平面解析几何（直线与圆锥曲线的位置关系）五年高考数学真题分类汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编

24-平面解析几何（直线与圆锥曲线的位置关系）

（含解析）

一、单选题

1.（2021.全国•统考高考真题）设8是椭圆C：9+y2=］的上顶点，

点P在。上，则归8|的最大值为（）

A.|B.V6C.石D.2

2.（2021.天津.统考高考真题）已知双曲线｝营=13＞。6。）的右焦

点与抛物线V=2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A,

8两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，若3|=①加1.则双曲线

的离心率为（）

A.&B.8C.2D.3

3.（2020.全国.统考高考真题）设。为坐标原点，直线x=〃与双曲

线。：5-/=］（〃＞。,。＞。）的两条渐近线分别交于。上两点，若&O历的面

积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B,8C.16D.32

4.（2020•全国•统考高考真题）设。为坐标原点，直线户2与抛物

线Cy2=2px（p＞0）交于。，E两点,若则C的焦点坐标

为（）

A.（川B,（别C.（LO）D.（2,0）

5.（2020•全国,统考高考真题）设双曲线C：4-^=1（a＞0,

a~b-

力＞0）的左、右焦点分别为B,产2,离心率为石.尸是C上一点，

且BPJ_F2P.若APF/B的面积为4,则。=（）

A.1B.2C.4D.8

6.（2020・全国•统考高考真题）设耳，尸2是双曲线C：f-9=1的两个

焦点，。为坐标原点，点P在。上且1。尸1=2,则△牛鸟的面积为

（）

7S

A.B.3C.1D.2

7.（2018•全国•高考真题）已知双曲线C：y-y2=l,。为坐标原

点，F为C

的右焦点，过尸的直线与。的两条渐近线的交点分别为M、N.若

OMN为直角三角形,则|MN|二

A.1B.3C.2V3D.4

8.(2018•全国•高考真题)设抛物线C的焦点为F,过点

(-2,0)且斜率为1的直线与C交于N两点，则根.印二

A.5B.6C.7D.8

9.(2019•全国,高考真题)已知产是双曲线c：m-4=i的一个焦

45

点，点?在C上，O为坐标原点，若月，则所的面积为

A.43B5.7C7.4D9.：

2222

二、多选题

10.(2022.全国•统考高考真题)已知。为坐标原点，点4(1,1)在抛

物线C/=2p)，(p>0)上，过点8(0,T)的直线交C于p,Q两点,则

()

A.。的准线为kTB.直线AB与C相切

C.|04|09>|04『D.\BP\\BQ\>\B^

11.(2022•全国•统考高考真题)己知O为坐标原点，过抛物线

C:y2=2px(p>0)焦点厂的直线与。交于4,B两点,其中A在第一象

限，点M(p,0),若|二|=|刖,则()

A.直线A8的斜率为2而B.IOBHOFI

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<180°

三、填空题

12.(2022・全国•统考高考真题)已知直线/与椭圆J+《=i在第一

o3

象限交于A,B两点,/与x轴，y轴分别交于M,N两点，且

IMA\=\NBIJMN|=2有，贝！J/的方程为.

13.（2021.全国.高考真题）已知耳，尸2为椭圆C：邑4=1的两个焦

164

点，P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且归。二怩周，则四边

形P"Q鸟的面积为.

14.（2020.海南.高考真题）斜率为6的直线过抛物线C9=4工的

焦点，且与C交于A,B两点，则|人却=.

15.（2018・全国•高考真题）已知点和抛物线c」2=4一过c

的焦点且斜率为攵的直线与C交于A,H两点.若Z/W4=90%则

16.（2018♦浙江•高考真题）已知点P（0,1）,椭圆（〃»1）

上两点A,8满足AP=2PB,则当机=时，点3横坐标的

绝对值最大.

四、解答题

17.（2022•全国•统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，

对称轴为X轴、y轴,且过两点.

⑴求E的方程；

⑵设过点P（l，-2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于九轴的直

线与线段A3交于点T,点"满足Mr=m.证明：直线"N过定

点.

18.（2022•全国•统考高考真题）设抛物线Uy2=2px（p>o）的焦点为

品点D（p,0）,过尸的直线交。于M,N两点.当直线垂直于x

轴时,|M尸|=3.

⑴求。的方程；

（2）设直线MAN。与C的另一个交点分别为A,B,记直线MM"的

倾斜角分别为当。”取得最大值时，求直线AB的方程.

