y/2+\•

故选B.

A

CB

【点睛】

本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线

是解题的关键.

8.D

解析：D

【分析】

分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD

上时，4ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，4ABE的面积最大，根据三

角形的面积公式可得结论.

【详解】

解：分三种情况：

①当点E在BC上时，E与C重合时，4ABE的面积最大，如图1,

过A作AF_LBC于F,

丁四边形ABCD是平行四边形，

/.AB/7CD,

/.ZC+ZB=180°,

VZC=120°,

/.ZB=60c,

RtZXABF中，ZBAF=30°,

ABF=yAB=l,AF=V3»

，此时AABE的最大面积为：Jx4xg=2百；

②当E在CD上时，如图2,此时，^ABE的面积=!S.，ABCD=!X4X75=2J5；

22

图2

③当E在AD上时，E与D重合时，4ABE的面积最大，此时，4ABE的面积=26，

综上，4ABE的面积的最大值是26；

故选：D.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题.

9.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,由面积法可求

CH=生叵，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF=2EH=1.

55

【详解】

解：如图，连接CF,交BE于H,

;在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中点,

ABC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

・•・BE=4BC2+CE?=J16+4=2层，

;将ABCE沿BE翻折至ABFE,

，CE=EF=2,BE±CF,FH=CH,

VCE=DE,FH=CH,

4A/5

DF=2EH=

5

故选：D.

【点睛】

本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题

的关键.

10.B

解析：B

【分析】

根据菱形的性质，利用SAS证明艮1可判断①；根据4ABFg4CAE得到NBAF=NACE,再利

用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明NCAH/NDAO,判断

△ADO^^ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.

【详解】

解：•・•在菱形ABCD中，AB=AC=1,

/.△ABC为等边三角形，

AZB=ZCAE=60%

又•・，AE=BF,

/.△ABF^ACAE(SAS),故①正确；

AZBAF=ZACE,

:.ZFHC=ZACE+ZHAC=ZBAF+ZHAC=600,故②正确；

VZB=ZCAE=60\

则在△ADO和△ACH中，

ZOAD=60°=ZCAB,

/.ZCAH#600,即NCAHNNDA。，

•••△ADOg/XACH不成立，故③错误；

VAB=AC=1,过点A作AG_LBC,垂足为G,

1

/.ZBAG=30°,BG=—,

2

•*,AG=JA3?—3G2=，

・,・菱形ABCD的面积为：BCXAG=\XB=B,故④错误；

22

故正确的结论有2个，

故选B.

【点睛】

本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角

的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.

二、填空题

11.8个

【分析】

作点F关于BC的对称点M,连接FM交BC于点N,连接EM,交BC于点H,可得点H到

点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解.

【详解】

如图，作点F关于BC的对称点M,连接FM交BC于点N,连接EM,交BC于点H,

丁点E,F将对角线AC三等分，且AC=6,

EC=4,FC=2=AE,

点M与点F关于BC对称，

CF=CM=2,ZACB=ZBCM=45°,

ZACM-90%

•••EM=JEC2VM2="2+22=2石，

则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为2石＜5,

在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=4+2=6,

，点P在CH上时，2百VPE+PFW6,

在点H左侧，当点P与点B重合时，

VFN±BC,ZABC=90°,

，FN〃AB,

AACFN^ACAB,

•FN—CN—CF—1

**AB-CB-CA'S>

•・，AB=BC=刀AC=3&

1/-

AFN=-AB=y/2，

CN=：BC="

，BN=BC-CN=2收,

BF=VFN2+BN2=>/2+8=X/K)，

VAB=BC,CF=AE,ZBAE=ZBCF,

.,.△ABE^ACBF(SAS),

・・・BE=BF=痴，

・・・PE+PF=2jiU，

，点P在BH上时，VPE+PFV2J15，

，在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=5,

同理在线段AB,AD,CD上都存在两个点使PE+PF=5.

即共有8个点P满足PE+PF=5,

故答案为8.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H,使点H到点E和点F的距

离之和最小是本题的关键.

12.4.75

【分析】

设EF=x,根据三角形的中位线定理表示AD=2x,AD〃EF,可得NCAD=NCEF=45°,证

明AEMC是等腰直角三角形，则NCEM=45°,证明△ENF@Z\MNB,则EN=MN=1x,

2

BN=FN=5,最后利用勾股定理计算X的值，可得BC的长.