19.（2022.全国•统考高考真题）已知点A（2,I）在双曲线

上，直线/交C于尸，。两点，直线AP，AQ的斜率

之和为o.

⑴求/的斜率；

（2）若tan/PAQ=2&,求△E4Q的面积.

20.（2022•全国•统考高考真题）已知双曲线幡-。1（。＞06。）的

右焦点为网2,0）,渐近线方程为y=±后.

（1）求C的方程；

（2）过尸的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点

产（％，）。。（毛，％）在。上，且内＞占＞0,,＞。.过尸且斜率为一0的直线

与过。且斜率为G的直线交于点M

.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在A8上；©PQ//AB.③IMARM8I.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

21.（2022.全国•统考高考真题）在直角坐标系中，曲线G的参

2+t2+s

X=-------

数方程为x=~（，为参数），曲线G的参数方程为6(S为

y=\[ty=-\/s

参数）.

⑴写出G的普通方程;

⑵以坐标原点为极点，入轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的

极坐标方程为28s6-sin9=0,求G与G交点的直角坐标，及G与G交

点的直角坐标.

22.（2022♦浙江•统考高考真题）如图，已知椭圆（+y2=i.设A,

8是椭圆上异于「（。，1）的两点，且点。卜，口在线段加上，直线PAPB

分别交直线产-*+3于C,。两点.

⑴求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（2）求181的最小值.

23.（2022.北京•统考高考真题）已知椭圆：匕£+1=1（4>6>0）的

a~b~

一个顶点为A（O，D,焦距为23.

⑴求椭圆E的方程；

⑵过点P（-2」）作斜率为女的直线与椭圆E交于不同的两点5,C,直

线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当|MN|=2时，求％的值.

24.（2021•全国•统考高考真题）在平面直角坐标系,9,中，已知点

耳（So）、玛（如,03〃耳|-阿闾=2,点”的轨迹为c.

（1）求。的方程；

（2）设点7在直线上，过了的两条直线分别交C于A、。两点和

P,Q两点，且|科附=|科园,求直线A8的斜率与直线相的斜率

之和.

25.（2021•全国•统考高考真题）已知抛物线CW=20，（P>O）的焦点

为F,且尸与圆+（y+4）2=l上点的距离的最小值为4.

（1）求〃；

（2）若点尸在〃上，叫尸8是C的两条切线，AR是切点，求”⑷?面

积的最大值.

26.（2021.全国•统考高考真题）已知抛物线c：y2=2px（p>0）的焦点

E到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知。为坐标原点，点尸在C上，点。满足尸。=9QP,求直

线。。斜率的最大值.

27.（2021・北京・统考高考真题）已知椭圆£4+1=1（〃>6>0）一个

顶点40,-2）,以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4石.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点尸（0,・3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两

点B,C,直线A3,AC分别与直线交尸・3交于点M,N,当

IPM+IPMW15时，求2的取值范围.

28.（2021.全国•统考高考真题）已知椭圆C的方程为

事+%=1（。>6>0）,右焦点为「（点，。），且离心率为^

ab~3

（1）求椭圆。的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线£+），2=尸">0）相

切.证明：M,N,尸三点共线的充要条件是|MN|=g.

29.（2021♦浙江•统考高考真题）如图，已知尸是抛物线

y2=2px（P>。）的焦点，M是抛物线的准线与X轴的交点，且|财=2,

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点尸的直线交抛物线与两点，斜率为2的直线,与

直线X轴依次交于点尸，Q,R,N,且网2=俨则网，

求直线/在X轴上截距的范围.

30.（2021・天津•统考高考真题）已知椭圆5+卷=1,40）的右焦

点、为F，上顶点为8,离心率为不，且忸川=石.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,

过N与斯垂直的直线交工轴于点P.若MPHBF,求直线/的方程.

31.（2020・全国•统考高考真题）已知A、8分别为椭圆及

0+丁=1（。＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB=SP为

af

直线x=6上的动点，必与七的另一交点为C,尸8与£的另一交点

为D.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CO过定点.

32.（2020・全国•统考高考真题）已知椭圆。：白马=1（。＜，〃＜5）的离心

率为芈，A,5分别为C的左、右顶点.

4

(1)求C的方程；

(2)若点尸在C上，点Q在直线x=6上，且BP1BQ,求

△APQ的面积.

33.(2020・山东・统考高考真题)已知椭圆C的

CTD

离心率为日，且过点A(2,l).

（1）求C的方程:

（2）点M,N在C上，且AD1.MN,。为垂足.证明：存

在定点Q,使得I区为定值.

34.（2020・海南・高考真题）已知椭圆C：1+《=1（。>6>0）过点M

ab~

（2,3），点A为其左顶点，且AM的斜率为g,

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.

35.（2020.北京・统考高考真题）已知椭圆cj+£=i过点

A（-2,-l）,且〃=».

（I）求椭圆。的方程：

（II）过点8（T0）的直线/交椭圆C于点M,N,直线M4,附分别交直线

x=T于点尸，。.求畏;的值.

36.（2020・天津•统考高考真题）已知椭圆W+1=1（"b>0）的一个

顶点为AQ-3）,右焦点为尸，且IOARO”,其中。为原点.

（I）求椭圆的方程；

（II）已知点。满足3。。=8,点B在椭圆上（8异于椭圆的顶

点），直线A3与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段”的中

点.求直线A3的方程.

37.（2020・浙江•统考高考真题）如图，已知椭圆C：［+y2=i,抛

物线G：V=2px（p>0）,点4是椭圆G与抛物线G的交点，过点A的

直线/交椭圆G于点8,交抛物线G于M（8,M不同于A）.

(I)若P=9求抛物线G的焦点坐标；

lo

(H)若存在不过原点的直线/使M为线段A3的中点，求p的最

大值.

38.（2020•江苏・统考高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知

椭圆£号+:=1的左、右焦点分别为B,尸2,点A在椭圆E上且在

43

第一象限内，直线AB与椭圆E相交于另一点8

（1）求△ABF2的周长；

（2）在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点

Q,求“QP的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAb与AMAB的面积分别为S/,

S2,若S2=3S/,求点M的坐标.

39.（2020・山东・统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点

。，椭圆W+yJi的顶点分别为A,4,B21其中点人为抛物线

4

的焦点，如图所示.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若过点儿的直线/与抛物线交于M,N两点，且

（OM+ON）/超人,求直线/的方程.

40.（2019・全国•统考高考真题）已知曲线Cy=y,。为直线

产-;上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为4B.

(1)证明：直线A8过定点:

(2)若以E(0,5)为圆心的圆与直线A8相切，且切点为线段A3

的中点，求四边形AO8E的面积.

41.(2019•全国•高考真题)已知点2(-2,0),5(2,0),动点M(x,y)

满足直线AM与8M的斜率之积为记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，

轴，垂足为E,连结QE并延长交C于点G.

(i)证明："QG是直角三角形；

(ii)求"QG面积的最大值.

42.(2018•全国•高考真题)设抛物线C丁=以的焦点为尸，过尸且

斜率为M&>0)的直线/与C交于4,5两点,I明=8.

(1)求/的方程；

(2)求过点4,8且与C的准线相切的圆的方程.

43.(2019♦全国•高考真题)已知抛物线C：产二31的焦点为尸，斜

率为，的直线/与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

(1)若|4同+|8同=4,求/的方程；

(2)若AP=3P8,求HW

44.(2018・全国•高考真题)设椭圆。1+/=］的右焦点为尸，过尸

的直线/与C交于A8两点，点M的坐标为(2,0).

(1)当，与X轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设o为坐标原点，证明：NOMA=NOMB.

45.(2019•全国•高考真题)已知点A,8关于坐标原点O对称,

\AB\=4,OM过点A,B且与直线x+2=0相切.

（1）若A在直线x+y=0上，求。M的半径.

（2）是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|一|MP|为定值？

并说明理由.

46.（2018•全国,高考真题）已知斜率为攵的直线，与椭圆。

交于A,8两点,线段AB的中点为M（l，m）（m>0）.

（1）证明：

（2）设r为C的右焦点，尸为C上一点，月.我P+E4+F8=（）.证明：

|刊，|用，网成等差数列，并求该数列的公差.

47.（2019・全国•高考真题）已知片，鸟是椭圆u/+r=i（a>b>0）的

两个焦点，尸为C上一点，。为坐标原点.

（1）若二P。鸟为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P,使得且ARP鸟的面积等于16,求。的

值和〃的取值范围.

48.（2019・北京•高考真题）已知椭圆。：/+5=1的右焦点为（L。），

且经过点40,1）.