【详解】

解：设EF=x,

丁点E、点F分别是。分0D的中点，

AEF是AOAD的中位线，

/.AD-2x,AD〃EF,

AZCAD=ZCEF=45°,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,AD=BC=2x,

/.ZACB=ZCAD=45°,

VEM1BC,

/.ZEMC=90°,

/.△EMC是等腰直角三角形，

AZCEM=45°,

连接BE,

D

E

///

/・■g

j//.\///

B3/C

VAB=OB,AE=OE

ABE!AO

AZBEM=45O,

ABM=EM=MC=x,

，BM=FE,

易得△ENFgZXMNB,

1

AEN=MN=-X,BN=FN=5,

2

《△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,

即52=/+§幻2

解得，x=2小,

BC=2x=4>/5.

故答案为：4石.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性

质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题.

30

13.一CAM<6

13

【分析】

由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离，M为EF中点，所以AM=《EF,继而求得

AM的范围.

【详解】

因为NBAC=90°,AB=5,AC=12,

所以由勾股定理得BC=13,

则点A到BC的距离为AfC=曹,

BC1313

所以AM的最小值为程+2=普，

因为M为EF中点，所以AM^EF,

当E越接近A,F越接近C时，EF越大，

所以EFVAC,则AMV6,

所以一WAM<6,

13

30

故答案为—WAMV6.

14.3百或3或巨

2

【分析】

△AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平

行四边形的性质可求解.

【详解】

解：当AE=AF时，如图，过点A作AH_LE/于”，

E是AB的中点,

/.AE=-AB=3

2t

AE=AF,AH1EF,ZA=120°,

/.NAEF=ZAFE=30°,FH=EH,

AH=-AE=-tEH=y(3AH=—f

222

EF=2EH=3A/3，

当A/二E/时，如图2,

在平行四边形ABC。中，AB=6,BC=4,ZA=120°,

?.AD=BC=4,ZADC=60°,

ZDAN=30°,

:.DN=-AD=2tAN=£DN=20，

AB//CD,ANLCD,FM1AB,

AN=MF=2也，

AF=EF,FMLAB,

3

AM=ME=-

2

EF=3,

综上所述：E尸的长为3月或3或孚.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问

题是本题的关键.

is.之也或3加

22

【分析】

根据点尸在直线BC上，点。在直线C。上，分两种情况：LP、Q点位于线段上；2.P、Q

点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.

【详解】

解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时：

丁四边形ABCD是矩形

APLPQ,

AZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

,/AP=PQ

：.ABP兰PCQ

333

,PC=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

.-.AP=J（2）2+（2）2=|V2

V222

当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时：

・・•四边形ABCD是矩形

APLPQ,

/.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

,/AP=PQ

：.ABP=PCQ

APC=AB=-，BP=BC+PC=3+—=-

222

AAP=/(—)2+(—)2

V222

故答案为：不＞/^或不Jid

【点睛】

此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题

的关键.

16.①@④⑤

【分析】

根据NB=90°,AB=BE,ZiABE绕点A逆时针旋转45°,得到AAHD,可得4ABE会AAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可证AD〃BC,根据DCJ_BC,可得NHDE=NCDE,根

据三角形的内角和可得NHDE=NCDE,即DE平分NHDC,所以①正确；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四边形ABCD是矩形，有NADC=90。，NHDC=45。，由

①有DE平分NHDC,得NHDO=22.5°,可得/AHB=67.5°,NDHO=22.5°,可证OD=OH,

利用AE=AD易证NOHE=NHEO=67.5°,则有OE=OH,OD=OE,所以②正确；

利用AAS证明ADHE会ADCE,贝U有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5%易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,则ADHF不是直角三角形，并DHxHF,即有：CDwHF,所以③错误；

根据AABE是等腰直角三角形，JHJLJE,〈J是BC的中点，H是BF的中点，得到2」H=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易证BC-CF=2CE,所以④正确；