（I）求椭圆。的方程；

（II）设。为原点，直线与椭圆C交于两个不同点

P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线A。与x轴交于点N,若

|OM|♦|ON]=2,求证：直线/经过定点.

49.（2018♦全国・高考真题）设抛物线c：V=2x,点4（2,0）,

8（-2,0）,过点月的直线/与C交于M,N两点.

（1）当/与x轴垂直时，求直线5M的方程；

（2）证明：ZABM二ZABN.

50.（2019・天津・高考真题）设椭圆1+1=1（〃”>0）的左焦点为

ab'

F,上顶点为凤已知椭圆的短轴长为4,离心率为

（I）求椭圆的方程；

（II）设点尸在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线依

与工轴的交点，点N在>轴的负半轴上.若IONRO”（。为原点），且

OP1MN,求直线PB的斜率.

51.(2018・北京・高考真题)已知抛物线CV=2px经过点尸(1,

2).过点Q(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点4,

B,且直线附交y轴于M,直线尸8交y轴于M

(I)求直线/的斜率的取值范围；

(H)设。为原点，QM=AQO9QN=/0,求证：；为定值.

52.(2018♦全国•高考真题)已知斜率为攵的直线/与椭圆

交于A,B两点.线段的中点为"(L⑼(加〉。).

（1）证明：

（2）设r为C的右焦点，尸为C上一点，且松+内+稗=0.证明：

网+网=2网.

53.（2018・天津・高考真题）设椭圆与+《=1（。>8>0）的右顶点为

ah-

A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为半，|^|=V13.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线人尸"/<0）与椭圆交于〜。两点，/与直线A8交于点

M,且点P,M均在第四象限.若的面积是V8PQ面积的2

倍，求&的值.

54.（2018・天津・高考真题）设椭圆1+《=13泌>0）的左焦点为

a-b-

F,上顶点为A已知椭圆的离心率为半，点4的坐标为依。），且

|FB|.|4B|=6V2.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线/：y=3z>o）与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直

线A5交于点。若微=喉必。Q（O为原点），求攵的值.

55.（2018・北京.高考真题）已知椭圆M:£+£=l（a>8>0）的离心率

a~b~

为李，焦距为2立.斜率为k的直线/与椭圆M有两个不同的交点A、

B.

（I）求椭圆M的方程；

（II）若k=l,求—I的最大值;

（III）设网-2,0）,直线序与椭圆M的另一个交点为C,直线依与椭

圆M的另一个交点为，若C、。和点共线，求h

56.（2019・天津・高考真题）设椭圆。营=1（»>0）的左焦点为尸，

左顶点为A,上顶点为5.已知G|OA|=2|OB|（。为原点）.

（I）求椭圆的离心率；

（II）设经过点尸旦斜率为（的直线/与椭圆在X轴上方的交点为

P,圆c同时与X轴和直线/相切，圆心c在直线x=4上，且

OC//AP,求椭圆的方程.

57.（2018•浙江・高考真题）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）

一点，抛物线Cy2=4x上存在不同的两点4,8满足以,P8的中

点均在。上.

（I）设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴；

（ID若尸是半椭圆f+4=ia<0）上的动点，求ABAB面积的取值

4

范围.

58.（2019・浙江・高考真题）如图，已知点尸（1，。）为抛物线

y2=2px（p>0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A,8两点，点c在抛

物线上，使得队就的重心G在x轴上，直线4c交x轴于点Q,且。在

点F右侧.记丛FG4CQG的面积为SQ?.

（1）求〃的值及抛物线的准线方程；

（2）求得的最小值及此时点G的坐标.

59.（2019•江苏•高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭

圆C：W+《=i3>“0）的焦点为尸/（—1、0）,F2（1,0）.过用作

a~b~

X轴的垂线/,在X轴的上方，/与圆尸2：立-1）2+丁=4"交于点4,与

椭圆c交于点D连结并延长交圆月于点B,连结3尸2交椭圆

。于点E连结。尸/.已知

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标.

60.（2018・江苏・高考真题）在平面直角坐标系*g中，椭圆C过

点（右，），焦点耳（-石,0）,6（石,0）,圆。的直径为6鸟.

（1）求椭圆C及圆。的方程；

（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线/与椭圆。交于AS两点.若少凹的面积为挈，求直线/的

方程.

参考答案:

1.A

【分析】设点d，由依题意可知，以0,1）,亨+y”l,再根据

两点间的距离公式得到I因）然后消元，即可利用二次函数的性质

求出最大值.

【详解】设点户（即方）,因为8（0,1）,苓+#=1，所以

|尸呼=¥+（为-1）2=5（1_），；）+（为-1）2=-4火―2%+6=-40。+5+1，

而-lKy°Kl,所以当然=+时，归叫的最大值为，

故选：A.

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距

离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出.易错点是

容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认

为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误

的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是

一个闭区间，而不是全体实数上求最值..

2.A

【分析】设公共焦点为亿0）,进而可得准线为x=-c,代入双曲线及

渐近线方程，结合线段长度比值可得片=9,再由双曲线离心率公

式即可得解.

【详解】设双曲线9*叱。力>。）与抛物线y2=2px（p>0）的公共焦点

为（c,0）,

则抛物线V=2px（p>0）的准线为，

令则捻J=解得k±,所以|阴=/

又因为双曲线的渐近线方程为产±1,所以

所以竺£=封史，即°=历，所以八召一从=;总

aa2

所以双曲线的离心率6-=夜.

a

故选：A.

3.B

【分析】因为。捺4=叱。力＞。），可得双曲线的渐近线方程是

y=±-x与直线x=〃联立方程求得，E两点坐标，即可求得

a9

1瓦）1,根据,ODE的面积为8,可得而值，根据2c=2777万，结合均值

不等式，即可求得答案.

【详解】方=1（"。力＞0）

•••双曲线的渐近线方程是尸±2x

a

直线…与双曲线幡-5=叱0,〃＞0）的两条渐近线分别交于。，E

两点

不妨设。为在第一象限，E在第四象限

联立|工，解得｛募

a

故£＞（a,b）

联立”ab,解得

y=——x=

a

故E（a,-b）

:.\ED\=2b

二OOE面积为：SMDE=；〃X2Z?="=8

双曲线U=-2=l（a＞0为＞0）

•二其焦星巨为2c=2荷+〃之2＞/^=2面=8

当且仅当。=6=2夜取等号

•••C的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌

握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等

式求最值M,要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力,

属于中档题.

4.B

【分析】根据题中所给的条件OD，OE,结合抛物线的对称性，可

知==从而可以确定出点。的坐标，代入方程求得〃的

值，进而求得其焦点坐标，得到结果.

【详解】因为直线户2与抛物线y2=2px（p>0）交于两点，且

0D10Et

根据抛物线的对称性可以确定/DOx=4EOx=g所以。（2,2）,

代入抛物线方程4=4p,求得〃=1,所以其焦点坐标为（右。），

故选：B.

【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直

线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物

线的焦点坐标，属于简单题目.

5.A

【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离

心率公式，即可得出答案.

【详解】吟=回心后,根据双曲线的定义可得归兄卜|尸国卜为，

s△呻广斗产用•附1=4,即历|・|明=8,

，1P/<|2+|Pf；|2=（2c）2,

・•.（仍用一归用）2+2|刊讣俨国=4/,gpa2-5a2+4=0,解得。=1,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾

股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.

6.B

【分析】由洛玛上是以尸为直角直角三角形得到IPEf+IP4『=16,再

利用双曲线的定义得到IIPKI-I尸鸟|=2,联立即可得到IP用1%1,代

入S-Q=gIII"I中计算即可.

【详解】由已知，不妨设耳（-2,0）,居（2,0）,

则a=],c=2,因为卯=2=；僧用，

所以点户在以^为直径的圆上，

即人工尸是以尸为直角顶点的直角三角形,

故|即『+|明I』耳玛匕

即|尸尸J+|PE[2=[6,又||PK|一|P6||=2〃=2,

所以4=||PFX\-\PF2^=\PF.f+\PF2f-2\PFi\\PF2卜16-2IP£||I,

解得|P£||PEI=6,所以S△烟=杷不|"=3

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双

曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

7.B

【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求

得其右焦点的坐标，从而得到NFON=30。，根据直角三角形的条件，

可以确定直线MN的倾斜角为60或120,，根据相关图形的对称性，得

知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为6。.，利用点斜

式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得

"(3,扬,呜-务利用两点间距离公式求得顺|的值.

详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为土等，且右焦点为尸(2，。)，

从而得到ZFON=30\所以直线MN的倾斜角为60。或12%

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为6。。，

可以得出直线MN的方程为产技x-2),

分别与两条渐近线广条和尸条联立，

求得”(3,我,N(|,-#),

所以|MN|=J(3一扣+4+%=3,故选B.