过H作HJJ_BC于」，并延长HJ交AD于点I,得IJ_LAD,I是AD的中点，J是BC的中点，

H是BF的中点，所以⑤正确；

【详解】

TRtAABE中，NB=90°,AB=BE,

/.ZBAE=ZBEA=45°,

又•・,将AABE绕点A逆时针旋转45°,得到AAHD,

AAABE=AAHD,并且ZSABE和AAHD都是等腰直角三角形,

.•.ZEAD=45°,AE=AD,ZAHD=90°,

.*.ZADE=ZAED,

/.ZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

AAD//BC,

/.ZADE=ZDEC,

/.ZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

AZDCE=ZDHE=90°

・•・由三角形的内角和可得NHDE=NCDE,

即：DE平分NHDC,所以①正确：

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

...四边形ABCD是矩形，

/.ZADC=90°,

AZHDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

11

ZHDO=—ZHDC=—X45°=22.5>,

22

VZBAE=45%AB=AH,

.\ZOHE=ZAHB=g(1800-ZBAE)=yx(180°-45(>)=67.5<,,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°

AOD=OH,

在^AED中，AE=AD,

11

:.ZAED=—(180°-ZEAD)=—x(1800-45o)=67.5°,

/.ZOHE=ZHEO=67.5%

/.OE=OH,

/.OD=OE,所以②正确；

在^DHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

</HDE=NCDE,

DE=DE

/.△DHESADCE(AAS),

1

/.DH=DC,NHDE=NCDE=—x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

/.ZDHF=22.5°,

/.ZDFH=180<,-ZHDF-ZDHF=180a-45o-22.50=112.5°,

••.△DHF不是直角三角形，并DH/HF,

即有:CDwHF,所以③不正确；

如图，过H作HJJ_BC于J,并延长HJ交AD于点I,

「△ABE是等腰直角三角形，JH1JE,

.*.JH=JE,

又〈J是BC的中点，H是BF的中点，

/.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

/.2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正确;

VAD//BC,

/.IJ±AD,

又•••△AHD是等腰直角三角形，

JI是AD的中点,

•・•四边形ABCD是矩形，HJ1BC,

，J是BC的中点，

・・・H是BF的中点，所以⑤正确；

综上所述，正确的有①@©⑤，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等

腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

17.Vio-i

【分析】

探窕点£的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可.

【详解】

如图1中，当点M与人重合时，AE=EN,设4E=EN=xcm,

在RtZXADE中，则有X2=3?+(9-x)2,解得x=5,

：.DE=1Q-1-5=4(cm)，

B'

如图2中，当点M运动到M0_L人8时，OF的值最大，Df=10-1-3=6(cm),

如图3中，当点M运动到点&落在C。时，

,2,2

NB=>JCN+CB=Vi2+32=Vio

DB'（即DE"）=10-1-V10=19-晒）（cm）,

，点E的运动轨迹EfESE",运动路径=££'+£8'=6-4+6-(9一厢)=(V10-1)

(cm).

故答案为：Vio-i.

【点睛】

本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运

用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

18.13+8及

【分析】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NK_LCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后进一步根据菱形性质得出

DE=EF=DG=2,再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=&,进一步可得

FN2=FR2+NR2=13+85/2»再延长NS交ML于点Z,利用全等三角形性质与判定证

明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.

【详解】

H匕------

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NK_LCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,

VABCD为正方形，

/.ZCDG=ZGDK=90°,

•・•正方形ABCD面积为1,

AAD=CD=AG=DQ=1,

.,.DG=CT=2,

•・•四边形DEFG为菱形，

/.DE=EF=DG=2,

同理可得：CT=TN=2,

VZEFG=45°,

AZEDG=ZSCT=ZNTK=45°,

VFE//DG,CT/7SN,DG±CT,

AZFQP=ZFRN=ZDQE=ZNKT=90°,

ADQ=EQ=TK=NK=72-FQ=FE+EQ=2+0,

VZNKT=ZKQR=ZFRN=90°,

・•・四边形NKQR是矩形，

・・・QR=NK=&,

；・FR=FQ+QR=2+2应，NR=KQ=DK-DQ=+1-72=1，

・•・FN?=FR1+NK=+8五,

再延长NS交ML于点Z,易证得：△NMZ会ZXFNR(SAS),

jFN=MN,ZNFR=ZMNZ,

VZNFR+ZFNR=90°,

/.ZMNZ+ZFNR=90°,

即NFNM=90°,

同理可得：ZNFH=ZFHM=90°,

••・四边形FHMN为正方形，

・•・正方形FHMN的面积=硒2=13+8立，

故答案为：13+8JL

【点睛】

本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌

握相关方法是解题关键.

19.5

【分析】

先判断四边形BCE尸的形状，再连接尸加、FC,利用正方形的性质得出AFG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性质得出=即可.

【详解】

•・•四边形ABCP是边长为4的正方形，