点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要

先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直

线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确

定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN的斜率，结

合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求

得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.

8.D

【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及

到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点

M(L2),N(4,4),再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后

应用向量坐标公式，求得FM=(0.2),FN=(3,4),最后应用向量数量积

坐标公式求得结果.

【详解】根据题意，过点(-2,0)且斜率为|的直线方程为

y=|(^+2),

与抛物线方程联立卜夫+2),消元整理得：y-八8=0,

y2=4.v

解得“(1.2—,又产(1.0),

所以根=(0,2),尸N=(3,4),

从而可以求得FM.FN=0x3+2x4=8,故选D.

【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满

足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的

方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出

M(1⑵,N(4,4),之后借助于抛物线的方程求得尸(L0),最后一步应用向

量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结

果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.

9.B

【解析】设八知几),因为|。"=|。耳再结合双曲线方程可解出帆|,再

利用三角形面积公式可求出结果.

【详解】设点尸(维，几)，则¥-¥之①.

45

X|OP|=|OF|=>/475=3,

.•・x；+y；=9②.

由①②得城=方,

即帆1=1,

•••S&OPF=^|OF|.|y0|=ix3x1=^,

故选B.

【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系

导致求解不畅.

10.BCD

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立A8与抛物线的方程求交

点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2〃，所以抛物线方程为

x'y,故准线方程为尸T，A错误；

心=?^=2,所以直线钛的方程为尸2厂1,

联立匕f可得炉-2%+1=0,解得故B正确；

iA=y

设过A的直线为/,若直线/与5轴重合，则直线/与抛物线c只有一

个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为尸奴-1,尸（2）。（期,以），

联立，得炉-6+1=0,

△=F-4>O

所以，石+/=%，所以女>2或％<-2,力力=（中2尸=1,

xix2=1

又|CP|=Jx：+y；=Jx+y；,|OQI=JX；+£=五+£，

所以I。尸HCQI=Jyy2（i+x）（i+y2）=J&iXg=1M>2=|OA|2,故C正确；

因为13尸bViTFixi,\BQ\=4^\X2\,

所以|8PHBQ|=（1+环口巧41+二>5,而18*2=5,故D正确.

故选：BCD

11.ACD

【分析】由|叫=|刎及抛物线方程求得以乎,冬），再由斜率公式即

可判断A选项；表示出直线A8的方程，联立抛物线求得

仇争-殍），即可求出|州判断B选项；由抛物线的定义求出

|阴=爷即可判断C选项；由OAOBvO,MAM8<0求得NAQ5,

4M4为钝角即可判断D选项.

【详解】对于A,易得尸($0),由可得点A在榜的垂直平

分线上，则A

p,

点横坐标为5+〃n_3p,

24

代入抛物线可得），2=2夕*#,则4字卑），则直线"的斜率为

RP

可%=26，A正确；

T~2

对于B,由斜率为2*可得直线"的方程为A壶"与，联立抛物

线方程得八专py-p』，

设贝|J半〃+y尸恪〃，贝打产一季，代入抛物线得

2o3

\等］=2p»解得$则畤一季），

则画=/（"+卜喇；字工网^B错误；

对于C,由抛物线定义知：|知=,+。+〃=答＞2，=41M,C正确；

对于D,加。八弓，多与一冬哼.宗冬卜等卜丹＜0,则

NAOB为钝角,

川仍为钝角，

^AAOB+AAMB+^OAM+ZOBM=360,贝ljNOAM+N03M<180,D正确.

故选：ACD.

12.x+>/2y-2yf2=0

【分析】令A3的中点为E,设A（XQJ,8（孙必），利用点差法得到

展设直线质：>="+小，^<0,加>0,求出“、N的坐标，

再根据|同求出gm，即可得解；

【详解】［方法一］:弦中点问题：点差法

令A8的中点为E,设A（%,y）,8（孙必）,利用点差法得到

k（）E'"A8=-/，

设直线4氏尸&+m,^<0,m>0,求出M、N的坐标，

再根据|网求出人、即可得解；

解：令AS的中点为E,因为|网=|叫,所以|g=|啊,

设A（X］,yJ,8（生必）,则去+与=1,今+g=l，

6363

所以上立+支W=o,即（…）（…）+（）#”）（…心

〃6633i63

所以"啸雪=3,即研4尸-；，设直线AW+〃J%<0,

（王一工2八芭+工2）22

/w>0,

令x=0得y=〃z,令尸0得x=_£即加卜辛0bN（0,时，

所以七

m

即-WrT解得八4或女考（舍去），

~2k

又M%|=2>/5,Bp\MN\=Jm2+（^y/2fnj~=2y/3,解得帆=2或掰=-2（舍

去），

［方法二］:直线与圆锥曲线相交的常规方法

解：由题意知，点上既为线段"的中点又是线段MN的中点,

设A（x"J,5仁,为），设直线4比丁=依+%&<0,w>0,

则N（（V〃），后卜会3，因为|MN|=2V5,所以加=石

y=kx+m

联立直线AB与椭圆方程得,丁2消掉y得（1+2&2）/+4〃依+2病—6=0

—+-y-=1

63

其中A=（.4nik）2-4（1+2lc）（2nr-6）>0,耳+巧=--,

link_m

・・・AB中点E的横坐标/=-高7

1+2-一一云

・・・2冬又附=卜箝+，解得m=2

<々<0,7W>0,

2V2

所以直线出丫=-冬+2,即*+&y-20=O

［方法三］:

令A8的中点为E,因为网=网，所以阿=|N目,

设A（Xi，yJ,5（再,%）,则去+去=1,今+与­=1，

O363

a-a）（％+/）a+%）（）-了2）_

所以»4+与-4=0,即n

--------------------------------十----------------------------------U

003363

所以即如设直线k<o,

（凡一次2八%+工2）22

w>0,

令x=0得产乙令尸。得'=暇即M,表0）,%（0,间，所以

m

即^WT，解得或攵考（舍去）,

~2k

又即|MN|=JM+（夜时=2],解得加=2或川=-2（舍

去），

13.8

【分析】根据已知可得叫，P玛,设IP£I=〃?JP砧=〃，利用勾股定理

结合加+〃=8,求出〃叫四边形班。入面积等于，加，即可求解.

【详解】因为代。为C上关于坐标原点对称的两点，

且|PQ|二|耳行所以四边形用。鸟为矩形,

设|「用=巩|P6|=〃，则加+%=8,川+〃2=48,

所以64=(/n+/I)?=/+2mn+/i2=48+2tnn,

mn=8,即四边形PFQF2面积等于8.

故答案为：8.

16

1z41-T

【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得

直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方

程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化

求得结果.

【详解】•・,抛物线的方程为）产=4以・••抛物线的焦点F坐标为

F（1,O）,

又・・,直线AB过焦点小且斜率为石，，直线AB的方程为：

y=y/3（x-l）

代入抛物线方程消去y并化简得3/-10»3=0,

解法一：解得X=g，Z=3

所以|AB|=Vi7F|x「wl=Vm|3Tl=竽

解法二：A=100-36=64>0

设A（±，x）,B（巧,丫2）,则石+々号,

过Al分别作准线户—1的垂线，设垂足分别为C。如图所示.

\AB\=\AF\+\BF\=\AC\+\8D\=Xi+\+x2+\=x,+x2+2=y

故答案为：y

【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转

化，弦长公式，属基础题.

15.2

【分析】方法一：利用点差法得到43的斜率，结合抛物线定义可

得结果.

【详解】［方法一］:点差法

设4(ayJ，Wx2M,则"2二:",所以靖-0=4%-4七

>2=曲2

取AB中点”(%,%),分别过点A3作准线产-1的垂线，垂足分别为

4,8'

因为4MB=90。,|M"|=g|4⑼=尸卜忸目)=3|4川+忸明)，

因为“为A3中点，所以何AT平行于X轴，

因为所以为=1,则X+%=2即A=2.

故答案为：2.

［方法二］:【最优解】焦点弦的性质

记抛物线的焦点为凡因为Z/丽=9(r,则以A8为直径的圆与准线

相切于点M,由抛物线的焦点弦性质可知Mr_LA8,所以

［方法三］:焦点弦性质+韦达定理

记抛物线的焦点为尸，因为川必=90%则以加为直径的圆与准线

相切于点M,记A5中点为N,则设48:x=(y+l,代入V=4x

中，得)？-4)-4=0,所以y+%=由=2,得/=；,所以g=2.

［方法四］：【通性通法】暴力硬算

由题知抛物线C：V=4x的焦点为尸（1,0）,设直线相的方程为

y=&（x-lXAwO）,代入0:产=41中得公寸一（2&2+4）x+r=0,设

A（X,,））8（W，），2）,则为+%2=竺9上演攻=1，同理有y+%=；，yM=T,

kK

由ZAMB=90°,即M4_LM8

.又加4=&+1,凹-1b“8=（芍+1，%-1），所以

=（再+1,%一1）（七+1,>，2-1）=^^一,一1二°，得k=2.

KK

［方法五］:距离公式+直角三角形的性质

设直线为工=，2+1,与丁=4］联立得/-4%，-4=0,则1"'从

lyAyB=-4，

而Z+X产冽（>+%）+2=4/+2,可得A8的中点N（2*+L2m）,所以

|MN|=^（2m2+l+l）2+（2/n-l）2.

又由弦长公式知IAB|=Ji+闭2J（乃+%）2-4为力=4（1+w2）.

由Z/W/=90°得2|MN|=|A8|,解得〃?=?，所以&="l=2.

［方法六］:焦点弦的性质应用

由题可知，线段A8为抛物线的焦点弦，加仍=90%由于以抛物线

的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的

点，因此，以A8为直径的圆必与准线相切于点M.

过点M作平行于。r轴的直线交A3于点N,则N为圆心.

设4（不凹），3（七，必）川（如先）（乂>0,y2<0）,则%=*&=］.

又因为所以联立解得Y=l+石.将X的值代入犬=4占

中求得用=史卢.

因为抛物线C的焦点用，。），所以"=L=L=4*=2.

-------1

2

【整体点评】方法一：根据点差法找出直线钻的斜率与A3两点纵

坐标的关系，再根据抛物线定义求出A8中点坐标，从而解出；

方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；

方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点Go」），再根据韦达定理求

出直线AA的斜率；

方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位

置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂；

方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运

算较复杂；

方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率

公式求出.

16.5

【分析】方法一：先根据条件得到4,8坐标间的关系，代入椭圆方

程解得5的纵坐标，即得8的横坐标关于团的函数关系，最后根据

二次函数性质确定最值即可解出.

【详解】［方法一］:点差法十二次函数性质

设4内,设B(X2,%),由AP=2PB得F=2占，1一M=2(%-1),.f=2%-3,

因为"在椭圆上,所以乎耳+£=肛.•.苧+(2%-3)2=加，即

苧+(必-尹=：,与芋+式=师相减得:必=学，所以，

22

^=-l(m-IOAn+9)=-^-(/n-5)+4<4,当且仅当m=5时取最等号，即

加=5时，点8横坐标的绝对值最大.

故答案为：5.

［方法二］:【通性通法】设线+韦达定理

由条件知直线相的斜率存在，设人不乂),以3％),直线4B的方程为

j=fcr+l,

5=奴+1(心0),联立丁,得(软2+1卜2+8依+4-46=0,根据韦达定

—+、1=m.v'

4

理得％+七=由AP=2P8知芭=-2%,代入上式解得%2=疝筌，

今入I1^TK।1

Ii_8伙|_88_

所以闷一诉TJ_-而一.此时公=；,又

V2==-2=_8>

I5^^解得加=5.

［方法三］:直线的参数方程+基本不等式

设直线横的参数方程为“其中/为参数，。为直线AB的倾

y=1+fsma

斜角，将其代入椭圆方程中化简得(l+3sii?a)尸+&sina+4_4〃7=O,设

点A,3对应的参数分别为则％=-2%由韦达定理知

8sina4-47w解得「X，所以

’2=、+3sin%'"2=l+3sin2a

f2A•2

cosa4s»ra

2264sin2acos2a，/cos2a4sin~a4l$xl+3sin%+l+3sin2a_

x,2=/,cosa=------------=16x------；-4

(l+3sin2a)-l+3sina1+3sin2a2

,此时cos2a=4sii?a,即cos2a=1,sin2a=g,片=5,代入

4=-2邑杷=，解得加=5.

1+3sina

［方法四］:直接硬算求解十二次函数性质

设4（不凹），8（毛加,因为4户=2而,所以（-%，1-凶）=2（%02-1）.

即苦=-2.①，%+2y2=3②，

又因为3+犬=〃吟+肾=加，所以等+y：=m.

不妨设外>0,因此1yb屈，代入②式可得

（屈二叶=（3-倔二回2